喬路芳，喬路娜

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.山西省襄垣一中，山西 長(zhǎng)治 046200）

所謂預(yù)測(cè)指的就是人們對(duì)未來的事物或未知時(shí)間的行為和狀態(tài)作出的主觀上的判斷.然而，一切正確的預(yù)測(cè)都應(yīng)該建立在對(duì)客觀事物的過去和現(xiàn)狀進(jìn)行深入研究和科學(xué)分析的基礎(chǔ)上，并同時(shí)利用一種邏輯結(jié)構(gòu)將其與未來的情況聯(lián)系起來，用來達(dá)到預(yù)測(cè)的效果[1].城市公交客運(yùn)量系統(tǒng)可以看作為一個(gè)灰色系統(tǒng)，其中的公交客運(yùn)量又是一個(gè)隨機(jī)變化的灰色量[2]，它受到多種關(guān)聯(lián)因素的影響和制約，例如該市的職工人數(shù)，居民的零售額和職工收入等.

測(cè)量誤差模型是我們經(jīng)常會(huì)遇到的一類模型，它的優(yōu)點(diǎn)主要是可以考慮原始數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差，因此該模型在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，但在城市公交客運(yùn)量預(yù)測(cè)方面還沒有見到.本文以某市1998～2007年城市公交年客運(yùn)量及該市的職工人數(shù)、居民零售額和職工收入作為原始數(shù)據(jù)，建立了城市公交客運(yùn)量預(yù)測(cè)的線性測(cè)量誤差模型，并對(duì)該市2008年、2009年和2010年的公交客運(yùn)量進(jìn)行了預(yù)測(cè)，最后與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比，擬合結(jié)果對(duì)比表明，線性測(cè)量誤差模型預(yù)測(cè)精度較高.

1 模型的建立與分析

設(shè)Y為公交年客運(yùn)量，X為影響客運(yùn)量的幾個(gè)變量組成的矩陣，X有一定的誤差，其期望為Z且未知，則可得到如下線性測(cè)量誤差模型[3-4]：

式中：f是已知的函數(shù)；yi是觀測(cè)響應(yīng)變量；Z是n×p階第i行為zTi的矩陣；In是n階單位矩陣；β是p維未知參數(shù)；X是n×p階第i行為xTi的矩陣；σ2是未知參數(shù)；Λ是已知的非負(fù)定矩陣；εi是測(cè)量值的隨機(jī)誤差；ξ是n×p階矩陣.

因?yàn)閄和Z是兩種不同性質(zhì)的協(xié)變量，X是測(cè)量值，而Z未知，所以我們可以用Nakamura的校正似然法來處理此類測(cè)量誤差問題.

設(shè) l(β,Z,Y)，U(β,Z,Y)，J(β,Z,Y)和 I(β,Z,Y)分別為模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)，得分函數(shù)，觀察信息及 Fisher信息.記E+為Y的數(shù)學(xué)期望，其中

則根據(jù)得分函數(shù)的性質(zhì)有E+U(β,Z,Y)=0.校正似然函數(shù)l*(β,X,Y)需滿足條件[5]

其中 E*表示 Y 給定時(shí)關(guān)于 X 的條件期望. 設(shè) U*(β,X,Y)=?l*(β,X,Y)/?β ，J*(β,X,Y)=-?U*(β,X,Y)/?β ，I*(β,X,Y)分別為校正得分函數(shù)，校正觀察信息和校正Fisher信息.如果E*與?β可以交換，則

參數(shù) β 的估計(jì)滿足條件U*(,X,Y)=0，稱為校正最大似然估計(jì)（CMLE）[6].記E=E+E*，顯然有

這表明校正得分函數(shù)是無(wú)偏的.對(duì)于上述的正態(tài)測(cè)量誤差模型（1），Nakamura證明了參數(shù)估計(jì)的漸近正態(tài)性和相合性，而且有

將上述結(jié)果應(yīng)用到模型（1），則對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

校正似然函數(shù)可表示為

通過計(jì)算可知E*l*(β,X,Y)=l(β,Z,Y).因?yàn)樾Ｕ迫缓瘮?shù)性質(zhì)比較好，根據(jù)它可很容易求出參數(shù) β的CMLE.

特別地，如果式（1）中 f(xi,β)=xTiβ，那么將式（7）對(duì) β求導(dǎo)，得

其元素為hij，=Y-為殘差向量.σ2的估計(jì)為=||||2/(n-p).則由（7）式可知，校正Fisher信息陣為 I*(β,X,Y)=σ-2(XTX-nΛ).

從上述可以知道校正似然法也可以應(yīng)用于一些廣義的線性模型及其非線性模型.

2 實(shí)例驗(yàn)證

2.1 模型的建立

城市公共交通系統(tǒng)可以用測(cè)量誤差模型來描述，而測(cè)量誤差模型也可以說是個(gè)多元回歸模型，多元回歸模型中自變量可以用關(guān)聯(lián)分析的方法進(jìn)行選取.公交客運(yùn)量是一個(gè)隨機(jī)變化的量，它受到很多種關(guān)聯(lián)因素的影響、制約，如職工人數(shù)、居民零售額、職工收入、公交線路條數(shù)及總長(zhǎng)度、公交車輛數(shù)、公交客運(yùn)收入等.利用文獻(xiàn)[2]提供的關(guān)聯(lián)分析的方法，職工人數(shù)、居民零售額和職工收入是影響城市公交客運(yùn)量的前三位優(yōu)勢(shì)因素.

以某市1998～2007年的公交年客運(yùn)量、職工人數(shù)，居民零售額和職工收入（見表1）為原始數(shù)據(jù)[7]，建立公交年客運(yùn)量預(yù)測(cè)的線性測(cè)量誤差模型，與普通線性回歸模型進(jìn)行比較，并對(duì)該市2008、2009、2010年的公交客運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè).

分 析 過 程 中 ，采 用 yi=β0+β1xi1+β2xi2+β3xi3+ εi，其中 i=1,2,3,...,10.xi～N(zi,λ). 由Λ是已知非負(fù)定矩陣，這里采用λ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.為使得（7）式達(dá)到最大，應(yīng)用Matlab編

表1 某市年客運(yùn)量數(shù)據(jù)

寫計(jì)算程序得到 β和 σ2的參數(shù)估計(jì)分別為0=0.5613，1=1.6291,2=2.8284，3=1.1283，σ2=1.1334.該市公交年客運(yùn)量的預(yù)測(cè)線性測(cè)量誤差模型為：

經(jīng)計(jì)算，普通線性回歸模型為：

式中y為年客運(yùn)量，x1為職工人數(shù)，x2為居民零售額，x3為職工收入.

2.2 預(yù)測(cè)

根據(jù)該市社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的規(guī)劃，運(yùn)用（11）式和（12）式對(duì)2008、2009、2010年該市的公交年客運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)根據(jù)“3σ準(zhǔn)則”確定預(yù)測(cè)區(qū)間，并與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比，預(yù)測(cè)結(jié)果見表2（x1為職工人數(shù)，x2為居民零售額，x3為職工收入）.

從表2可以看出，通過測(cè)量誤差模型和普通線性回歸模型分別對(duì)城市公交客運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比，測(cè)量誤差模型的預(yù)測(cè)精度較高.

表2 年客運(yùn)量預(yù)測(cè)表

3 結(jié) 語(yǔ)

目前我國(guó)大多數(shù)城市的交通仍然是以客運(yùn)為主的，然而城市公共交通的合理規(guī)劃和快速健康的發(fā)展又要建立在公共車輛客運(yùn)量科學(xué)預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)之上.本文以某市1998～2007年城市公交年客運(yùn)量及該市的職工人數(shù)、居民零售額和職工收入作為原始的數(shù)據(jù)，通過考慮原始數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差，建立了城市公交客運(yùn)量預(yù)測(cè)的線性測(cè)量誤差模型，并對(duì)該市2008年、2009年、2010年的公交客運(yùn)量進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并且把預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比，擬合結(jié)果表明，線性測(cè)量誤差模型的預(yù)測(cè)精度比較高，因此它的預(yù)測(cè)結(jié)果可以為城市公共交通合理規(guī)劃和發(fā)展提供依據(jù).

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