高榮海

（貴州師范大學(xué) a.學(xué)報(bào)編輯部；b.數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550001）

在半群代數(shù)理論中，對(duì)于半群的秩或者冪等元秩是半群研究的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容之一，關(guān)于變換半群秩的研究已有許多成果[1-9].設(shè)S是一個(gè)有限半群，則S的秩定義為：rank(S)=min{|A|:A?S,A=S}.如果S是由冪等元集E生成，那么S的冪等元秩定義為：rank(S)=min{|A|:A?E,A=S}.1987年，文獻(xiàn)[4]考慮了Xn上的奇異變換半群的秩，得到了它的秩為n（n-1）/2；1992年文獻(xiàn)[5]證明了Xn上的保序奇異變換半群On和POn的秩分別為n和2n-1；2010年文獻(xiàn)[6]引入保序壓縮奇異變換半群，得到了它的秩為n-1，2011年文獻(xiàn)[7]將文獻(xiàn)[6]的結(jié)果進(jìn)行推廣，得到其理想的秩.在本文中，我們將單調(diào)性與壓縮性引入到部分變換半群中，考慮了一類(lèi)新的半群-單調(diào)壓縮部分變換半群.設(shè)Xn={1,2,...,n}(n>4)并賦予自然序，Pn是Xn上的部分變換半群.設(shè)α∈ Pn，若對(duì)任意x，y∈domα?Xn，x≤y? xα≤yα，則稱(chēng)α是單調(diào)遞增的；若對(duì)任意x，y∈domα?Xn，x≤y?xα≥yα，則稱(chēng)α是單調(diào)遞減的. 設(shè)α∈Pn，若對(duì)任意x，y∈domα?Xn，有|xα-yα|≤|x-y|，則稱(chēng)α是Pn的壓縮元. 記MCPn為Pn中所有單調(diào)（遞增或遞減）壓縮元構(gòu)成的集合，易見(jiàn)MCPn在映射的合成下構(gòu)成Pn的一個(gè)子半群.我們稱(chēng)之為Xn上的單調(diào)壓縮部分變換半群.在這篇文章中我們得到了MCPn的秩為2n-1.

1 準(zhǔn)備

設(shè)A，B是Xn的兩個(gè)非空子集，若maxA

當(dāng)α單調(diào)遞增時(shí)，由單調(diào)性和壓縮性容易驗(yàn)證α有如下表示法（稱(chēng)為α的標(biāo)準(zhǔn)表示）：

這里，a1

當(dāng)α單調(diào)遞減時(shí)，由單調(diào)性和壓縮性容易驗(yàn)證α有如下表示法（稱(chēng)為α的標(biāo)準(zhǔn)表示）：

這里，a1>a2>…>ar，Ai

為 了 敘 述上的方便，對(duì)任意 α,β ∈MCP，定義 (α,β)∈ LΔ? im(α)=im(β),(α,β)∈ RΔ? ker(α)=ker(β),

n(α,β)∈ JΔ? |im(α)|=|im(β)|,則 LΔ,RΔ,JΔ都是 MCPn上的等價(jià)關(guān)系，易見(jiàn) LΔ?JΔ，RΔ?JΔ. 對(duì) 0≤r≤ n-1，記JΔr={α∈MCPn:|im(α)|=r},則恰好是 MCPn的 n個(gè) JΔ-類(lèi)，其中是有空變換構(gòu)成，并且

設(shè)

則頂端 JΔ-類(lèi)有 2n-1 個(gè) RΔ-類(lèi) RΔ(1,2),RΔ(2,3),...,RΔ(n-1,n),RΔ(1),...,RΔ(n)以 及 n 個(gè) LΔ-類(lèi)LΔ(1),...,LΔ(n).

2 主要結(jié)果及證明

本文的主要結(jié)果：

定理設(shè)自然數(shù)n≥4，則rankMCPn=2n-1.

在證明該定理之前，先給出下面幾個(gè)相關(guān)的引理和推論.

引理1對(duì)任意α，β∈MCPn，若（α，β），（α，αβ）∈ JΔ，則（α，αβ）∈ RΔ，（αβ，β）∈ LΔ.

證明該定理的證明較容易，可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7]引理1的證明.

由引理1知MCPn的任意一個(gè)生成集都必須覆蓋中每 RΔ-類(lèi)和每個(gè) LΔ-類(lèi)，而 JnΔ-1中共有2n-1個(gè)RΔ-類(lèi)和n個(gè)LΔ-類(lèi).于是我們可得到下面的推論1.

推論1設(shè)自然數(shù)n≥4，則rankMCPn≥2n-1.

引理2對(duì) 0≤r≤n-2,有

證明在這里分0≤r≤1和2≤r≤n-2來(lái)加以討論.由于對(duì)前一種情形相對(duì)容易驗(yàn)證，所以在這里僅討論后一種一般的情形.

情形1|bi+1-bi|=1（i=1，2，…，r-1），且|Ai|=1（i=1，2，…，r），不妨設(shè)Ai={ai}，下面分兩種子情形討論：

情形1.1若ai+1=ai+1（i=1，2，…，r-1），由于 r≤n-2可知，要么 a1≠1要么 ar≠n，不妨設(shè)a1≠1.

當(dāng)α單調(diào)遞增時(shí)：

1）若b1≠1，令則有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

2）若b1=1，令

則有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

當(dāng)α單調(diào)遞減時(shí)：

1）若b1≠n，則β與單調(diào)遞增1）中的相同，在γ中，只需將b1-1改為b1+1；

2）若b1=n，則β與單調(diào)遞增2）中的相同，在γ中，只需將br+1改為br-1，則有β，γ∈ JΔr+1且α=βγ.

情形1.2若有某個(gè)i（2≤i≤r），使得ai-ai-1>1

當(dāng)α單調(diào)遞減時(shí)：

1）若b1≠n，令則有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

2）若b1=n則有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

若α單調(diào)遞增時(shí)：

1）若b1≠1，則β與單調(diào)遞減時(shí)的1）中的β相同，γ只需將單調(diào)遞減時(shí)1）的b1+1改為b1-1即可；

2）若b1=1，則β與單調(diào)遞減時(shí)的2）中的β相同，γ只需將單調(diào)遞減時(shí)2）的br-1改為br+1即可.

情形2|bi-bi-1|=1（i=2，…r），且有某個(gè) k（1≤k≤r），使得Ak>1，設(shè)x=minAk.

當(dāng)α單調(diào)遞減時(shí)：

1）若 b1≠n，令

2）若b1=n，令

則有β，γ∈ JΔr+1，且α=βγ.

當(dāng)α遞增時(shí)，可仿照情形1.2的方式進(jìn)行討論即可.

情形3若存在某個(gè)j（2≤j≤r），使得|bj-bj-1|>1（j=2，…r），由于r|bj-bj-1|>1，進(jìn) 而 有 minAj>maxAj-1+1. 令為集合{b1，…，bj-1，bj，…，br，s}上的恒等變換，則有β，γ∈且α=βγ.

由引理2可得下面的推論2.

推論2設(shè)n≥4，則是MCPn的生成集，即MCPn=<>.

注1設(shè)ei（i=1，2，…，n）是Xn{i}上的恒等變換，則根據(jù)MCPn中元素的標(biāo)準(zhǔn)表示知LΔ(i)={ei}(i≠1,n).

設(shè)集合S為

引理3設(shè)自然數(shù)n≥4，則JnΔ-1?.

證明由S中元素的特點(diǎn)知，S中的元素恰好覆蓋了中的所有RΔ-類(lèi)和LΔ-類(lèi).下面需證明JnΔ-1中的元素均可由S中的元素生成，即只需證明JnΔ-1S?.

對(duì)任意α∈JnΔ-1S，下面分4種情形討論：

情形1α單調(diào)遞增且α∈LΔ(1).此時(shí)，直接計(jì)算可知，為了后面討論的方便，記該α為

情形2α單調(diào)遞增且α∈ LΔ(n). 此時(shí)，一定有某個(gè)k，使得α∈ RΔ(k,k+1)（1≤k≤n-1）. 或者α∈ RΔ(k)（1≤k≤n）.

1）當(dāng)α∈ RΔ(k,k+1)，通過(guò)計(jì)算可得 （注：此處當(dāng)k=1時(shí)，α↑k,1指的是情形1下生成的單調(diào)遞增元素α，下同）

2）當(dāng)α ∈ RΔ(k)且 k=1或者n時(shí)，通過(guò)計(jì)算可得；若k≠1,n時(shí)，計(jì)算可得

情形3α單調(diào)遞減且α∈ LΔ(1). 此時(shí)，一定有某個(gè)k，使得α∈ RΔ(k,k+1)（1≤k≤n-1）. 或者α∈ RΔ(k)（1≤k≤n）.

1）當(dāng)α∈ RΔ(k,k+1)，通過(guò)計(jì)算可得

2）當(dāng)α ∈ RΔ(k)且k=1或者n時(shí)，通過(guò)計(jì)算可得；若k≠1,n時(shí) ，計(jì)算可得

情形4α單調(diào)遞減且α∈LΔ(n)，與情形2，3討論相似，若α∈RΔ(k,k+1)有；若α∈RΔ(k)且k=1或者n時(shí)，有

定理的證明由引理3與推論2，得MCPn=，其中S如前定義.注意到，|S|=2n-1，所以rank（MCPn）≤2n-1. 結(jié)合推論1，即證得rank（MCPn）=2n-1.

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[3]Umar A.On the ranks of certain finite semigroups of order-decreasing transformations[J].Portugal Math,1996,53:23-34.

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[5]Gomes G M S,Howie J M.On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Semigroup Forum,1992,45:272-282.

[6]徐波，馮榮權(quán)，高榮海.一類(lèi)變換半群的秩[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40（8）：222-224.

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[8]高榮海，徐波.降序嚴(yán)格部分變換半群的冪等元秩[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，38（6）：4-7.

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