龔岳洲，周新力，孫小東，孟慶萍

(海軍航空工程學(xué)院，山東煙臺(tái)264001)

0 引言

在無(wú)線通信中，由于不可避免地受到多普勒頻移和本地載波誤差的影響，接收端的本地載波頻率會(huì)發(fā)生偏移，致使接收信號(hào)的載波和發(fā)送端的載波存在一定的誤差，如果不消除這種誤差，將會(huì)嚴(yán)重影響通信系統(tǒng)相干解調(diào)，使通信系統(tǒng)的性能退化，所以接收機(jī)必須對(duì)頻偏進(jìn)行補(bǔ)償達(dá)到載波同步[1]。

文獻(xiàn)[2]給出了在高斯白噪聲中對(duì)正弦波信號(hào)頻率進(jìn)行最大似然估計(jì)算法(Maximum Likelihood Estimation，MLE)，估計(jì)誤差的方差達(dá)到了克拉美羅限，因此是最優(yōu)估計(jì)。由于MLE算法計(jì)算量大，難以實(shí)時(shí)進(jìn)行處理。因此提出了很多基于最大似然估計(jì)的簡(jiǎn)化算法，Kay在1989年提出了經(jīng)典的Kay算法[3]，Kay算法相對(duì)于最大似然估計(jì)(MLE)算法在計(jì)算復(fù)雜度有了很大簡(jiǎn)化，但是存在較高的信噪比門(mén)限(6 dB)，當(dāng)接收端信噪比小于該門(mén)限時(shí)，性能急劇惡化，沒(méi)有達(dá)到工程應(yīng)用的要求。而針對(duì)Kay算法高信噪比門(mén)限的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[4]提出了L＆R算法，L＆R算法也是基于最大似然算法的簡(jiǎn)化算法，具有很低信噪比門(mén)限(－10 dB)，完全能滿(mǎn)足工程應(yīng)用要求，但頻偏估計(jì)范圍過(guò)窄，也不適合運(yùn)用于工程上。文獻(xiàn)[5]提出了M＆M算法，M＆M算法既具有低的信噪比門(mén)限，又能估計(jì)很大的頻偏，但是復(fù)雜度太高，同步過(guò)慢，不利于實(shí)時(shí)處理。

基于最大似然估計(jì)的算法一個(gè)共有的缺陷就是計(jì)算復(fù)雜，同步速度慢，而基于離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)的譜估計(jì)方法，由于在實(shí)際中可通過(guò)快速傅里葉(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)實(shí)現(xiàn)，運(yùn)算量小，得到廣泛應(yīng)用，但由于該算法存在柵欄效應(yīng)和能量泄漏，在樣本長(zhǎng)度較小時(shí)估計(jì)誤差較大，為了提高準(zhǔn)確性，必須需要長(zhǎng)的樣本數(shù)量N，這就局限了DFT算法的應(yīng)用。針對(duì)DFT算法估計(jì)誤差較大的缺陷，文獻(xiàn)[6]提出了Rife算法，先對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行FFT變換，利用最大譜線和次大譜線來(lái)確定真實(shí)的頻率位置，Rife算法相對(duì)于DFT算法性能得到了改善，且復(fù)雜度不高，易于硬件實(shí)現(xiàn)，但是對(duì)小頻偏不敏感，精度不高，存在短的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N精度不高，長(zhǎng)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N復(fù)雜度太高的問(wèn)題，在實(shí)際工程中并不適用，針對(duì)此問(wèn)題，文獻(xiàn)[7，8]提出了許多有效的改進(jìn)方法，但是復(fù)雜度都偏高，提出了一種改進(jìn)算法。本文充分利用自相關(guān)函數(shù)法在小頻偏下估計(jì)精度高、算法復(fù)雜度小的優(yōu)點(diǎn)，通過(guò)Rife算法粗估計(jì)，自相關(guān)函數(shù)法精估計(jì)的方法提高了Rife算法的精度，具有低的信噪比門(mén)限，同時(shí)保持了其估計(jì)范圍廣、復(fù)雜度低特點(diǎn)，適用于突發(fā)通信。

1 信號(hào)模型

本算法采用MPSK(M－ary Phase Shift Keying)調(diào)制方式，在高斯白噪聲信道下進(jìn)行傳輸，高斯白噪聲的雙邊譜密度為N0/2，采樣時(shí)滿(mǎn)足Nyquist準(zhǔn)則，已經(jīng)完成信道均衡，消除了碼間干擾。并假定接收端進(jìn)行載波同步之前已經(jīng)進(jìn)行精確的定時(shí)同步，不存在定時(shí)偏差。假設(shè)接收端的載波頻率相對(duì)于發(fā)送端的載波頻率有feHz的頻率偏差，則接收端基帶信號(hào)表達(dá)式如下:

式中，ak為所要接受的信號(hào)，對(duì)于MPSK信號(hào)，可以表示為:

式中，T為符號(hào)周期;θ0為載波相位，θ0在觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N內(nèi)，是確定的未知量;fe為需要估計(jì)的載波頻偏;Nk為加性高斯白噪聲，其均值為零且方差為σ2[10]。實(shí)際上由于ak1表示ak的復(fù)數(shù)共軛)，于是可以定義xk，得到

式中，N'k=a*kNk在統(tǒng)計(jì)上是與Nk等價(jià)的;A為幅度噪聲;θk為相位噪聲。因此bk可以看成高斯白噪聲下的單音正弦信號(hào)。

2 Rife算法分析

當(dāng)噪聲為零時(shí)bk=ej(2πkfeT+θ0)，對(duì)bk做離散傅里葉變換(DFT)得到:

式中，n=0，1…N－1。式(4)可以寫(xiě)成以下形式:

式中，

對(duì)式(5)進(jìn)行變換得到:

由式(6)可知，vn中包含了fe的信息。

由奎斯特采樣定理可以知道，只要有一定的采樣數(shù)率，就可以通過(guò)序列bk得到－1/2T～1/2T的全部頻率信息，對(duì)接收信號(hào)做離散傅里葉變換，并進(jìn)行功率譜密度估計(jì)，可以載頻域上精確地得到頻偏的功率譜，從而精確地估計(jì)頻偏。但是DFT法準(zhǔn)確的前提是信號(hào)頻率是頻偏的整數(shù)倍，而實(shí)際中很多情況是信號(hào)頻率不能整除頻偏的，最大譜線應(yīng)該在2個(gè)采樣點(diǎn)的中間，這就是DFT法的柵欄效應(yīng)，導(dǎo)致了該算法估計(jì)精度不高。

文獻(xiàn)[2]以此提出了Rife算法，通過(guò)利用DFT算法進(jìn)行粗估計(jì)，并利用最大譜線和相鄰的此最大譜線，得到精確的頻偏估計(jì)值。為了提高頻率估計(jì)精度，定義剩余頻差Δf=fe－=δ/( )NT，剩余頻差表示信號(hào)實(shí)際頻率值與估值頻率值之間的偏差，當(dāng)被估計(jì)的信號(hào)頻率不是頻偏的整數(shù)倍時(shí)，其頻譜的最大譜線和相鄰的次最大譜線的幅度比值隨δ的變化而不同，Rife算法正是通過(guò)對(duì)最大譜線和相鄰的次最大譜線進(jìn)行插值來(lái)估計(jì)δ。對(duì)接收信號(hào)做N點(diǎn)離散傅里葉變換，得到頻譜中的最大譜線值為代表著次最大譜線在最大譜線的左邊還是右邊，r=－1時(shí)，次大譜線值在最大譜線值的左側(cè);r=1時(shí)，次大譜線值在最大譜線值的右側(cè)。

將r=±1代入，可得如下譜線值:

則次大譜線值與最大譜線值的比值可表示為:

Rife算法是在沒(méi)有噪聲的條件下推導(dǎo)出來(lái)的，而在噪聲存在的情況下仍然適用，優(yōu)點(diǎn)在于算法復(fù)雜度小，頻偏估計(jì)范圍廣，能達(dá)到1/(2T)，但是對(duì)小頻偏不敏感，精度不高，存在短的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N精度不高，長(zhǎng)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N復(fù)雜度太高的問(wèn)題，在實(shí)際工程中并不適用，針對(duì)此問(wèn)題，本文提出了一種改進(jìn)算法。

3 改進(jìn)算法分析

對(duì)去調(diào)制信號(hào)bk做自相關(guān)得到自相關(guān)函數(shù)R()k，滿(mǎn)足:

實(shí)際上R(k)可以寫(xiě)成:

可得:

η()k表示復(fù)噪聲γ()k在相位上的噪聲。定義argR()( )k為R()k的相位，則

于是可以通過(guò)求自相關(guān)函數(shù)的輻角來(lái)估計(jì)頻偏f，得到估計(jì)值滿(mǎn)足:

ee

用MATLAB進(jìn)行蒙托卡羅仿真，仿真條件:8psk調(diào)制，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=128，歸一化頻偏feT=0.001，信噪比Es/N0=20 dB。

從圖1中發(fā)現(xiàn)L取數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的一半性能最好，即取L=N/2，對(duì)頻偏進(jìn)行估計(jì)得:

直接利用自相關(guān)函數(shù)R(k)估計(jì)頻偏，在小頻偏高信噪比下估計(jì)精度高，但是存在估計(jì)范圍窄，理論上估計(jì)范圍只有1/(NT) ，并且存在信噪比門(mén)限的問(wèn)題。本文結(jié)合Rife算法和自相關(guān)函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)，提出一種基于Rife算法的改進(jìn)算法。首先對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行Rife算法頻偏估計(jì)，得到頻率粗估計(jì):

然后對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行頻移，并對(duì)頻移后的信號(hào)進(jìn)行自相關(guān)函數(shù)法頻偏估計(jì)，得到精估計(jì):

圖1 頻偏方差隨L的變化曲線

4 建模仿真與分析

通過(guò)MATLAB對(duì)本算法進(jìn)行蒙托卡羅仿真，主要在信噪比門(mén)限和估計(jì)范圍2個(gè)方面與經(jīng)典的L＆R算法、M＆M算法、Kay算法、Rife算法和自相關(guān)函數(shù)法進(jìn)行比較。本仿真實(shí)驗(yàn)采用8PSK調(diào)制方式，觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N為128，L＆R算法和本文算法窗函數(shù)長(zhǎng)度取觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的一半，即64，并且用歸一化頻偏估計(jì)誤差來(lái)衡量算法的估計(jì)精度并定義為:

圖2是假定頻偏值為0.005，新算法與經(jīng)典算法的歸一化頻偏估計(jì)誤差隨信噪比變化的曲線圖，反映了各算法在小頻偏下不同的信噪比情況下估計(jì)精度的變化。從圖2中可以看出，L＆R算法雖然性能最好，但是其前提條件是小頻偏，一旦超過(guò)頻偏范圍性能就急劇惡化，而且L＆R算法復(fù)雜度也較高;新算法與LR算法相比，明顯存在信噪比門(mén)限，這是由于Rife算法存在信噪比門(mén)限所導(dǎo)致的;新算法的信噪比門(mén)限與M＆M算法相當(dāng)，精度比M＆M算法稍低，但是由于新算法里德DFT變換可以用FFT代替，復(fù)雜度上要比M＆M算法小很多;新算法與Kay算法相比門(mén)限要低得多，而且在高信噪比時(shí)精度也相當(dāng);從圖2中明顯可以看出，新算法繼承了自相關(guān)函數(shù)法的對(duì)小頻偏敏感的優(yōu)點(diǎn)，以及繼承了Rife算法低信噪比門(mén)限的優(yōu)點(diǎn)，具有良好的性能。

圖2 小頻偏下估計(jì)方差隨信噪比的變化曲線

假定頻偏值為0.4，新算法與經(jīng)典算法的歸一化頻偏估計(jì)誤差隨信噪比變化的曲線圖如圖3所示，反映了各算法在大頻偏下不同的信噪比情況下估計(jì)精度的變化。從圖3中看出，明顯LR算法與自相關(guān)函數(shù)法在大頻偏下無(wú)法進(jìn)行估計(jì)，而新算法在大頻偏下信噪比門(mén)限要比M＆M算法低3～4個(gè)dB，而性能上基本接近M＆M算法;新算法要比Kay算法信噪比門(mén)限要低得多;在大于信噪比門(mén)限的條件下，新算法明顯要比Rife算法性能要好。

圖3 大頻偏下的估計(jì)方差隨信噪比變化曲線

圖4是輸入信噪比為10 dB，歸一化頻偏值feT在0～0.5變化時(shí)，新算法與經(jīng)典算法估計(jì)方差隨頻偏變化的曲線圖。由圖4可以看出，L＆R算法在小頻偏時(shí)估計(jì)精度較高，性能較好，但是L＆R算法的頻偏估計(jì)范圍非常窄，這是由于L＆R算法利用到了長(zhǎng)時(shí)延自相關(guān)函數(shù)，而長(zhǎng)時(shí)延自相關(guān)函數(shù)存在相位折疊，使得 L＆R算法的理論估計(jì)范圍為f＜1/T(N1+1)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)得到了驗(yàn)證;新算法和M＆M算法捕獲范圍能接近0.5，并且在這范圍內(nèi)估計(jì)精度高，性能較好;kay算法明顯要比新算法的捕獲范圍要窄;雖然Rife算法和新算法的捕獲范圍一樣，但明顯新算法估計(jì)精度要比Rife算法要好，特別是Rife算法在小頻偏下性能很差;自相關(guān)函數(shù)法雖然在小頻偏下估計(jì)性能很好，但是估計(jì)范圍太小。圖2、圖3和圖4表明，本算法一方面保持了自相關(guān)函數(shù)法良好的估計(jì)精度，同時(shí)最大限度地?cái)U(kuò)展了頻差估計(jì)范圍，能夠達(dá)到與Rife算法的估計(jì)范圍，這與理論推導(dǎo)相一致。

圖4 估計(jì)方差隨頻偏的變化曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

Rife算法是利用FFT的一種快速頻偏估計(jì)方法，與其他載頻偏差估計(jì)算法相比，它具有較低的復(fù)雜度，能實(shí)現(xiàn)快速同步，特別是Rife算法的估計(jì)范圍廣，并且信噪比門(mén)限很低。但是，該算法的估計(jì)精度不高，特別是對(duì)小頻偏不敏感，限制了它的應(yīng)用。充分利用自相關(guān)函數(shù)法在小頻偏下估計(jì)精度高、算法復(fù)雜度小的優(yōu)點(diǎn)，通過(guò)Rife算法粗估計(jì)，自相關(guān)函數(shù)法精估計(jì)的方法提高了Rife算法的精度，具有低的信噪比門(mén)限，同時(shí)保持了其估計(jì)范圍廣、復(fù)雜度低特點(diǎn)，適用于突發(fā)通信。

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