萬(wàn)俟昊天，向 陽(yáng)，夏雪寶，劉 輝

(武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430063)

過(guò)盈配合是機(jī)械工程中一種常見(jiàn)的構(gòu)件連接方式，由于其配合連接緊密，可傳遞轉(zhuǎn)矩，承受很大的軸向力，已廣泛地應(yīng)用于重型機(jī)械、起重運(yùn)輸機(jī)械、船舶、機(jī)車及通用機(jī)械中［1-2］。

過(guò)盈配合的過(guò)盈量大小是否對(duì)設(shè)備整體的動(dòng)態(tài)特性有影響，以及有多大影響是本文研究的目的，特別是獲得過(guò)盈配合結(jié)合面的特性參數(shù)(接觸剛度和接觸阻尼)。由于過(guò)盈配合結(jié)合面本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(結(jié)合面為封閉結(jié)構(gòu)，無(wú)法在結(jié)合面上布置傳感器)，難以采用試驗(yàn)的方法直接識(shí)別結(jié)合面特性參數(shù)，所以這里采用有限元計(jì)算的方法，建立過(guò)盈配合組件的有限元模型，對(duì)模型施加一定的邊界條件，仿真后提取結(jié)合面上單元和節(jié)點(diǎn)的接觸壓力、位移等參數(shù)，計(jì)算接觸剛度和接觸阻尼，最后再通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證結(jié)合面參數(shù)的正確性。

1 研究對(duì)象

研究對(duì)象為軸和軸套的過(guò)盈配合，見(jiàn)圖1。軸和軸套材料為Q235，其幾何尺寸和材料屬性見(jiàn)表1。軸套內(nèi)圓直徑選擇3種尺寸偏差:φ38--00..005716，φ38--00..003549，φ38--00..000383mm;與軸的尺寸偏差φ38-00.016mm配合，形成3種過(guò)盈量不同的配合形式，用代號(hào)表示分別為:U7/h6、S7/h6、N7/h6;其平均過(guò)盈量分別為:-0.055 5 mm、-0.038 5 mm、-0.012 5 mm。

圖1 過(guò)盈配合示意

表1 過(guò)盈配合組件基本尺寸和材料屬性

本文將過(guò)盈配合結(jié)合面特性參數(shù)定義為kyf、kym、kθf(wàn)、kθm、cyf和cym［3］。見(jiàn)圖2，對(duì)于過(guò)盈配合，在軸上施加y方向上的力f(t)，過(guò)盈配合結(jié)合面上沿z方向上任一點(diǎn)A產(chǎn)生位移y，此時(shí)這一點(diǎn)表現(xiàn)的剛度特性即為kyf，阻尼特性即為cyf;同樣施加力f(t)，A點(diǎn)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)Δθ，此時(shí)這一點(diǎn)表現(xiàn)的剛度特性即為kθf(wàn)。同理，施加力矩m(t)，A點(diǎn)產(chǎn)生位移y，此時(shí)這一點(diǎn)表現(xiàn)的剛度特性即為kym，阻尼特性即為cym;同樣施加力矩m(t)，A點(diǎn)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)Δθ，此時(shí)這一點(diǎn)表現(xiàn)的剛度特性即為kθm。

圖2 過(guò)盈配合結(jié)合面接觸剛度及阻尼定義

2 接觸剛度及接觸阻尼有限元計(jì)算

根據(jù)軸和軸套尺寸屬性在ANSYS中建立過(guò)盈配合的有限元模型。建立有限元模型時(shí)，為了減少單元數(shù)量，節(jié)約運(yùn)算時(shí)間，將軸的長(zhǎng)度設(shè)為200 mm。有限元模型中，軸和軸套采用SOLID186單元，共計(jì)5 610個(gè);在軸和軸套配合的面上分別建立CONTA174單元和TARGE170單元(各816個(gè))，形成接觸對(duì)［4］。整個(gè)有限元模型共計(jì)26 464個(gè)節(jié)點(diǎn)。圖3所示為所建的有限元模型:坐標(biāo)原點(diǎn)位于軸孔配合端面中心處(圖3所示坐標(biāo)位置)，x軸為水平方向，y軸為豎直方向，z軸為軸和軸套的軸線方向。

圖3 過(guò)盈配合有限元模型

進(jìn)行有限元計(jì)算的時(shí)候，約束軸套端面外圓上面上下左右4個(gè)節(jié)點(diǎn)，見(jiàn)圖3。仿真計(jì)算分兩個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)完成(每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)分別有5個(gè)子步)。在第一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)中施加過(guò)盈量，軸孔配合面上的接觸壓力逐漸增大［5］。在第二個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)中，在軸的上端靠近軸孔配合處施加y軸負(fù)方向的力和力矩(見(jiàn)圖3)。仿真計(jì)算中，力和力矩分10次施加:力為250～1 250 N，間隔250 N;力矩為2.5～12.5 Nm，間隔2.5 Nm。以力的施加為例，兩個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)見(jiàn)圖4。

圖5所示為過(guò)盈配合U7/h6結(jié)合面上軸的上中心線沿z軸方向上的接觸壓力?？梢钥闯鰪膠=0 mm開(kāi)始結(jié)合面上的接觸壓力逐漸增大，到大約z=50 mm附近接觸壓力達(dá)到最大，之后接觸壓力隨著z的增大急劇下降。

2.1 接觸剛度

圖4 過(guò)盈配合有限元模型的載荷步長(zhǎng)設(shè)置

圖5 過(guò)盈配合U7/h6結(jié)合面上沿z軸方向的接觸壓力

在第二個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)結(jié)束時(shí)，分別提取出在各個(gè)載荷下，軸的上中心線上沿z軸方向上各節(jié)點(diǎn)在y軸方向上的位移DOF-y。根據(jù)250～1 250 N載荷下的位移DOF-y，可以擬合出軸的上中心線上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的載荷對(duì)位移的曲線，曲線的斜率即為kyf。同理，施加2.5～12.5 Nm的力矩可以得出kym。為了得到kθf(wàn)和kθm，需要先得出軸的上中心線上的節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θ。θ根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移DOF-y，運(yùn)用中心有限差分方法計(jì)算得到。從而可以擬合出軸的上中心線上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的載荷對(duì)轉(zhuǎn)角θ的曲線，曲線的斜率即為kθf(wàn)和kθm。

圖6所示為不同配合結(jié)合面上軸的上中心線沿z軸方向上的kyf。從圖中可以看出，從z軸的0點(diǎn)位置開(kāi)始kyf迅速增大，形成一個(gè)峰值，之后沿z軸方向呈下降趨勢(shì)。圖7所示為不同配合結(jié)合面上軸的上中心線沿z軸方向上的kym。從圖中看出，在z=10 mm左右出現(xiàn)一個(gè)峰值，之后kym沿z軸方向呈下降趨勢(shì)。圖8、9所示分別為不同配合結(jié)合面上軸的上中心線沿z軸方向上的kθf(wàn)和kθm。從圖中可以看出，kθf(wàn)和kθm沿z軸方向大體呈下降的趨勢(shì)。同時(shí)，從各圖中可以看出不同的過(guò)盈量對(duì)剛度值影響不大。

2.2 接觸阻尼

圖6 kyf

圖7 kym

圖8 kθf(wàn)

圖9 kθm

在向有限元模型施加載荷時(shí)，軸和軸套之間產(chǎn)生了微小的滑動(dòng)，從而產(chǎn)生了能量損耗。這樣，將軸和軸套之間沿z軸方向上各點(diǎn)的接觸阻尼考慮為庫(kù)侖阻尼［6］。從而，等效的粘性阻尼由式(1)計(jì)算得到:

式中:Fd，n——結(jié)合面上每一個(gè)接觸單元的摩擦力，由單元面積乘以單元接觸壓力再乘以摩擦系數(shù)得到(見(jiàn)表1);

|zn|——結(jié)合面每一個(gè)接觸單元沿z軸方向上滑動(dòng)位移的絕對(duì)值;

ω——圓頻率。

計(jì)算時(shí)將z軸方向上每一位置沿軸圓周方向一圈所有的單元的阻尼相加作為這一z軸位置上的阻尼。需要注意的是，在靠近中性軸處的單元的滑動(dòng)幾乎為0，這在使用式(1)計(jì)算等效阻尼時(shí)會(huì)得到很大的阻尼值。因?yàn)橹行暂S附近的微小滑動(dòng)由幾何約束造成，這些微小的滑動(dòng)并不能夠正確地表示阻尼的增加。因而中性軸附近內(nèi)的單元不納入等效阻尼計(jì)算。在第二個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)中，分別在每一個(gè)子步上計(jì)算等效阻尼ceq，n，再將計(jì)算結(jié)果相加，即得到在不同載荷下沿z軸各個(gè)位置上的接觸阻尼cyf和cym。

圖10和圖11所示分別為配合U7/h6在施加500 N的力和12.5 Nm力矩時(shí)的接觸阻尼值。從圖中可以看出，cyfω和cymω的值沿z軸方向都比較離散。在z為20～30 mm處，cyfω值較大，其后呈下降的趨勢(shì)。cymω在z為10～20 mm處形成峰值，之后沿z軸下降。

圖10 U7/h6等效阻尼(500 N)

圖11 U7/h6等效阻尼(12.5 Nm)

圖12 和圖13所示分別為配合U7/h6在施加不同力和力矩時(shí)的阻尼值?？梢钥闯觯谑┘硬煌?或者不同力矩)時(shí)，結(jié)合面上沿z軸的阻尼值呈現(xiàn)相同的趨勢(shì)。圖14和圖15分別為不同過(guò)盈量的配合在施加500 N的力和12.5 Nm力矩時(shí)其結(jié)合面上的接觸阻尼值。從圖中可以看出，在過(guò)盈量不同時(shí)，結(jié)合面上沿z軸的阻尼值呈現(xiàn)相同的趨勢(shì)。

圖12 U7/h6等效阻尼cyfω

圖13 U7/h6等效阻尼cymω

圖14 不同配合cyfω(500 N)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

使用前文所述有限元仿真計(jì)算獲得的接觸剛度和接觸阻尼數(shù)據(jù)，根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，運(yùn)用結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合方法［7］，建立過(guò)盈配合的理論模型，計(jì)算過(guò)盈配合一端的頻率響應(yīng)函數(shù)，與實(shí)驗(yàn)測(cè)試的頻率響應(yīng)函數(shù)對(duì)比，驗(yàn)證接觸剛度和接觸阻尼的正確性。

圖15 不同配合cymω(12.5 Nm)

3.1 背景介紹

Bishop和Johnson［8］提出了Euler-Bernoulli梁彎曲振動(dòng)時(shí)頻率響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算方法(見(jiàn)圖16)，一兩端自由的梁兩端分別施加力f1(t)和f2(t)，以及力矩m1(t)和m2(t)，產(chǎn)生位移y1(t)和y2(t)，轉(zhuǎn)角θ1(t)和θ2(t)。梁兩端的原點(diǎn)和跨點(diǎn)頻響函數(shù)分別為

圖16 兩端自由的梁

對(duì)于兩段直徑分別為d1和d2的階梯軸(圖17a))，可以將其看作直徑分別為d1和d2的兩個(gè)兩端自由的梁耦合而成(圖17b))［9］。其組件的頻率響應(yīng)矩陣如式(3)所示(大寫(xiě)字母表示組件的位移、轉(zhuǎn)角、力、力矩及頻響函數(shù)，小寫(xiě)字母表示對(duì)應(yīng)的部件)。

圖17 階梯軸組件和部件的示意

階梯軸左端面處的頻響函數(shù)G11為

同理，將過(guò)盈配合看作軸和軸套的柔性耦合，見(jiàn)圖18。在其結(jié)合面上選擇兩端點(diǎn)及中點(diǎn)為耦合點(diǎn)，在耦合點(diǎn)處建立彈簧阻尼單元來(lái)表示結(jié)合面的接觸剛度和接觸阻尼。同樣，大寫(xiě)字母表示組件的位移、轉(zhuǎn)角、力、力矩及頻響函數(shù)，小寫(xiě)字母表示對(duì)應(yīng)的部件。

圖18 過(guò)盈配合理論模型

耦合點(diǎn)處的彈簧阻尼單元表示為剛度矩陣:

式中:kyf，kym，kθf(wàn)，kθm，cyf，cym——有限元計(jì)算得到的過(guò)盈配合結(jié)合面接觸剛度和接觸阻尼。

過(guò)盈配合組件左端面處的頻響函數(shù)G11為

式中:q1/Q1為A的前兩列構(gòu)成的矩陣，q2/Q1為A的3、4列構(gòu)成的矩陣，q3/Q1為A的5、6列構(gòu)成的矩陣。

在實(shí)際中，常常得到是加速度對(duì)力的頻響函數(shù)，這里可以用式(8)將H11(力對(duì)位移的頻響函數(shù)Y/F)換算為加速度為單位的頻響函數(shù)H11a。

3.2 頻響函數(shù)計(jì)算及對(duì)比

將圖1所示研究對(duì)象等效為理論模型，見(jiàn)圖19。理論模型分為I、II兩個(gè)部分:I為一個(gè)細(xì)長(zhǎng)軸;II為等長(zhǎng)度的同心軸和軸套在兩端及中點(diǎn)處耦合(z=0，50，100 mm處)，耦合點(diǎn)的剛度矩陣分別為K1、K2、K3，由有限元仿真計(jì)算獲得;I、II兩部分采用剛性耦合。以配合U7/h6為例，其剛度矩陣取值見(jiàn)表2(其中阻尼值為各載荷下的平均值)。

圖19 過(guò)盈配合組件理論模型

過(guò)盈配合組件的頻率響應(yīng)函數(shù)測(cè)試系統(tǒng)，見(jiàn)圖20。將組件用彈簧吊起，模擬自由狀態(tài)，力錘采用Endevco公司的Modal hammer 2302-10，數(shù)據(jù)采集卡為NI 9234，測(cè)試分析軟件采用Modal-VIEW。在過(guò)盈配合組件右端安裝加速度傳感器，測(cè)量豎直方向的加速度。使用力錘豎直敲擊過(guò)盈配合右端。采集力錘的沖擊信號(hào)及加速度響應(yīng)信號(hào)，輸入計(jì)算機(jī)計(jì)算得到過(guò)盈配合右端點(diǎn)的原點(diǎn)頻響函數(shù)。實(shí)驗(yàn)中，錘擊取3次平均，采樣率為25 600 Hz，采樣時(shí)間為1 s。

表2 U7/h6剛度矩陣參數(shù)

圖20 過(guò)盈配合組件頻響函數(shù)測(cè)試示意

對(duì)于配合U7/h6，根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合方法，計(jì)算圖19中A端面處的原點(diǎn)頻響函數(shù)。計(jì)算值和測(cè)試值的對(duì)比見(jiàn)圖21，圖中實(shí)線為理論計(jì)算結(jié)果，虛線為表面實(shí)測(cè)值?？梢钥闯鰧?shí)驗(yàn)值和計(jì)算值比較吻合，各階固有頻率誤差很小，見(jiàn)表3，從而證明了有限元計(jì)算獲得的接觸剛度和接觸阻尼的正確性。

由表3可見(jiàn)，在不同過(guò)盈量下，固有頻率的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值均差別很小，從而證明通過(guò)有限元計(jì)算獲得的結(jié)合面參數(shù)的正確性。同時(shí)，可以總結(jié)出過(guò)盈量的變化對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率影響很小。

圖21 配合U7/h6端點(diǎn)A處原點(diǎn)頻響函數(shù)

表3 固有頻率計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

4 結(jié)論

本文研究了運(yùn)用有限元法計(jì)算過(guò)盈配合結(jié)合面的接觸剛度和接觸阻尼，得到了在不同過(guò)盈量下，接觸剛度和接觸阻尼沿軸線方向的變化規(guī)律。最后，結(jié)合實(shí)驗(yàn)測(cè)試和結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合計(jì)算，驗(yàn)證了接觸剛度和接觸阻尼的有效性。根據(jù)計(jì)算得到的接觸剛度和接觸阻尼，可以得出:不同的過(guò)盈量對(duì)接觸剛度和接觸阻尼的影響較小。因?yàn)檫^(guò)盈配合中，軸和軸套已經(jīng)緊密結(jié)合，過(guò)盈量的變化，對(duì)結(jié)合面特性，乃至整個(gè)結(jié)構(gòu)的特性影響很小。

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