蔡雙利，曾凡明，唐 成

(1.海軍工程大學(xué) 船舶與動(dòng)力學(xué)院，武漢430033;2.92896部隊(duì)，遼寧 大連116000)

船舶軸系橫向振動(dòng)是由于軸系旋轉(zhuǎn)部件的質(zhì)量(主要為螺旋槳質(zhì)量)的不平衡及在船艉不均勻的伴流場中，作用在槳葉片上的流體力產(chǎn)生彎曲力矩，使得軸在旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生周期性的彎曲變形現(xiàn)象［1］。船舶軸系工作環(huán)境復(fù)雜，影響軸系振動(dòng)的因素較多，包括螺旋槳的附連水質(zhì)量、艉軸承的支撐位置、軸承的油膜效應(yīng)、軸承剛度，螺旋槳產(chǎn)生的陀螺力矩等都是影響軸系振動(dòng)的重要因素［2］。除此之外，校中質(zhì)量對軸系的振動(dòng)也有很大影響［3-4］。在現(xiàn)有技術(shù)條件下，要對這些因素進(jìn)行精確分析較為困難，因此建立接近實(shí)際的數(shù)學(xué)模型，得到可靠的分析數(shù)據(jù)對于軸系的研究有重要的意義。本文采用傳遞矩陣法對某船推進(jìn)軸系實(shí)際影響其橫振特性的一些因素進(jìn)行分析。傳遞矩陣法具有無需系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程、程式化程度高、系統(tǒng)矩陣階次低和效率高等優(yōu)點(diǎn)［5］，在軸系橫向彎曲振動(dòng)中得到廣泛運(yùn)用［6］。對于傳遞矩陣的求解本文采用了Myklested-Prohl法和Riccati法相結(jié)合的方法，既獲得了數(shù)值的穩(wěn)定性和精確性，又避免了漏根［7］。

1 物理模型簡化

圖1 軸系示意

圖1 所示為某電力推進(jìn)軸系，包括有艉軸后軸承、艉軸前軸承以及推力軸承等。為簡化橫振計(jì)算模型，將軸系視為在以軸承支撐點(diǎn)的多跨距梁上帶有若干集中質(zhì)量的橫向振動(dòng)系統(tǒng)，把聯(lián)軸節(jié)、螺旋槳及推力盤等視為集中質(zhì)量。軸承的支撐點(diǎn)、集中質(zhì)量的中心以及不同直徑的各軸段交換處均作為軸段的分界點(diǎn)，分界點(diǎn)之間的軸段看作離散的無質(zhì)量的梁，為了提高精度，在等直徑軸處適當(dāng)增加了若干集中質(zhì)量，按重心不變原則集中到重心處，當(dāng)作集中質(zhì)量(即分界點(diǎn))處理。

根據(jù)以上所述原則，將該軸系劃分為12個(gè)質(zhì)量單元、3個(gè)支撐單元和14個(gè)軸單元，見圖2。

圖2 橫振模型簡化示意

2 數(shù)學(xué)模型

對于以上所建立的物理模型，各截面的狀態(tài)矢量Zi可由撓度yi、轉(zhuǎn)角θi、彎矩Mi、剪力Qi表示，即

2.1 質(zhì)量單元傳遞矩陣

考慮集中質(zhì)量的彈性支座的情況，見圖3。假設(shè)彈性支座的彈性系數(shù)ki已知，并在此支座上有集中質(zhì)量mi，假定質(zhì)量mi只產(chǎn)生橫向簡諧振動(dòng)，并忽略此質(zhì)量mi的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則有

圖3 含集中質(zhì)量的彈性支座

式中:p——軸系橫向振動(dòng)角頻率。

進(jìn)一步引入撓度和轉(zhuǎn)角的兩個(gè)公式

聯(lián)合式(1)～(4)，就得到

此式中兩個(gè)列向量分別為第i點(diǎn)，即質(zhì)量mi(或支座)左右兩個(gè)相鄰的狀態(tài)向量。簡寫為

在上式中，對于支座上無集中質(zhì)量mi的，則取mi=0，對于集中質(zhì)量mi或含集中質(zhì)量的不同軸徑交接點(diǎn)(無支承的分界點(diǎn))，則取ki=0。

2.2 軸單元的傳遞矩陣

軸系橫向振動(dòng)的主要變形形式是彎曲變形，在討論軸的橫向振動(dòng)時(shí)，假設(shè)軸的各截面的中心主軸在同一平面內(nèi)，如圖4所示的xoy平面，且在此平面內(nèi)做橫向振動(dòng)。在振動(dòng)過程中仍采用材料力學(xué)中的平面假設(shè)，忽略剪切變形的影響(即軸直徑與軸長相比較小)，同時(shí)截面繞中性軸的轉(zhuǎn)動(dòng)遠(yuǎn)小于橫向位移，也不予考慮，軸上各點(diǎn)的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)只需用軸線的橫向位移來描述。

圖4 軸單元分析

以y(x，t)表示軸的橫向位移，它是截面位置x和時(shí)間t的二元函數(shù)。設(shè)ρ為軸單位體積質(zhì)量;EJi為橫截面抗彎剛度;Ji為橫截面對中心主軸的慣性矩;A為軸的橫截面積，軸上作用著單位長度分布力F(x，t)。

對于無均布質(zhì)量的等截面軸兩端的狀態(tài)參量有以下關(guān)系式

又因有

將以上幾式整理后寫成矩陣的形式有

式中方陣即為無均布質(zhì)量等橫截面軸傳遞矩陣。簡寫為

2.3 傳遞矩陣的求解

本文采用Myklested-Prohl法和Riccati法相結(jié)合的方法求解傳遞矩陣，發(fā)揮各自優(yōu)點(diǎn)，即獲得了數(shù)值的穩(wěn)定性和精確性，又避免了漏根。

由Myklested-Prohl法可得軸系的傳遞方程為

右端為固定端時(shí)

而軸系左右端狀態(tài)向量的關(guān)系可用Riccati矩陣表示為

式中:Ri——元件i左右兩端Riccati傳遞矩陣，

結(jié)合式(12)、(13)有

3 計(jì)算分析

運(yùn)用Matlab編程，對該電力推進(jìn)軸系橫向振動(dòng)進(jìn)行仿真計(jì)算，分別考慮了艉軸前后各軸承剛度、軸承支撐位置、螺旋槳陀螺力矩效應(yīng)對軸系臨界轉(zhuǎn)速的影響。其中臨界轉(zhuǎn)速是除以最大轉(zhuǎn)速后無因次化的結(jié)果，見表1～4。

表1 艉軸后軸承剛度對臨界轉(zhuǎn)速的影響

表2 艉軸前軸承剛度對臨界轉(zhuǎn)速的影響

表3 推力軸承剛度對臨界轉(zhuǎn)速的影響

由表1～3可見，3個(gè)軸承的剛度對軸系的臨界轉(zhuǎn)速均有影響，其中艉軸后軸承影響最大，前軸承次之，推力軸承最小;隨著軸承剛度的增加，軸系的臨界轉(zhuǎn)速升高，并且當(dāng)軸承剛度數(shù)量級(jí)達(dá)到109N/m以后，剛度對軸系的臨界速度影響越來越小。

考慮艉軸后軸承支撐位置在極左位置L/7、極右位置L/3以及中間位置L/5三種情況。L為艉軸承寬度，結(jié)果見表4。由表4可見，隨著支撐位置向艉軸末端移動(dòng)，軸系的臨界轉(zhuǎn)速增大。

表4 艉軸后軸承支撐位置對臨界轉(zhuǎn)速的影響

螺旋槳引起的陀螺效應(yīng)產(chǎn)生的陀螺力矩作用如下式所示，j=Jp/Jd，為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比，h=ω/p，為絕對角速度和回旋角速度的比。陀螺力矩的大小將影響到軸的臨界轉(zhuǎn)速的大小。

圖5給出了在有無陀螺力矩的情況下軸系的固有頻率無因次化后的分布情況，由圖5可見，在低階情況下，陀螺力矩的作用增大了軸系的固有頻率，一階臨界轉(zhuǎn)速增加了40.22 r/min;在高階的情況下，陀螺力矩的作用減小了軸系的固有頻率。

圖5 陀螺力矩對軸系固有頻率的影響

4 結(jié)論

1)各軸承剛度大小的變化對軸系臨界轉(zhuǎn)速有影響，從船艉向前，影響系數(shù)依次減小，剛度達(dá)到一定數(shù)值后，其變化對軸系臨界轉(zhuǎn)速的影響不大;

2)艉軸后軸承支撐位置對臨界轉(zhuǎn)速產(chǎn)生影響，支撐位置后移，臨界轉(zhuǎn)速增大。

3)螺旋槳引起的陀螺力矩的大小將導(dǎo)致固有頻率發(fā)生變化，低階時(shí)能顯著增加臨界轉(zhuǎn)速。

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