陳興偉,林炳青,林木生

(1.福建師范大學地理科學學院,福建福州 350007; 2.濕潤亞熱帶山地生態(tài)國家重點實驗室培育基地,福建福州 350007)

樣本容量對明渠垂線流速分布對數公式擬合的影響

陳興偉1,2,林炳青1,林木生1

(1.福建師范大學地理科學學院,福建福州 350007; 2.濕潤亞熱帶山地生態(tài)國家重點實驗室培育基地,福建福州 350007)

針對明渠垂線流速分布測量樣本容量對對數公式擬合的影響問題,通過水槽試驗,應用激光多普勒測速儀,在0.2倍水深內布設110個點進行垂線流速測量;按相對等距原則,從110個測量數據中共生成11組不同樣本容量的流速系列進行統計分析。結果表明:試驗測得的垂線流速分布符合對數公式;對數公式擬合所得的摩阻流速、積分常數及其統計變量相關系數和變差系數隨樣本容量大小的變化而變化,當樣本容量逐漸變大時,漸漸趨于穩(wěn)定,符合統計理論的大數定律;合理反映垂線流速分布變化的試驗,其測點需要一定的樣本容量;試驗得到的垂線流速在間距分布比較均勻的條件下,0.2倍水深內所需樣本容量為50左右。

明渠流;垂線流速;流速分布;對數公式;樣本容量

流速及其垂線分布是反映明渠水流運動特性的基本指標。從試驗研究來講,早期應用熱膜儀(hotfilm)開展了很多測量、分析[1-2];20世紀80年代開始,激光多普勒測速儀逐漸得到普遍應用[3],筆者[4]應用激光多普勒測速儀對光滑和粗糙床面明渠的垂線流速分布進行了測量。另一方面,基于理論和試驗研究,得到了不同形式的垂線流速分布公式,歸納起來主要有指數形式、對數形式以及拋物線等其他形式,其中尤以對數公式應用最為普遍。20世紀20年代,Prandtl[5]根據自己的動量傳遞理論,提出了均勻流的對數流速分布形式;1938年, Kedegan[6]將平板邊界層的研究成果應用到明渠流,指出明渠流動中斷面流速呈對數規(guī)律分布;Nezu 等[3,7-9]利用二維激光多普勒測速儀研究了光滑壁面水槽均勻紊流,認為光滑壁面的明渠流動存在著黏性底層,在黏性底層內的流速呈線性分布,過渡區(qū)之外的流速分布遵循對數公式或尾流律,并根據實驗給出了公式的相應參數。

流速分布對數公式的這些研究成果得到了廣泛應用,如很多后來的水槽試驗,通常先進行驗證性試驗,將結果與對數公式進行比較[4,10];還有一個比較普遍的應用是利用實測的流速分布,通過給定卡門常數值,可以根據對數公式反算摩阻流速[11]。這些工作都需要將流速測量數據進行對數公式擬合。由于水槽設置、測量儀器等因素導致的測量誤差,試驗數據一般都與所擬合的對數公式有一定偏離;即使是文獻[3]的經典試驗,數據擬合相關系數達0.955以上,也意味著數據與公式有一定的離散。分析這些研究成果,發(fā)現在試驗方法上都存在一個問題:試驗中垂線流速測量點的分布與數量的設置比較隨意,數量通常較少,沒有考慮測量點的數量,即樣本容量對明渠垂線流速分布對數公式擬合的影響;近年關于粗糙床面的試驗也存在同樣的問題[12]。本文通過水槽試驗,應用激光多普勒測速儀對垂線流速分布進行測量,定量分析測點樣本容量大小對明渠垂線流速分布對數公式擬合的影響。

1 試驗裝置和測量方法

試驗在一個長20.0 m、寬0.8 m、深0.6 m的水槽中進行。水槽的可變坡底板為油漆過的鋼板,兩側壁為玻璃。試驗段距水槽進水口約12 m,以保證水流紊動充分發(fā)展。試驗中,用精度為0.1mm的測針量測水面高程,流量由安裝在進水管道上的電磁流量計測量。采用丹麥DanTec生產的二維激光多普勒測速儀測量水槽中垂線上的流速分布,激光多普勒測速儀安裝在高精度的三維坐標架上,位移精度為6.25 μm。

水槽底坡設定為水平,在水槽中進行了4組試驗。前3組試驗中的水深基本不變而調整流量,第4組變化水深。每次都待系統運行穩(wěn)定后再進行垂線流速測量,且垂線位于斷面的中心,以保證水流的二維結構。本次試驗只測量縱向流速,表1給出了4組試驗的水力參數。

表1 試驗水力參數

為滿足試驗要求,對測點的垂線分布作如下考慮:一是通常認為0.2倍水深內符合對數公式,故在0.2倍水深內測量;二是根據對數公式特點,采用接近床面測點間距小、遠離床面測點間距大的原則,在0.2倍水深內,對前3組試驗按0.2 mm間距20個點,然后0.3 mm、0.4 mm和0.5 mm間距各30個點的方式,共測110點流速數據以供分析。

2 試驗結果分析

2.1 數據分析方法

如前所述,光滑壁面的明渠流動存在著黏性底層,其內流速呈線性分布。黏性底層之上的區(qū)域稱為過渡區(qū),目前過渡區(qū)內尚無明確的流速分布表達公式。通常黏性底層和過渡區(qū)在明渠流中只占很小部分。在過渡區(qū)之外的流速分布遵循對數公式:

式中:y為距床面的距離;u為距床面y處的流速;u*為摩阻流速;κ為卡門常數;ν為黏性系數;A為積分常數。

式(1)中摩阻流速的確定可以有多種方法[13],卡門常數通常取0.4,積分常數可取為5.3。鑒于本文的研究目的,取卡門常數為0.4,而摩阻流速和積分常數通過對數公式的擬合確定。圖1所示為試驗3垂線流速分布試驗結果及其式(1)的擬合,相關系數達0.984,表明符合對數分布規(guī)律。4次試驗數據通過式(1)擬合的結果為

即積分常數A為4.9,與通常所接受的5.3相差無幾,表明該試驗設施所得試驗結果合理可信。

圖1 垂線流速分布試驗結果與對數公式擬合的比較

2.2 樣本容量的影響

由統計理論的大數定律可知,樣本容量越大,得到的統計值越穩(wěn)定,但應以多少為宜未見報道。圖1所示為單根垂線測量110個點的結果,測量工作量較大。將試驗測得的每根垂線110個數據,按照盡量等間距的取樣原則,生成分別含有10、20、30……100共10個新的數據系列,與原有110個數據一起,分別用對數公式(1)進行擬合,從而分析樣本容量對擬合結果的影響。

如前所述,當卡門常數取為0.4時,將不同系列長度的每組數據通過式(1)進行擬合,可以得到摩阻流速u*和積分常數A;同時相應得到反映數據擬合結果好壞的統計參數,如相關系數R2和變差系數Cv。這樣,就可以計算得到4組試驗中每組11個系列所對應的4個參數的變化,如圖2所示。由圖2 (c)可知,除試驗4兩個系列相關系數為0.955左右外,其他都在0.960以上,甚至接近0.990,說明試驗數據精度較高。

圖2 u*、A、R2和Cv隨樣本容量大小的變化

圖2表明,4個參數的統計值隨樣本容量大小的變化而變化。比較而言,摩阻流速對樣本容量的依賴較小,樣本容量較小時也相對穩(wěn)定;而其他3個參數隨樣本容量大小的變化較大,樣本容量較小時波動較大?？傮w而言,樣本容量越小,統計值的波動越大;當樣本容量逐漸變大時,漸漸趨于穩(wěn)定,充分體現了統計理論的大數定律。圖2還表明,4個參數趨于穩(wěn)定的樣本容量閾值也有所不同。定性比較與定量分析表明,摩阻流速的閾值為40個測點,積分常數為50,而相關系數和變差系數在60以上。因此可以認為,比較穩(wěn)定、合理的垂線流速分布的試驗研究,測量的垂線點位需要一定的樣本容量;對于本試驗與測量系統而言,在間距比較均勻分布的條件下,0.2倍水深內所需的樣本容量為50左右。

3 結 論

a.試驗測得的垂線流速分布符合對數公式。

b.應用對數公式擬合垂線流速分布測量數據所得的摩阻流速、積分常數及其統計變量相關系數和變差系數,其結果隨樣本容量大小的變化而變化;當樣本容量逐漸變大時,漸漸趨于穩(wěn)定,符合統計理論的大數定律。

c.為了比較穩(wěn)定、合理地反映垂線流速分布的變化,垂線的測點需要一定的樣本容量;本文試驗在間距比較均勻分布的條件下,0.2倍水深內所需樣本容量為50左右,可以作為參考。

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[13]NEZU I,NAKAGAWA H.Turbulence in open channel flows[M].Rotterdam,Netherlands:A.A.Balkema Publishers,1993.

Impact of sample size on the log-law fitting of vertical velocity distribution in open-channel flows

//CHEN Xingwei1,2,LIN Bingqing1,LIN Musheng1(1.College of Geographic Science,Fujian Normal University,Fuzhou350007,China;2.Cultivation Base of State Key Laboratory of Humid Subtropical Mountain Ecology,Fuzhou350007,China)

In order to investigate the impact of sample size for open channel vertical velocity distribution measurement on the log-law fitting,110 measuring points were arranged within a 0.2 times water depth in flume experiments.The vertical velocities were collected with a laser Doppler anemometer(LDA).Based on the relative equidistance principle,11 sets of velocity of different sample sizes generated from the 110 velocity measurements were used to conduct statistical analysis. The results show that the vertical velocity distributions agree well with the log-law formula.The fitted friction velocity, integral constant,statistical variables and variation coefficient obtained from log-law fitting vary with the size of the samples.With the sample size increase,these parameters tend to be stable which is consistent with the statistical law of large numbers.It can be concluded that a certain sample size is needed at its measuring point to accurately reveal the vertical velocity distribution.According to the present test,a sample size of about 50 is necessary for a reasonable fitting result within0.2 times water depth when the measurements are uniform distributed with same interval in the vertical direction.

open-channel flow;vertical velocity;velocity distribution;log-law formula;sample size

10.3880/j.issn.10067647.2013.05.008

TV133.1

A

10067647(2013)05003503

20121008 編輯:熊水斌)

國家自然科學基金(50979015)

陳興偉(1963—),男,福建福鼎人,教授,博士,主要從事流域水沙污染物過程及其模擬研究。E-mail:cxwchen215@163.com