葉枝宏,石東偉

（1.普洱學院數(shù)學系,云南普洱665000；2.河南科技學院,河南新鄉(xiāng)453003）

零點和極點位于有限條射線上的亞純函數(shù)的增長性

葉枝宏1,石東偉2

（1.普洱學院數(shù)學系,云南普洱665000；2.河南科技學院,河南新鄉(xiāng)453003）

研究了一類亞純函數(shù)級的估計問題,得到了零點位于從原點出發(fā)的有限條射線,極點位于其他從原點出發(fā)的有限條射線上的亞純函數(shù)級與下級,沒有類似于此類整函數(shù)的級與下級的估計關系.

亞純函數(shù)；零點和極點；級與下級

1 亞純函數(shù)概述和主要結論

本文假設讀者已經(jīng)熟悉了Nevanlinna理論中的主要結果和相關記號,并統(tǒng)一用ρf（λf）表示函數(shù)f（z）的級（下級）,簡記為ρ（λ）.此外,詳細內(nèi)容可參考文獻[1-3].

對于零點和極點位于有限條射線上的亞純函數(shù),喬建永在文獻[4]中證明了：

定理A如果亞純函數(shù)f（z）的零點位于arg z=θj（j=1,2…,q）則

筆者近期在文獻[5]中證明了：

定理B存在的亞純函數(shù)f（z）,滿足：

（1）零點和極點位于有限條（一條）射線上；

（2）級為+∞,下級為0；

（3）只有有限條Julia方向.

而定理B證明中所構造的亞純函數(shù)函數(shù)的零點和極點位于同一條射線上.一個比較自然的問題是當零點和極點所在射線不同時,級與下級之間是否有一種具體的圍界式子.對于只有2條射線的情況,在文獻[6]中證明了：

定理C設亞純函數(shù)f（z）的零點位于arg z=α,極點位于arg z=β（,α≠β）,那么它的級和下級滿足ρ≤[λ]+2.

猜測一般情況可能具有ρ≤[λ]+m的估計（m為射線條數(shù)）,進一步否定了這個猜測.具體而言得到如下定理：

定理1對于任何s∈N,必存在α1, α2, α3,β1, β2, β3∈[-π,π)和一零點位于射線arg z=α（jj=1,2,3）,極點位于射線arg z=β（jj=1,2,3）上的亞純函數(shù)（fz）滿足ρf-λf＞s.

2 幾個輔助結論以及證明

定義設D=D(α1,α2,....,αm)表示從原點出發(fā)的射線族Dl=D(lα1,lα2,....,lαm),l∈N； 用G(Dl)表示集合的凸包（開）,并記V(D)={l∈N∶0?G(Dl)}.

引理1設D=D(α1,α2,....,αm)和F=F(β1,β2,....,βm)兩判別的射線族,如果存在自然數(shù)q,q'使得{q,q+1,...,q'}∩V(D)=φ,并且{q,q+1,...,q'}∩V(F)=φ,則存在一零點位于D,極點位于F上的亞純函數(shù),滿足λ＜q≤q'＜ρ.

引理1的證明需要下面的引理：

引理2給定m, q, s∈N;βμl∈(0,+∞),1≤μ≤m,0≤l≤s -1,則存在有窮的正數(shù)序列xμj,1≤j≤n(μ),1≤μ≤m,滿足,這里n（μ）是有限數(shù),并且不失一般性設0＜xμj＜1[7].

引理1的證明：

設q,q'使得{q,q+1,...,q'}∩V(D)=φ,并且{q,q+1,...,q'}∩V(F)=φ成立的自然數(shù).運用引理2和V（D）和V（F）的定義,對于D=D(α1,α2,....,αm),存在βμl,使得

對于F=F(β1,β2,....,βm),存在βμl',使得

對于βμl,βμl',存在0＜xμl＜1和0＜yμl＜1,滿足

下面構造遞增趨于+∞的數(shù)列｛tv｝和｛Nv｝,Nv是M的整數(shù)倍.

對于λ∈(q-1,q)；ρ∈(q',q'+1),選取適當?shù)膖,使0按如下遞推的方式定義：

當v是奇數(shù)時選取Nv≈2(Ctv)λ.

當v是偶數(shù)時Nv的選取如下：

N2≈2(Ct2)ρ.如果t4＞e2Ct2,選取N4≈2(Ct4)ρ.否則選取N4≈2(Ct4)λ.

依次下去：如果tv＞＜v, k是使得Nk≈2(Ctk)ρ,且與v最近的偶數(shù)）選取Nv≈2(Ctv)ρ,否則選取的v必然有無窮多項.記

顯然有Ctv＜tv+1,又因為C≥A,C≥B,所以區(qū)間[tv,Btv]對于每一個都不相交,區(qū)間[tv,Atv]對于每一個v也不相交；

記n1（t）=n1（t,Z）,n2（t）=n2（t,Y）

構造的n1（t）,n2（t）具有以下性質(zhì)（設A≥B）

下面構造以{aj},{bj}為零點,以p'為虧格的典型乘積E1(z)和E2(z),并構造亞純函數(shù)

選取r∈[A-1exp(At),Alnt]∩[B-1exp(Bt),Blnt ],顯然上面的交集非空且r?[t,Ct ],

vn vn+1vn vn+1vn vn

r?[tvn,Atvn],r?[tvn,Btvn].選取充分小ε0的使得區(qū)間[r, r+ε0)內(nèi)沒有（fz）的零點和極點.在｜z｜≤r＜r+ε0（ε0是充分小的固定正數(shù)）內(nèi)

沒有零點和極點,于是LogF（z）可以單值解析分支,選取主值分支logF（z）（選取的原因是后面的運算與虛部無關）.此時在原點的充分小領域內(nèi)

于是得到

對式（1）兩邊取實部得到

其中

所以

進一步來估算A(k,r).

（1）當q≤k≤q'時,由引理1有

由于

（2）當利用這些關系式子得到

從而所構造的函數(shù)以λ為下級,以ρ為級,且λ＜q≤q'＜ρ.

3 借助輔助引理證明定理1

根據(jù)引理3對于任意的s∈N,存在q∈N,使得2q-1＞s,記q'=3q -1＞q+s,我們考慮射線族和射線,其中,容易看到{q,q+1,...,q'}∩V(D)=φ,且{q,q+1,...,q'}∩V(F)=φ.

由上面的定理知道存在亞純函數(shù)（fz）滿足λ＜q≤q'＜ρ,即ρ-λ＞q'-q =s.

定理說明對于一般情況ρ≤[λ]+m的估計不成立.

證畢.

[1]陳特為,張錫桐.圓外亞純函數(shù)的Nevanlinna理論[J].華南師范大學學報：自然科學版,2002,11（4）：40-44.

[2]張南岳,陳懷惠.復變函數(shù)選講[M].北京：北京大學出版社,1995：53-78.

[3]Lee A.Rubel,Entire and Meromorphic Funcions[M].Spinger,1996：78-86.

[4]Qiao J Y.Tow problems in the value distribution theory[J].Acta.Mathematics sinia Newseries,1995,11（4）：365-369.

[5]葉枝宏,劉滿霞.零點和極點位于有限條射線上的亞純函數(shù)[J].云南師范大學學報：自然科學版,2007,8（增1）：18-20.

[6]葉枝宏,尹愛軍.一類亞純函數(shù)的級[J].華南師范大學學報：自然科學版,2010,24（2）：24-26.

[7]Gleizer E V.Growth of entire functions with zeros on a syetm of rays[J].Ukrainskii Matematicheskii Zhurnal,1996,38（3）：292-302.

（責任編輯：盧奇）

Growth of Meromorphic functions with zeros and poles lie on finitely many rays

Ye Zhihong1,Shi Dongwei2
（1.Department of Mathematics Puer College,Puer 665000,China；2.Henan Insititute of Science and Technology,Xinxiang 453003,China）

A question about the order and the lower order of meromorphic functions with zeros lie on finitely many rays and poles lie on finitely many other rays will be answered.Relation the order and the lower order of those meromorphic functions different from entire functions with zeros lie on finitely many rays.

Meromorphic function；order and lower order；zeros and poles

O174.52

A

1008-7516（2013）05-0040-05

10.3969/j.issn.1008-7516.2013.05.010

2013-06-24

云南省教育廳科學研究基金資助項目（2012c170）

葉枝宏（1980-）,男,云南普洱人,碩士,講師.主要從事復分析研究.