陸志昌，左 東

一、引言

股票交易中交易策略的制定已經(jīng)成為成功的交易和資產(chǎn)管理至關(guān)重要的一部分，許多大機(jī)構(gòu)已經(jīng)開(kāi)始越來(lái)越關(guān)注股票交易風(fēng)險(xiǎn)。舉例來(lái)說(shuō)，一個(gè)大機(jī)構(gòu)戶如果要賣掉庫(kù)存中數(shù)量較大的股票，它將面臨如下難題。如果機(jī)構(gòu)急于拋掉股票的話，勢(shì)必會(huì)造成最后得到的現(xiàn)金收益會(huì)遠(yuǎn)小于期望值，這是因?yàn)樗鼈兗庇趻伒艄善钡倪^(guò)程中已經(jīng)給市場(chǎng)造成了恐慌，散戶不但不會(huì)買這支股票，反而可能加入到拋售股票的浪潮中，這會(huì)給股價(jià)帶來(lái)持續(xù)打壓，最終會(huì)導(dǎo)致那些大機(jī)構(gòu)戶賣掉股票所得現(xiàn)金大打折扣。所以說(shuō)對(duì)于那些大機(jī)構(gòu)戶和大眾來(lái)說(shuō)，去制定和管理大數(shù)量股票的交易策略將很有意義，因?yàn)檫@不僅不會(huì)給市場(chǎng)帶來(lái)恐慌，也會(huì)給投資者帶來(lái)信心，最終也會(huì)對(duì)金融市場(chǎng)的持續(xù)穩(wěn)定運(yùn)行起到積極作用。

?ksendal（1998）[1]和Mckean（1960）[2]運(yùn)用了相同的思路去研究股票交易的最優(yōu)策略，他們將股票最優(yōu)交易策略提煉成最優(yōu)停時(shí)問(wèn)題并得到一個(gè)閉解，利用光滑技術(shù)，把問(wèn)題當(dāng)做是自由邊界問(wèn)題去解決。Guo and Zhang（2005）[3]拓展了?ksendal（1998）[1]的結(jié)果，他們用一個(gè)雙狀態(tài)的馬爾科夫鏈去體現(xiàn)可能的市場(chǎng)變化狀態(tài)，并且利用光滑技術(shù)，最優(yōu)停時(shí)問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為具有確定光滑邊界的一系列迭代方程，并也得到了閉解。另外一種方法去研究股票最優(yōu)交易策略是制定具有兩種臨界價(jià)格的賣股策略，兩種臨界價(jià)格分別是賣股票的目標(biāo)價(jià)格和止損價(jià)格，一旦市場(chǎng)的股票價(jià)格處于這兩種臨界價(jià)格之間，就可以得出賣股策略，這種研究方法的目標(biāo)是選擇這些臨界值來(lái)使得投資者最后的收益最大化。Zhang（2001）[4]通過(guò)求解一個(gè)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題得到了最優(yōu)的臨界值，并且給出了解析解和最優(yōu)解的形式。Zhang，Lin，和 Liu（2005）[5]在馬爾科夫鏈模擬的狀態(tài)值很大的時(shí)候得到了一個(gè)接近最優(yōu)的賣股策略。Lin，Liu，Zhang（2002）[6]利用隨機(jī)近似的方法研究了一類股票的交易問(wèn)題，他們的思想是設(shè)計(jì)了一種遞歸的算法去逼近最優(yōu)的閥值，并且得到了算法的收斂性和收斂速度。Helmes（2004）[7]利用線性規(guī)劃的方法計(jì)算了賣股策略的問(wèn)題。前面的這些文獻(xiàn)在研究股票的交易策略問(wèn)題上都有一個(gè)共性，那就是庫(kù)存中股票都是一次賣掉，這種做法對(duì)庫(kù)存中數(shù)量較小的股票顯然是可行的，但是一旦股票數(shù)量較大且在短時(shí)間賣出，那將對(duì)市場(chǎng)造成沖擊，結(jié)果股價(jià)下降使投資者收益減小。Pemv和Zhang（2006）[8]是在預(yù)先設(shè)定好的時(shí)間段內(nèi)去研究賣股的策略問(wèn)題，一個(gè)典型的賣股策略是在較長(zhǎng)的時(shí)間段內(nèi)分批小量的賣出庫(kù)存中數(shù)量較大的股票。在某種意義上，Pemy（2006）[9]用一個(gè)連續(xù)的模型在時(shí)間區(qū)間上去描述賣股的速度，目標(biāo)是使得整個(gè)時(shí)段內(nèi)的收益最大，通過(guò)使用Soner（1984）[10]中粘性解的技術(shù)去研究?jī)r(jià)值函數(shù)和邊界條件。

在Pemy（2006）[11]的文章中，討論研究賣股的策略總共有三種情況，Pemy只是討論了第一種情況，其他兩種情況沒(méi)有研究。所以本文主要研究Pemy（2006）[11]中遺留下來(lái)的問(wèn)題。本文余下的內(nèi)容是這樣編排的，在下一節(jié)中，將根據(jù)假設(shè)條件利用帶約束帶的隨機(jī)控制問(wèn)題去提出問(wèn)題，關(guān)于粘性解的理論證明見(jiàn)Pemy（2006）[11]。在第3節(jié)中，將得到的HJB方程離散化并使用Merte Callo技術(shù)去模擬問(wèn)題的邊界條件，利用Foryth（2007）[12]中研究的滿足正系數(shù)條件的有限差分方法去對(duì)離散的HJB方程進(jìn)行數(shù)值求解。在第4節(jié)中，將對(duì)問(wèn)題的解作若干定性分析。

二、問(wèn)題的提出

用 S（t）和 q（t）分別表示股票價(jià)格和賣股票的速度(賣率)，得到以下隨機(jī)微分方程

需要說(shuō)明的是股價(jià)dS（t）的變化主要有三個(gè)部分。第一個(gè)部分是漂移項(xiàng) μS（t）dt，其中 μ＞0。 另一部分是擴(kuò)散項(xiàng) σS（t）dW（t）其中 W（t）是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。第三項(xiàng) L（S（t），q（t））dt是表示由賣率q（t）dt對(duì)股價(jià)所帶來(lái)的相對(duì)影響。正是因?yàn)橘u率會(huì)影響股價(jià)，所以必須在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)去考慮怎樣賣掉庫(kù)存中的股票。

這里有三種情況需要去考慮。在情況（i）中，由于賣股票所帶來(lái)的股價(jià)影響，假設(shè) L（S（t），q（t））=bq（t）S（t），其中 b＞0，b 是相對(duì)于賣率給定的一個(gè)合適的折扣率，在這種情形下的大庫(kù)存股票交易的最優(yōu)策略參考文獻(xiàn)[11]已經(jīng)研究了。在情況（ii）中，考慮到市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)，可以假設(shè) L（S（t），q（t））=0。在情況（iii）中，假設(shè) L（S（t），q（t））=kpS（t）?（q（t）），其中 ?″（x）＞0，kp可以稱為永久影響因子，也就是說(shuō)隨著投資者加速賣掉庫(kù)存中的股票，會(huì)給股價(jià)帶來(lái)加劇的打壓。舉例來(lái)說(shuō)，一旦市場(chǎng)的投資者意識(shí)到大機(jī)構(gòu)戶正在拋售股票，他們也會(huì)加入到拋售股票的浪潮中，而不是去買這種股票，最終會(huì)導(dǎo)致股價(jià)連續(xù)加劇下降，給機(jī)構(gòu)戶帶來(lái)?yè)p失。本文重點(diǎn)就是要討論第（iii）中情況，假設(shè) ?（x）=x2，本文中我們?nèi)?kp為常數(shù)。由上面的假設(shè)，方程(1)可以寫(xiě)成

在我們的問(wèn)題中，S（t）是狀態(tài)變量，q（t）是控制變量。t時(shí)刻還沒(méi)有賣掉的庫(kù)存中的股票數(shù)量定義為Z（t），也就是說(shuō)在我們的問(wèn)題中，允許Z（t）在非負(fù)實(shí)數(shù)中取值。我們用下面的隨機(jī)微分方程去描述賣股速率的變化

這樣，任意時(shí)刻 t將包括一對(duì)變量（S（t），Z（t）），它的取值區(qū)間定義為 γ=［0，∞）×［0，N］，這里的 N 是庫(kù)存中需要賣的股票的總數(shù)量。值得注意的是，本文中我們限定賣率 q（t）是在=［0，1］這個(gè)集合上取值的。

定義2.1控制變量q（·）對(duì)給定的初值（s，z）∈Γ是可允許的，如果滿足

（i）q（·）是 Ft=σ｛S（k）：k≤t｝適應(yīng)的，

（ii）對(duì)所有的 t≥0，有 q（·）∈Γ

（iii）對(duì)所有的 t≥0，相應(yīng)的狀態(tài)過(guò)程（S（t），Z（t））∈γ.我們用A=A（s，z）去定義所有的可允許集。

可允許性要求控制變量q（t）不依賴于未來(lái)的信息，而是依賴于t時(shí)刻為止的所有信息。并且控制變量是取值于=［0，1］，狀態(tài)約束變量（S（t），Z（t））是取值于 γ。

市場(chǎng)利率ρ＞0是反映現(xiàn)有股票庫(kù)存的機(jī)會(huì)成本。也就是說(shuō)當(dāng)市場(chǎng)利率ρ越高，現(xiàn)有庫(kù)存中的股票就越應(yīng)該去賣而不是繼續(xù)持倉(cāng)。在我們研究的問(wèn)題中還有一個(gè)非常關(guān)鍵的變量就是（ρ-μ），如果市場(chǎng)利率ρ是低于股票漂移率μ，那么顯然繼續(xù)持倉(cāng)而不是賣股，所以在我們研究的問(wèn)題中如果要保證賣股速率q（t）＞0必須要求市場(chǎng)利率ρ大于股票漂移率μ，也就是（ρ-μ）＞0。

投資者期望的收益可以定義為整個(gè)賣股過(guò)程的現(xiàn)金流收益，也就是

由動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理的有關(guān)知識(shí)，對(duì)任意的θ和常量控制q，可以有

根據(jù)粘性解的有關(guān)理論我們假設(shè)V是充分光滑的，e-ρθV（S，Z）使用 Ito^得

這里 LqV（S，Z）是如下算子

結(jié)合(5)和(6)，有

讓?duì)融呌跓o(wú)窮大，可得

利用均值理論，有

因?yàn)樯鲜綄?duì)任意的控制q∈A都是成立的，特殊地，可以有

另一方面，假設(shè)q*是最優(yōu)控制.于是我們有

再利用上面相似的討論，我們有

結(jié)合(7)，所以V應(yīng)該滿足

這樣就得到了一類偏微分方程，也叫做Hamilton–Jacobi-Bellman方程，它是滿足

三、離散化和邊界條件

在這一節(jié)中，我們將介紹如何使用滿足正系數(shù)條件的有限差分格式將方程(8)離散化。并利用Merte Callo技術(shù)去模擬問(wèn)題的邊界條件。

可以得到正系數(shù)條件

由[12]，(8)的離散格式和正系數(shù)條件將確保問(wèn)題時(shí)收斂到粘性解.

邊界條件：

（i）當(dāng)股票庫(kù)存中的股票數(shù)量Z=0，此時(shí)可行的最優(yōu)控制q*（S，Z）應(yīng)該滿足q*（S，0）=0，再由(4)式就可以得到Z=0處p邊界條件如下

（ii）當(dāng)庫(kù)存中股票的股價(jià)S=0，此時(shí)可行的最優(yōu)控制q（*S，Z）也應(yīng)該滿足q（*0，Z）=0，因?yàn)楹茱@然，當(dāng)股價(jià)都為零了，也就沒(méi)有賣的必要了。再由(4)式就可以得到S=0處邊界條件如下

（iii）當(dāng)庫(kù)存中股票的股價(jià)S=Smax，由(4)式，利用Monte Carlo模擬技術(shù)，可以得到S=Smax處的邊界條件如下

這里V（Smax，Z）j是由Monte Carlo模擬得到的.

接下來(lái)，結(jié)合(8)，(13)，(14)，(15)介紹數(shù)值求解的迭代算法，不失一般性，我們僅介紹如何通過(guò)去求解，這里 i=2…M，j=1…N.

四、數(shù)值結(jié)果

在這一節(jié)中，我們將列出價(jià)值函數(shù)和相關(guān)最優(yōu)策略一系列的數(shù)值結(jié)果。首先我們列出模型中的一些參數(shù)的值，如下表所示

表1 模型中參數(shù)值

圖1 最優(yōu)交易策略-股價(jià)和庫(kù)存數(shù)量的關(guān)系圖

圖2 不同漂移率下最優(yōu)交易策略-股價(jià)和庫(kù)存數(shù)量的關(guān)系圖

圖3 不同市場(chǎng)利率下最優(yōu)交易策略-股價(jià)S和庫(kù)存數(shù)量Z的關(guān)系圖

圖4 不同波動(dòng)率下最優(yōu)交易策略-股價(jià)S和庫(kù)存數(shù)量Z的關(guān)系圖

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