魯祖坤 高 鷹 肖 劍 石 宇

(1.空軍航空大學(xué) 長(zhǎng)春 130022;2.總參陸航部軍事代表局 北京 100050)

1 引言

近年來，高分辨率的空間譜估計(jì)算法在雷達(dá)、聲納、移動(dòng)通信等多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，理論與實(shí)踐應(yīng)用表明，當(dāng)陣列為理想模型的情況下，空間譜估計(jì)算法的性能十分優(yōu)越，但是當(dāng)陣列存在誤差時(shí)，性能將明顯下降，甚至失效[1，2]。在實(shí)際應(yīng)用中由于生產(chǎn)工藝和施工技術(shù)等方面的影響，陣列誤差往往難以避免，而大多數(shù)陣列誤差都可歸結(jié)為幅度和相位的誤差，因此陣列幅相誤差條件下的波達(dá)方向估計(jì)算法研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[3，4]。均勻圓陣與均勻線陣相比，能夠同時(shí)估計(jì)波達(dá)方向的俯仰角和方位角，具有更優(yōu)的估計(jì)性能[5]。本文利用接收數(shù)據(jù)中信號(hào)子空間與噪聲子空間正交的特點(diǎn)，對(duì)波達(dá)方向的角度和幅相誤差值進(jìn)行初步估計(jì)，根據(jù)初始估計(jì)值，再運(yùn)用迭代的方法進(jìn)行精確估計(jì)，無需初始值，為空間譜估計(jì)理論的廣泛應(yīng)用提供有益參考。

2 信號(hào)模型

2.1 陣列模型

均勻圓陣共有M個(gè)各向同性的陣元分布在一個(gè)半徑為r的圓周上，在x-y-z坐標(biāo)系中，均勻圓陣的中心位于坐標(biāo)系的原點(diǎn)O上，信號(hào)的俯仰角和方位角分別用 φ 和 θ來表示，且 φ∈[0，π/2]，θ∈[0，2π]。在均勻圓陣中，第i個(gè)陣元和圓心之間的連線與x軸之間的夾角為2πi/M;均勻圓陣的半徑可以表示為r=λ/4sin(π/M)，那么相鄰兩個(gè)陣元之間的距離為λ/2，λ為信號(hào)的載波波長(zhǎng)。

圖1 均勻圓陣模型

根據(jù)圖1中的均勻圓陣模型，可以得到均勻圓陣的陣元接收信號(hào)的數(shù)學(xué)模型如下:

式(1)中，X(t)表示陣列在t時(shí)刻接收的觀測(cè)數(shù)據(jù);A表示空間陣列的導(dǎo)向矢量矩陣;S(t)為信號(hào)矢量，滿足 S(t)= [s1(t)，s2(t)，…，sN(t)]T;N(t)為陣元噪聲矢量，N(t)= [n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T，ni(i=1，2，…，M)為零均值、方差為 δ2的白噪聲，且與信號(hào)源無關(guān)[6，7]。式(2)中N表示待估計(jì)的信源個(gè)數(shù);式(3)中，i=1，2，…，M。

2.2 幅相誤差模型

陣列幅相誤差對(duì)陣列流形的幅度和相位產(chǎn)生擾動(dòng)，設(shè)幅度誤差對(duì)陣元i的擾動(dòng)為μi，相位誤差的擾動(dòng)為?i，陣元1為參考陣元，認(rèn)為無誤差存在，因此幅相誤差矢量可表示為:

幅相誤差對(duì)陣列流形的擾動(dòng)，是通過標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)向矢量之前乘以幅相誤差矢量的對(duì)角陣進(jìn)行建模，誤差存在時(shí)的導(dǎo)向矢量表示為:

陣列幅相誤差情況下的陣列流形矩陣可表示為:

陣列接收的快拍數(shù)據(jù)可以表示為[8～10]:

3 算法推導(dǎo)

考慮使用M個(gè)陣元的均勻圓陣(UCA)陣列天線對(duì)N個(gè)窄帶正弦非相干信號(hào)進(jìn)行接收，當(dāng)陣列模型為理想情況時(shí)，接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)為K，接收數(shù)據(jù)如式(1)所示，則協(xié)方差矩陣為[11]:

在實(shí)際應(yīng)用中由于是有限次快拍，RXX不能準(zhǔn)確獲得，一般利用式(5)來近似估計(jì):

式(6)中∑為協(xié)方差矩陣特征值所組成的對(duì)角陣，根據(jù)特征值的大小，將∑ 分解為大特征值組成的∑S和小特征值組成的∑N。US為大特征值所對(duì)應(yīng)的特征矢量所張成的信號(hào)子空間，UN則為噪聲子空間。

在理想情況下，接收數(shù)據(jù)中的信號(hào)子空間與噪聲子空間相互正交，所有信號(hào)子空間的導(dǎo)向矢量與噪聲子空間正交，可以得到:

對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解可得:

在實(shí)際中由于接收數(shù)據(jù)矩陣是有限長(zhǎng)，所以用最大似然估計(jì)得到的噪聲子空間特征矢量矩陣與a(θ)并不能完全正交，故算法以最小優(yōu)化搜索實(shí)現(xiàn)[3，13]:

通過搜索式(7)的空間譜峰值，可得各個(gè)來波信號(hào)的波達(dá)方向角估計(jì)值()，這個(gè)估計(jì)值存在較大的誤差，需進(jìn)一步處理。

式(8)中w=[1 0 0… 0]T，式(9)中UN表示數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RXX特征值分解的噪聲子空間，即未經(jīng)過校正的陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征分解值。對(duì)于存在幅相誤差的陣列，導(dǎo)向矢量用誤差估計(jì)值進(jìn)行修正后信號(hào)子空間依然遵循與噪聲子空間的正交關(guān)系。當(dāng)待估計(jì)的波達(dá)方向角()和幅相誤差估計(jì)矢量與真實(shí)值相符時(shí)，代價(jià)函數(shù)J取得最小值。因此可以通過對(duì)最小代價(jià)函數(shù)進(jìn)行搜索，使其逼近最小值，就能得到波達(dá)方向角(φ，θ)和幅相誤差估計(jì)值Г。

建立代價(jià)函數(shù):

通過迭代法求解最終的估計(jì)值:

第四步判斷式(10)代價(jià)函數(shù)J(k)是否收斂，若收斂則跳到第五步，否則k=k+1，跳到第二步，收斂條件為代價(jià)函數(shù)J(k+1)－J(k)≤T0，T0為門限值，也可以通過設(shè)置一定的迭代次數(shù)來停止迭代;

4 仿真實(shí)驗(yàn)

對(duì)本文提出的算法，進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)陣列為等距均勻圓陣，陣元數(shù)L=8，陣元間距為半波長(zhǎng)，待估計(jì)信源為遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，噪聲為加性高斯白噪聲，快拍數(shù)為512，幅度誤差μ為原幅度值±0.2倍范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，相位誤差?的范圍為0～1.4rad。以下仿真實(shí)驗(yàn)均在同一硬件環(huán)境下運(yùn)行。

實(shí)驗(yàn)一:陣列幅相誤差對(duì)均勻線陣MUSIC算法的影響。

入射角度分別為(20°，20°)，(60°，70°)，(60°，80°)，信噪比SNR=15dB。圖2為無幅相誤差的空間譜估計(jì)圖，圖3為有幅相誤差的空間譜估計(jì)圖，其中(a)空間譜估計(jì)的三維圖，(b)為空間譜估計(jì)的俯瞰圖。

通過圖2和圖3的比較可知，在沒有幅相誤差的情況下，MUSIC算法能夠很好的估計(jì)出信源的波達(dá)方向，但是當(dāng)存在幅相誤差時(shí)，MUSIC算法的估計(jì)性能急劇下降，嚴(yán)重影響了波達(dá)方向的估計(jì)效果。

實(shí)驗(yàn)二:幅相誤差自校正后的空間譜估計(jì)。

入射角度分別為(20°，20°)，(60°，70°)，(60°，80°)，信噪比 SNR=15dB，迭代門限值 T0=0.01，算法經(jīng)4次迭代后收斂。圖4為幅相誤差校正后的空間譜估計(jì)圖，其中(a)空間譜估計(jì)的三維圖，(b)為空間譜估計(jì)的俯瞰圖，表1為幅相誤差估計(jì)值與真實(shí)值對(duì)照表。

圖4 經(jīng)過幅相誤差校正后的空間譜估計(jì)圖

表1 幅相誤差估計(jì)值與真實(shí)值對(duì)照表

從圖4和表1可以看出，通過本文的自校正算法能夠有效的校正幅相誤差，可以得到較好的空間譜估計(jì)圖和幅相誤差估計(jì)值。

實(shí)驗(yàn)三:幅相誤差校正算法的性能隨信噪比變化的影響。

入射角度為(30°，60°)，信噪比 SNR=0 ～20dB，迭代門限值T0=0.01，算法經(jīng)4次迭代后收斂，角度估計(jì)值取100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)的平均值，分別計(jì)算校正前后俯仰角和方位角的估計(jì)值和真實(shí)值的均方根誤差，定義均方根誤差為:

圖5表示了在幅相誤差校正前后俯仰角和方位角隨信噪比的變化。

圖5 幅相誤差校正前后角度估計(jì)RMSE曲線

從圖5可以看出，通過幅相誤差校正后的角度估計(jì)誤差小于校正前的角度估計(jì)誤差。還可以看出，信噪比越大，算法的估計(jì)效果越好。

5 結(jié)束語

本文針對(duì)均勻圓陣中存在陣元幅相誤差的問題，提出了基于MUSIC算法和迭代法的幅相誤差自校正算法。先對(duì)均勻圓陣及其基礎(chǔ)上的幅相誤差建立數(shù)學(xué)模型，利用陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)波達(dá)方向角和幅相誤差進(jìn)行初步估計(jì)，根據(jù)初始估計(jì)值，再運(yùn)用迭代的方法對(duì)波達(dá)方向和幅相誤差值進(jìn)行精確估計(jì)。仿真結(jié)果證明了本文提出算法的有效性。本文提出的算法對(duì)于解決空間譜估計(jì)的實(shí)際工程應(yīng)用，具有重要意義。

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