成曉明

解二元一次方程組的基本思想是消元，求解的主要方法是代入消元法和加減消元法.但是對(duì)于一些比較特殊的方程組，僅有這些方法是不夠的，下面結(jié)合一些典型的例題進(jìn)行分析，向同學(xué)們介紹幾種解二元一次方程組常用的思想方法.

一、 轉(zhuǎn)化思想

例1 解方程組5x+y=6， ①3x-2y=1.②

【解析】觀察方程組中x、y的系數(shù)的特點(diǎn)，可以將方程①變形為y=6-5x③，然后將③代入②，消去y，得到關(guān)于x的一元一次方程，先求出x，進(jìn)而再求出y的值.

或者將方程①×2+②消去y，然后得到關(guān)于x的一元一次方程求解.

例2 解方程組7x-11y=7， ①17x-13y=-7.②

【解析】觀察方程組中x、y的系數(shù)，既不簡(jiǎn)單，也不存在倍數(shù)關(guān)系，用代入消元法和加減消元法數(shù)據(jù)都相對(duì)復(fù)雜，再次觀察系數(shù)，發(fā)現(xiàn)①+②可得24x-24y=0，化簡(jiǎn)得x=y③，再利用代入消元法求解就非常簡(jiǎn)單了.

說(shuō)明：轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜的、陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的問(wèn)題進(jìn)行求解，這是學(xué)習(xí)新知識(shí)、研究新問(wèn)題的常用的基本方法.解二元一次方程組實(shí)際上就是通過(guò)“消元”（代入消元、加減消元）的手段化“二元”為“一元”.

二、 整體思想

例3 解方程組3x-2（x+2y）=3， ①11x+4（x+2y）=45.②

【解析】方程①和②中都含有（x+2y），可以將（x+2y）看作一個(gè)整體，①×2+②，從而消去（x+2y），達(dá)到消去y的目的.

例4 解方程組3x+2y-2=0， ①■-2x=-3.②

【解析】方程①和②中都含有（3x+2y），可以將（3x+2y）看作一個(gè)整體，把方程①變形為3x+2y=2③，然后將方程③代入方程②，從而消去（3x+2y），達(dá)到消去y的目的.

說(shuō)明：解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們往往習(xí)慣于從問(wèn)題的局部出發(fā)，將問(wèn)題分解成若干個(gè)小問(wèn)題，然后逐一解決.然而這種思考方法常常導(dǎo)致解題過(guò)程繁雜，運(yùn)算量大.這時(shí)可將注意力和著眼點(diǎn)放在其問(wèn)題的整體上，突出對(duì)問(wèn)題整體結(jié)構(gòu)的分析，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，找出整體與局部的有機(jī)聯(lián)系，從整體上把握并解決問(wèn)題，這就是整體思想.

三、 數(shù)形結(jié)合思想

例5 如圖，8塊相同的小長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，求其中每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積.

【解析】圖形中隱含著長(zhǎng)和寬的兩個(gè)關(guān)系：一是每塊小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)是寬的3倍，二是長(zhǎng)與寬的和為60厘米，由此可以設(shè)未知數(shù)并列方程求出地磚的長(zhǎng)和寬，進(jìn)而求出每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積.

例6 小明在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形恰好可以拼成一個(gè)大的矩形，如圖（1）所示.

小紅看見(jiàn)了，說(shuō)：“我來(lái)試一試.”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成如圖（2）那樣的正方形.咳！怎么中間還留下了一個(gè)洞，恰好是邊長(zhǎng)為2 mm的小正方形！你能求出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬嗎？

【解析】本題中有兩個(gè)未知量：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，而小明和小紅的兩個(gè)拼圖恰好給出了兩個(gè)等量關(guān)系：圖1中得到：長(zhǎng)×3=寬×5，圖2中得到：寬×2-長(zhǎng)=2，由此可以設(shè)未知數(shù)并列方程求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，

說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化. 幾何問(wèn)題代數(shù)化.上面所舉的兩例都是巧妙地運(yùn)用拼圖，建立起小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的關(guān)系，將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，突破了用語(yǔ)言描述數(shù)量關(guān)系的常規(guī)，突出了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

四、 類比思想

例7 已知方程組2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.請(qǐng)你用較簡(jiǎn)便的方法解方程組2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9.

【解析】如果將方程組2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9中的（a-1）、（b+2）看做是一個(gè)整體，那么a-1=x，b+2=y，因?yàn)榉匠探M2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.所以a-1=2.3，b+2=1.2.這樣就可以求出方程組的解了.

說(shuō)明：在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中有一些相類似的概念，可以利用類比法進(jìn)行學(xué)習(xí)，類比思想其實(shí)就是知識(shí)的遷移，就是一類問(wèn)題的解決方法對(duì)另一類問(wèn)題的影響，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，我們應(yīng)當(dāng)注意遷移意識(shí)的培養(yǎng).

例8 有同學(xué)在解方程組22x+27y=4，7x+9y=3時(shí)，采用了如下的解法：原方程組化為x+3（7x+9y）=4，①7x+9y=3. ②將②代入①得x+3×3=4，所以x=-5，把x=-5代入②求得y=■，所以原方程組的解為x=-5，y=■.請(qǐng)你用這種方法解方程組3x+5y=2， ①11x+20y=6.②

【解析】方程②可以變形為4（3x+5y）-x=6③，然后把方程①代入方程③，這樣就可以達(dá)到消去y的目的.

說(shuō)明：數(shù)學(xué)上的類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去的思想.類比思想不僅使數(shù)學(xué)知識(shí)容易理解，而且使知識(shí)的記憶變得自然和順暢，從而可以激發(fā)起學(xué)習(xí)的創(chuàng)造力.

五、 換元思想

例9 解方程組4（x+y）-5（x-y）=2，■+■=6.

【解析】設(shè)x+y=m，x-y=n，則原方程組可變形為關(guān)于m、n的方程組4m-5n=2，■+■=6.方程組形式較為簡(jiǎn)單，可以先求出m、n，再求出x、y.

說(shuō)明：換元法通過(guò)用一個(gè)字母表示一個(gè)整體的方法進(jìn)行變量的替換，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的.