呂娟

乘法公式是在多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上，將多項(xiàng)式乘法的一般法則應(yīng)用于一些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，得出的既有特殊性又有實(shí)用性的具體結(jié)論.在數(shù)學(xué)中乘法公式好似一位神奇的魔術(shù)師，施展著“魔力”讓數(shù)學(xué)趣味無(wú)窮.下面就讓我們走進(jìn)乘法公式的神奇世界，體驗(yàn)一下乘法公式“變形記”.

一、 拆拆巧“變形”

例1 計(jì)算992-100×98.

【分析】將100寫為99+1，98寫為99-1，恰好可以用平方差公式計(jì)算.

解： 992-100×98

=992-（99+1）（99-1）

=992-（992-1）

=1.

【點(diǎn)評(píng)】用乘法公式計(jì)算，首先要把需要計(jì)算的算式寫成乘法公式的形式，一般地，給出的算式是可以寫成公式所要求的形式的，可以利用乘法公式能簡(jiǎn)化計(jì)算.

【請(qǐng)你嘗試】計(jì)算20■×19■；10.2×9.8-10.12.

例2 若a2+2a+b2-6b+10=0 ，求a，b的值.

【分析】拆項(xiàng)，將10拆成1+9兩項(xiàng)，原多項(xiàng)式配方為（a2+2a+1）+（b2-6b+9），括號(hào)里的兩個(gè)因式都是完全平方式，分別根據(jù)完全平方和、差公式分解因式；再利用完全平方式a2≥0的性質(zhì)解答，即若A2+B2=0，則有A=0且B=0.

解：因?yàn)閍2+2a+b2-6b+10=0，

所以（a2+2a+1）+（b2-6b+9）=0，即（a+1）2+（b-3）2=0.

則a+1=0，b-3=0.所以a=-1，b=3.

【請(qǐng)你嘗試】若m2+n2-6n+4m+13=0，求m2-n2的值.

二、 添添也能行

1. 添括號(hào)

例3 計(jì)算：（a+b+5）（a-b-5）.

【分析】前后兩個(gè)因式中所含的項(xiàng)僅僅是符號(hào)不同，于是可以通過(guò)添括號(hào)將其變形為平方差公式的形式.

解：原式=[a+（b+5）][a-（b+5）]

=a2-（b+5）2

=a2-b2-10b-25.

【請(qǐng)你嘗試】計(jì)算：（a-b+c-d）（a+b+c+d）.

2. 添項(xiàng)

例4 計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）-216.

【分析】本題前面的連乘中后一個(gè)因式恰好是前一個(gè)因式里兩個(gè)數(shù)的平方和，針對(duì)這一特點(diǎn)，只要在連乘因式前面添上（2-1）即可連續(xù)使用平方差公式.

解： （2+1）（22+1）（24+1）（28+1）-216

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）-216

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）-216

=（24-1）（24+1）（28+1）-216

=（28-1）（28+1）-216

=（216-1）-216

=-1.

【請(qǐng)你嘗試】計(jì)算：（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）（732+1）.

三、 根據(jù)條件來(lái)變形

例5 已知a2-3a+1=0，求：（1） a+a-1；（2） a2+a-2.

【分析】將a2-3a+1=0進(jìn)行變形，可求出a+a-1的值，然后逆用完全平方公式，可得出各個(gè)代數(shù)式的值.

解：因?yàn)閍2-3a+1=0，且a≠0，所以a2+1=3a.

故a+a-1=3，a2+a-2=（a+a-1）2-2=7.

【請(qǐng)你嘗試】已知a2-3a+1=0，求a4+a-4 的值.

四、 借用字母巧變形

例6 若x=123 456 789×123 456 786，y=123 456 788×123 456 787，試比較x、y的大小.

【分析】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，x、y的各個(gè)因數(shù)都在123 456 788附近“徘徊”，不妨設(shè)123 456 788=a，則123 456 789=a+1，123 456 786=a-2，123 456 787=a-1.

解：設(shè)123 456 788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a.

因?yàn)閤-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2<0，所以x

【請(qǐng)你嘗試】

1. 用以上的方法比較x=1.345×0.345×2.69，y=1.3453-1.345×0.3452的大小.

2. 已知M=2 010×2 012+4，N=2 0102-2 010×2 012+2 0122，請(qǐng)判斷M、N的大小關(guān)系.