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        怎樣學(xué)好“整式乘法與因式分解”

        2013-05-27 07:32:04潘建明
        關(guān)鍵詞:公因式平方差單項式

        潘建明

        學(xué)習(xí)本章的內(nèi)容不要被本章的標題所迷惑,本章的本質(zhì)內(nèi)容是整式的乘法和因式分解,面積只是幫助同學(xué)們理解本章公式和法則的背景知識,也就是說數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)好本章的重要助手.

        一、 教材解讀

        本章的內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了整式加減的基礎(chǔ)上,進一步對整式乘法運算的研究,也是后繼學(xué)習(xí)整式、分式、方程等內(nèi)容的基礎(chǔ),非常重要,請同學(xué)們要全面掌握,為將來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

        本章的6節(jié)內(nèi)容分為3個部分,第1~3節(jié)的本質(zhì)內(nèi)容是整式的乘法,第4節(jié)乘法公式,第5、6節(jié)是因式分解.本章的知識結(jié)構(gòu)關(guān)系如圖1:

        從整體中去把握知識結(jié)構(gòu),才能使所學(xué)知識的記憶更加牢固、對知識的理解更加深刻,也便更好地將知識進行內(nèi)化和加強知識之間的聯(lián)系.

        二、 難點突破

        1. 在整式乘法的學(xué)習(xí)過程中,同學(xué)們遇到的最大的難點是對相關(guān)運算法則的理解.

        突破難點的方法是對字母含義的本質(zhì)理解和對乘法分配律法則的靈活運用.在代數(shù)式ab中,字母a、b表示什么?它們可以表示數(shù)和式,這里的式是指整式即單項式或多項式.如果a、b都表示數(shù),在小學(xué)階段就已經(jīng)探究過了;如果其中一個是數(shù),另一個是整式,在前面的去括號的學(xué)習(xí)中也探究過了;現(xiàn)在遇到的情境是,如果a、b都表示整式,可以將其乘積的形式歸納為3種類型:單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式.

        單項式乘單項式的過程要分3個部分:積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積(有理數(shù)的乘法);相同字母相乘(同底數(shù)冪的乘法);只在一個單項式里含有的字母,要連同它的指數(shù)寫在積里,注意不要把這個因式丟掉.

        單項式乘多項式可以直接運用乘法分配律;在多項式乘多項式的過程中,實質(zhì)上是兩次運用乘法的分配律,如:

        計算:(m+n)(a+b),若把(a+b)看成一個整體,(m+n)(a+b)=m(a+b)+n(a+b)=ma+mb+na+nb.

        另一方面,可用數(shù)形結(jié)合思想,運用圖形的面積 “以形輔數(shù)”來幫助理解這三個法則,這是法則的背景知識.

        在單項式乘多項式和多項式乘多項式的計算過程中,最容易犯的錯誤是乘法計算的過程中漏掉一些項,這一點同學(xué)們千萬要注意.

        2. 在乘法公式的學(xué)習(xí)過程中,遇到的最大困難是對公式的本質(zhì)理解和正確運用.

        對完全平方公式和平方差公式的本質(zhì)理解,可以從數(shù)和形兩個方面結(jié)合起來進行.從數(shù)的方面要理解公式的本質(zhì)來源是多項式乘多項式法則;從形的角度,一是要分清適用公式的形式特征,二是要從數(shù)形結(jié)合思想,運用圖形的面積 “以形輔數(shù)” 來理解公式.

        在完全平方公式運用中,很多同學(xué)會將公式寫成(a±b)2=a2+b2,少了±2ab.可以借助圖2來幫助理解,從整體考慮這個大正方形的面積為(a+b)2,從局部考慮這個大正方形的面積應(yīng)為a2+b2+ab+ab,它們表示的是同一個正方形的面積,雖然形式不同,但它們要相等,因此有(a+b)2=a2+2ab+b2,可見不能少掉2ab!在平方差公式的學(xué)習(xí)中,教材中的圖不太利于同學(xué)們對教材意圖的理解,現(xiàn)在可看下面的圖3,它能更好地促進同學(xué)們對平方差公式認識的內(nèi)化.圖3中的計算面積的意圖你能理解嗎?怎樣才能得到平方差公式呢?大家不妨動手試一試!

        在因式分解的學(xué)習(xí)過程中,同學(xué)們常常對因式分解的綜合運用感到困難,怎樣在進行因式分解的過程中提高學(xué)習(xí)策略的運用水平呢?請關(guān)注圖4中的分解策略.

        說明:在因式分解過程中首先想到的是提取公因式法,提取公因式后,再看括號里的是二項式還是三項式,若是二項式看能否再用平方差公式進行再分解,若是三項式看能否再用完全平方公式進行再分解,一定要分到不能分為止.

        三、 學(xué)法指導(dǎo)

        本章中的主要題型是計算和分解因式,計算又分為整式乘法運算和套用公式進行運算.在整式乘法運算中,要先確定運算順序,再運用相應(yīng)的法則進行計算;若遇到冪(或積)的乘方要先進行運算,然后按運算順序進行,一定要細心.在套用公式進行運算中,一定先要判斷是否符合公式適用的要求,再正確運用公式計算.在分解因式的過程中一定要注意先提取公因式,再運用公式分解(要注意與乘法公式的聯(lián)系和區(qū)別),分到不能分為止.

        例1 計算:(2x+3)(x2-x-1).

        【分析】多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相加.相乘時,必須做到不重不漏,所以要按一定的順序進行,通常是選擇多項式的第一項乘遍另一個多項式的每一項,依此類推,再把所得的積相加.

        【解答】原式=2x3-2x2-2x+3x2-3x-3

        =2x3+x2-5x-3.

        【說明】(1) 計算時注意不能漏項.檢查的方法是:在未合并同類項之前,看積的項數(shù)是否等于原來兩個多項式項數(shù)的積.本題在未合并同類項之前,積的項數(shù)應(yīng)是2×3=6,即6項;(2) 多項式是單項式的和,每一項都包括前面的符號,在計算時一定要注意確定積中各項的符號;(3) 最后結(jié)果中有同類項的要合并,并按某一字母的降冪或升冪排列.

        例2 計算:(-3+2x+y)(-3-2x-y).

        【分析】在解題之前一定要仔細觀察,后一個多項式各項都是負號,可以變形為各項均為正號,另一方面,通常我們總是將多項式變形為字母在前、數(shù)字在后進行排列,因此我們可以將兩個多項式先進行變形再計算.

        【解答】原式=-(2x+y-3)(2x+y+3)

        =-[(2x+y)2-9]

        =-[4x2+4xy+y2-9]

        =-4x2-4xy-y2+9.

        【說明】變形后可將2x+y看成一個整體,先用平方差公式計算,再用完全平方公式進行計算,去括號時要注意改變括號中所有項的符號.

        例3 因式分解:-2m3+8m2-8m.

        【分析】經(jīng)觀察后發(fā)現(xiàn),各項都含有公因式-2m,可先提取公因式(要一次性提完),提完后看能否可以用公式進行因式分解.

        【解答】原式=-2m(m2-4m+4)

        =-2m(m-2)2.

        【說明】提完公因式后,括號里是三項式,再運用完全平方公式進行因式分解.

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