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        冪的“變”“湊”曲

        2013-05-27 07:32:04徐向榮
        關(guān)鍵詞:技巧解題利用

        徐向榮

        冪的運(yùn)算是整式運(yùn)算的基礎(chǔ),因此學(xué)好冪的運(yùn)算就是為后面繼續(xù)學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ).本文重點(diǎn)介紹冪的運(yùn)算中常用的技巧:“二變二湊”.

        技巧一:變底數(shù)

        例1 若2x+5y=3,求4x·32y的值.

        解:4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.

        例2 設(shè)x=3m,y=27m+2,用含x的代數(shù)式表示y,則y=________.

        解:y=(33)m+2=33m+6=33m·36=(3m)3·36=x3·729=729x3.

        【點(diǎn)評(píng)】例1將底數(shù)4和32換成2為底,再利用冪的乘方和同底數(shù)冪乘法法則得到22x+5y,利用整體代換的方法求出結(jié)果為8.例2將27換成33,將冪的乘方法則和同底數(shù)冪乘法法則順向和逆向使用,從而得到y(tǒng)=729x3.

        技巧二:變指數(shù)

        例3 若a=2555,b=3444,c=6222,請(qǐng)比較a,b,c的大小,用“>”連接.

        解:a=2555=25×111=(25)111=32111,

        b=3444=34×111=(34)111=81111,

        c=6222=62×111=(62)111=36111.

        因?yàn)?1>36>32,所以b>c>a.

        例4 3-108與2-144的大小關(guān)系是_______.

        解:3-108=(3-3)36=■36,2-144=(2-4)36=■36,

        因?yàn)椤?lt;■,所以3-108<2-144.

        【點(diǎn)評(píng)】例3,例4都是先將指數(shù)化為相同的數(shù),再比較底數(shù)的大小,找到指數(shù)的最大公約數(shù),熟練地正向和反向使用冪的乘方法則是關(guān)鍵.

        技巧三:湊出“1”

        例5 計(jì)算■2012×(1.5)2013×(-1)2013.

        解:原式=■2012×■2013×(-1)=-■×■2012×■=-■.

        例6 計(jì)算-■2011×2■2012的值.

        解:原式=-■2011×■2011×■

        =-■×■2011×■=-■.

        【點(diǎn)評(píng)】例5逆用積的乘方法則以及冪的乘方公式湊出“1”,例6先定積的符號(hào)為負(fù),再用例5的方法湊出“1”使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便.

        技巧四:湊整體

        例7 已知10m=20,10n=■,求9m÷32n的值.

        解:因?yàn)?m÷32n=32m÷32n=32m-2n=32(m-n),

        而10m=20,10n=■,所以10m÷10n=20×5=100,

        所以10m-n=102,所以m-n=2,所以9m÷32n=32(m-n)=32×2=34=81.

        例8 已知a2+a=1,求2 013a3+4 025a2-a的值.

        解:原式=2 013a3+2 013a2+2 012a2-a

        =2 013a(a2+a)+2 012a2-a

        =2 013a+2 012a2-a

        =2 012a2+2 012a

        =2 012(a2+a)

        =2 012.

        【點(diǎn)評(píng)】例7在變底數(shù)為3后就缺m-n的值,所以利用已知條件借助同底數(shù)冪的除法構(gòu)造m-n這個(gè)整體,從而順利解題.例8借助提取公因式反復(fù)構(gòu)造a2+a,利用a2+a=1反復(fù)整體代換,使解題變得簡(jiǎn)便.

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