徐向榮

冪的運(yùn)算是整式運(yùn)算的基礎(chǔ)，因此學(xué)好冪的運(yùn)算就是為后面繼續(xù)學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ).本文重點(diǎn)介紹冪的運(yùn)算中常用的技巧：“二變二湊”.

技巧一：變底數(shù)

例1 若2x+5y=3，求4x·32y的值.

解：4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.

例2 設(shè)x=3m，y=27m+2，用含x的代數(shù)式表示y，則y=________.

解：y=（33）m+2=33m+6=33m·36=（3m）3·36=x3·729=729x3.

【點(diǎn)評(píng)】例1將底數(shù)4和32換成2為底，再利用冪的乘方和同底數(shù)冪乘法法則得到22x+5y，利用整體代換的方法求出結(jié)果為8.例2將27換成33，將冪的乘方法則和同底數(shù)冪乘法法則順向和逆向使用，從而得到y(tǒng)=729x3.

技巧二：變指數(shù)

例3 若a=2555，b=3444，c=6222，請(qǐng)比較a，b，c的大小，用“>”連接.

解：a=2555=25×111=（25）111=32111，

b=3444=34×111=（34）111=81111，

c=6222=62×111=（62）111=36111.

因?yàn)?1>36>32，所以b>c>a.

例4 3-108與2-144的大小關(guān)系是_______.

解：3-108=（3-3）36=■36，2-144=（2-4）36=■36，

因?yàn)椤?lt;■，所以3-108<2-144.

【點(diǎn)評(píng)】例3，例4都是先將指數(shù)化為相同的數(shù)，再比較底數(shù)的大小，找到指數(shù)的最大公約數(shù)，熟練地正向和反向使用冪的乘方法則是關(guān)鍵.

技巧三：湊出“1”

例5 計(jì)算■2012×（1.5）2013×（-1）2013.

解：原式=■2012×■2013×（-1）=-■×■2012×■=-■.

例6 計(jì)算-■2011×2■2012的值.

解：原式=-■2011×■2011×■

=-■×■2011×■=-■.

【點(diǎn)評(píng)】例5逆用積的乘方法則以及冪的乘方公式湊出“1”，例6先定積的符號(hào)為負(fù)，再用例5的方法湊出“1”使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便.

技巧四：湊整體

例7 已知10m=20，10n=■，求9m÷32n的值.

解：因?yàn)?m÷32n=32m÷32n=32m-2n=32（m-n），

而10m=20，10n=■，所以10m÷10n=20×5=100，

所以10m-n=102，所以m-n=2，所以9m÷32n=32（m-n）=32×2=34=81.

例8 已知a2+a=1，求2 013a3+4 025a2-a的值.

解：原式=2 013a3+2 013a2+2 012a2-a

=2 013a（a2+a）+2 012a2-a

=2 013a+2 012a2-a

=2 012a2+2 012a

=2 012（a2+a）

=2 012.

【點(diǎn)評(píng)】例7在變底數(shù)為3后就缺m-n的值，所以利用已知條件借助同底數(shù)冪的除法構(gòu)造m-n這個(gè)整體，從而順利解題.例8借助提取公因式反復(fù)構(gòu)造a2+a，利用a2+a=1反復(fù)整體代換，使解題變得簡(jiǎn)便.