毛建國(guó)

本章是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)乘方的基礎(chǔ)上研究?jī)绲倪\(yùn)算：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的除法.這些運(yùn)算是今后學(xué)習(xí)整式乘法運(yùn)算的基礎(chǔ).學(xué)習(xí)本章，要了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)，能正確運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù).如何學(xué)好冪的運(yùn)算？下面給出三點(diǎn)建議.

一、 牢固掌握四條運(yùn)算性質(zhì)是基礎(chǔ)

1. 同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.用字母表示為：am·an=am+n（m、n是正整數(shù)）.

同底數(shù)冪的乘法法則是本章中的第一個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)，也是整式乘法的主要依據(jù)之一，學(xué)習(xí)這個(gè)性質(zhì)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1） 該表達(dá)式中，等式左邊是兩個(gè)冪相乘，且它們的底數(shù)相同；等式右邊也是一個(gè)冪，與左邊相比，底數(shù)不變，指數(shù)是左邊兩個(gè)指數(shù)的和.

（2） 底可以是一個(gè)具體的數(shù)或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，如：（x-2y）2·（x-2y）3=（x-2y）5，底數(shù)是多項(xiàng)式（x-2y）.

（3） 這個(gè)性質(zhì)可以推廣到三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘，即am·an·ap=am+n+p（m、n、p是正整數(shù)）.

（4） 不要與整式加法混淆. 同底數(shù)冪乘法是只要求底數(shù)相同則可用法則計(jì)算，即底數(shù)不變指數(shù)相加，如：a4·a2=a4+2=a6；而整式加法法則要求兩個(gè)相同——底數(shù)相同且指數(shù)也必須相同，實(shí)際上是合并同類項(xiàng)，如：-3a4+2a4=（-3+2）a4=-a4，而a4+a2不能進(jìn)行運(yùn)算.

2. 冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.用字母表示為：（am）n=amn（m、n是正整數(shù)）.

該性質(zhì)的顯著特點(diǎn)就是將原來的乘方運(yùn)算降次為乘法運(yùn)算，即底數(shù)不變，指數(shù)相乘.學(xué)習(xí)這個(gè)性質(zhì)要注意兩點(diǎn)：

（1） 冪的底數(shù)a可以是具體的數(shù)，也可以是多項(xiàng)式.如[（x+y）3]2=（x+y）6，底數(shù)（x+y）是一個(gè)多項(xiàng)式.

（2） 要注意與同底數(shù)冪的乘法的區(qū)別和聯(lián)系.區(qū)別：冪的乘方是把指數(shù)相乘，同底數(shù)冪的乘法是把指數(shù)相加，不要出現(xiàn)下面的錯(cuò)誤，如：（x3）5=x8，x3·x5=x15；聯(lián)系：兩種運(yùn)算都是底數(shù)不變.

3. 積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：積的乘方，等于把積的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.用字母表示為：（ab）n=anbn（m、n是正整數(shù)）.

學(xué)習(xí)這個(gè)性質(zhì)要注意：積的乘方可推廣到3個(gè)以上因式的積的乘方：（a1·a2·…·an）m=a1m·a2m·…·anm，這樣方便運(yùn)用，如：（-2a2b）3=（-2）3（a2）3b3=-8a6b3.

4. 同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.用字母表示為：am÷an=am-n（m、n是正整數(shù)，m>n，a≠0）.

同底數(shù)冪的除法法則是根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算歸納總結(jié)出來的，和同底數(shù)冪的乘法是互逆運(yùn)算關(guān)系，同時(shí)指數(shù)的變化也是互逆運(yùn)算關(guān)系，和上面講的冪的3個(gè)運(yùn)算性質(zhì)相比，這里底數(shù)a是不能為零的，否則除數(shù)為零，除法就沒有意義了.又因?yàn)樵谶@里沒有引入負(fù)指數(shù)和零指數(shù)，所以又添加條件m>n.

同底數(shù)冪的除法性質(zhì)也可以推廣到3個(gè)以上的同底數(shù)冪除法：am÷an÷ap=am-n-p（a≠0，m、n、p都是正整數(shù)），公式中的a可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，但字母取值要滿足底數(shù)不等于0.

學(xué)習(xí)這個(gè)性質(zhì)還要注意“兩個(gè)規(guī)定、一個(gè)方法”.

規(guī)定1：a0=1（a≠0）.

兩個(gè)同底數(shù)冪相除，如果被除式的指數(shù)與除式的指數(shù)相等，那么商等于1，即am÷am=am-m=a0=1（m是正整數(shù)，a≠0） ，所以我們規(guī)定：a0=1（a≠0）（即任何一個(gè)不等于0的數(shù)的0次冪等于1），00無意義 .

規(guī)定2：a-p=■（a≠0，p是正整數(shù)）.

由am÷an=am-n，當(dāng)a≠0，m

科學(xué)記數(shù)法：根據(jù)規(guī)定2得■=10-m，因此，任何一個(gè)小于1的正數(shù)，都可寫成a×10n的形式，其中1≤a<10，即a是帶一位整數(shù)的小數(shù)或一位整數(shù)，n是一個(gè)負(fù)整數(shù)，它的絕對(duì)值等于原數(shù)中從左往右第一個(gè)不為零的數(shù)字前面所有零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前的一個(gè)0）.如0.000 23，用科學(xué)記數(shù)法可以表示為2.3×10-4.

二、 明確運(yùn)算順序、合理進(jìn)行混合運(yùn)算是關(guān)鍵

在遇到冪的混合運(yùn)算時(shí)，不要急于求成、盲目進(jìn)行計(jì)算，首先要細(xì)心觀察，分清各個(gè)部分分別屬于哪種運(yùn)算，然后再確定合理的運(yùn)算順序和運(yùn)算步驟，先算什么，后算什么，一定要做到心中有數(shù)；計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)和指數(shù)的變化，不要漏掉了某些因數(shù)的乘方.一般情況下，先運(yùn)算積的乘方和冪的乘方，然后按照先后順序，運(yùn)算同底數(shù)冪的乘法和同底數(shù)冪的除法，最后算加減.

例1 計(jì)算：（1） （ab）5·3a2·（4a2b3）3；（2） 2（x4）2·x-（3x3）3+（5x）3·x6.

【分析】問題（1）中的第一個(gè)因式和第三個(gè)因式屬于積的乘方，應(yīng)先運(yùn)算；問題（2）中有冪的乘方，也有積的乘方，也應(yīng)該先算，最后再算加減.在計(jì)算它們的過程中又出現(xiàn)了新的運(yùn)算，這就要求同學(xué)們能夠隨時(shí)進(jìn)行觀察，以便準(zhǔn)確判斷出新運(yùn)算屬于什么運(yùn)算，然后再根據(jù)相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)解題.

解：（1） （ab）5·3a2·（4a2b3）3=a5b5·3a2·43（a2）3（b3）3

=a5b5·3a2·64a6b9=192a13b14；

（2） 2（x4）2·x-（3x3）3+（5x）3·x6=2x8·x-27x9+53x3·x6

=2x9-27x9+125x9=100x9.

三、 靈活運(yùn)用性質(zhì)是后盾

對(duì)于冪的運(yùn)算性質(zhì)，不僅要學(xué)會(huì)從左到右的正向運(yùn)用，對(duì)于底數(shù)和指數(shù)都不相同的問題，還要善于根據(jù)題目的特點(diǎn)，結(jié)合乘方的意義，學(xué)會(huì)從右到左的逆向運(yùn)用.逆向運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)，不僅能化繁為簡(jiǎn)，同時(shí)對(duì)于培養(yǎng)同學(xué)們的觀察能力、分析轉(zhuǎn)化問題的能力有著積極的意義.另外，同學(xué)們既要有依照運(yùn)算性質(zhì)逐層分步計(jì)算的細(xì)致，又要有縱觀全局的整體意識(shí)，善于從顯現(xiàn)的表象挖掘隱藏的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，只有這樣，才算真正掌握冪的運(yùn)算性質(zhì).

例2 已知am=2，an=3，求a2m+n的值.

【分析】本章中冪的運(yùn)算法則既可以正向應(yīng)用，又可以逆向應(yīng)用.如公式am·an=am+n逆向運(yùn)用為 am+n=am·an（m、n是正整數(shù)），公式（am）n=amn逆向運(yùn)用為anm=（am）n=（an）m（m、n是正整數(shù)）等.

解：a2m+n=a2m·an=（am）2·an=22×3=12.

例3 已知2x+5y=4，求4x·32y的值.

【分析】此題中2x+5y=4如何使用？4x·32y與2x+5y=4有何聯(lián)系？通過觀察可知，把4x、32y的底數(shù)都變?yōu)?后，利用同底數(shù)冪的乘法法則得2的指數(shù)為2x+5y，進(jìn)而將2x+5y=4整體代入即可.

解：4x·32y=（22）x·（25）y=22x·25y=22x+5y=24=16.