銀光球

（福建工程學(xué)院 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350108）

挖掘機(jī)作業(yè)空間（最大挖掘高度，最大卸載高度，最大挖掘半徑，最大挖掘深度等）是挖掘機(jī)工作裝置設(shè)計(jì)時(shí)必須滿足的尺寸參數(shù)，同時(shí)也是決定挖掘機(jī)實(shí)際使用環(huán)境以及與其他工程機(jī)械配合使用的指標(biāo)參數(shù)之一［1］.比如挖掘機(jī)的最大卸載高度決定其能與多高自卸卡車配合使用.所以在挖掘機(jī)工作裝置的設(shè)計(jì)、優(yōu)化、控制及應(yīng)用過程中，作業(yè)空間都是一個(gè)需要考慮的重要問題.然而描述作業(yè)空間的幾何形伏，并討論其幾何特性，對(duì)于多自由度挖掘機(jī)反鏟裝置來說，是一個(gè)十分復(fù)雜的問題.

液壓挖掘機(jī)反鏟裝置包括動(dòng)臂、斗桿、鏟斗及相應(yīng)的三組驅(qū)動(dòng)液壓缸，其結(jié)構(gòu)與具有臂、關(guān)節(jié)和末端執(zhí)行器的機(jī)械手十分相似，因此，可以利用確定機(jī)械手工作空間的方法來確定挖掘機(jī)工作裝置的作業(yè)空間.目前，確定機(jī)械手工作空間的方法主要有解析法、圖解法、數(shù)值法和仿真法［2～6］.解析法是通過多次包絡(luò)來確定工作空間邊界，但是涉及復(fù)雜的空間曲面相交和裁剪等計(jì)算機(jī)圖形學(xué)內(nèi)容，而且其直觀性不強(qiáng)，十分繁瑣，適用于自由度比較少的場(chǎng)合；圖解法用于求解機(jī)械手的工作空間邊界，直觀性強(qiáng)，但受自由度數(shù)的限制；數(shù)值法和仿真法通用性強(qiáng)，可以利用計(jì)算機(jī)高速的運(yùn)算能力和圖形顯示功能，方便快捷地得到機(jī)械手的工作空間，但是仿真法必須建立機(jī)械手的虛擬樣機(jī)，這在設(shè)計(jì)的前期由于沒有虛擬樣機(jī)模型，所以沒法使用.隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，對(duì)機(jī)械手的工作空間的求解越來越傾向于數(shù)值法，然后再用仿真法來驗(yàn)證.本文采用基于隨機(jī)抽樣的蒙特卡洛法求解挖掘機(jī)反鏟裝置的作業(yè)空間，然后采用仿真法加以驗(yàn)證.

1 挖掘機(jī)反鏟工作裝置作業(yè)空間的描述

挖掘機(jī)工作裝置包括動(dòng)臂、斗桿、鏟斗及相應(yīng)的三組驅(qū)動(dòng)液壓缸，在不計(jì)工作裝置回轉(zhuǎn)自由度的情況下，它是一個(gè)3自由度的復(fù)雜平面機(jī)構(gòu).由于液壓挖掘機(jī)的工作裝置與機(jī)械手的相似性，因此，可以利用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，按照Denavit－Hartenberg方法建立工作裝置的坐標(biāo)系（如圖1），以齊次坐標(biāo)的形式來描述鏟斗末端的位姿，從而建立起液壓挖掘機(jī)工作裝置的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型.為了便于描述挖掘機(jī)工作裝置的作業(yè)空間，按選取變量的不同可定義三種空間：驅(qū)動(dòng)空間、關(guān)節(jié)空間、位姿空間.

圖1 反鏟裝置的D－H坐標(biāo)系Fig.1 D－H coordinates system of backhoe equipment

驅(qū)動(dòng)空間：由動(dòng)臂液壓缸長度L1，斗桿液壓缸長度L2和鏟斗液壓缸長度L3組成，則三維關(guān)節(jié)空間用齊次坐標(biāo)表示為

關(guān)節(jié)空間：動(dòng)臂與回轉(zhuǎn)平臺(tái)之間的轉(zhuǎn)角θ1，斗桿與動(dòng)臂之間的轉(zhuǎn)角θ2，以及鏟斗與斗桿之間的轉(zhuǎn)角θ3，則三維關(guān)節(jié)空間用齊次坐標(biāo)表示為

以上三種空間之間的相互關(guān)系如圖2所示.

圖2 不同空間之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.2 Transition relationship among different spaces

2 蒙特卡洛法求解反鏟工作裝置的作業(yè)空間

根據(jù)圖1建立的D－H坐標(biāo)系，筆者推導(dǎo)出挖掘機(jī)反鏟工作裝置在世界坐標(biāo)系xOy的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程為［7］：

式中：ai為z0軸到zi軸沿xi軸測(cè)量的距離，i＝1，2，3；c123＝cos（θ1＋θ2＋θ3）；c12＝cos（θ1＋θ2）；θi為xi－1軸到xi軸繞zi－1軸旋轉(zhuǎn)的角度，i＝1，2，3；c1＝cosθ1；s123＝sin（θ1＋θ2＋θ3）；s12＝sin（θ1＋θ2）；s1＝sinθ1；a為坐標(biāo)系x0Cy0的坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)系xOy中的x坐標(biāo)值；b為坐標(biāo)系x0Cy0的坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)系xOy中的y坐標(biāo)值.

求解反鏟工作裝置的作業(yè)空間其實(shí)就是求方程（1）的值域，由于該方程是含三角函數(shù)的非線性方程，值域求解的方法多，但是都比較困難，所以本文采用蒙特卡洛方法來求方程（1）的值域，也就是對(duì)反鏟裝置的作業(yè)空間進(jìn)行分析.

蒙特卡洛方法是一種借助于隨機(jī)抽樣來解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法，廣泛應(yīng)用于描述某些隨機(jī)的物理現(xiàn)象.反鏟工作裝置的各關(guān)節(jié)是在其相應(yīng)取值范圍（如表1所示）內(nèi)工作的，當(dāng)所有關(guān)節(jié)在取值范圍內(nèi)隨機(jī)取值后，末端點(diǎn)的所有隨機(jī)值的集合就構(gòu)成了反鏟工作裝置的作業(yè)空間.因此，可取反鏟工作裝置各關(guān)節(jié)變量的隨機(jī)值，并將其代入運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程（1）中，由此得到反鏟工作裝置末端點(diǎn)的三維坐標(biāo)值.最后，將這些三維坐標(biāo)點(diǎn)輸出到圖形設(shè)備上，得到反鏟工作裝置作業(yè)空間的仿真圖形.具體步驟如下：

表1 挖掘機(jī)關(guān)節(jié)角的變化范圍Tab.1 Variation range of excavator joint angle（°）

（1）利用隨機(jī)函數(shù)rand（）產(chǎn)生［0，1］區(qū)間的隨機(jī)數(shù)，并由此產(chǎn)生關(guān)節(jié)變量的隨機(jī)增量（θimaxθimin）×rand（），這樣就可以得到各關(guān)節(jié)變量的隨機(jī)值為

式中：θimin為關(guān)節(jié)i的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍的最小值，i＝1，2，3；θimax為關(guān)節(jié)i的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍的最大值.

（2）將求得的關(guān)節(jié)變量的值代入式（1），求出鏟斗齒尖相應(yīng)的向量值.

（3）將所得的位置向量的值按一定的比例，并按打點(diǎn)的方式顯示在圖形設(shè)備上.

（4）重復(fù)步驟（1），進(jìn)行下一次的循環(huán)直到隨機(jī)點(diǎn)數(shù)M＞20 000，求解結(jié)束.

將用蒙特卡洛法求解挖掘機(jī)作業(yè)空間的過程編寫為計(jì)算程序，運(yùn)用工程軟件MATLAB實(shí)現(xiàn)仿真分析，輸出20 000個(gè)點(diǎn)模擬挖掘機(jī)反鏟工作裝置的作業(yè)空間，得到挖掘機(jī)反鏟工作裝置的作業(yè)空間，如圖3所示.圖4為利用虛擬樣機(jī)技術(shù)在ADAMS中仿真得到挖掘機(jī)反鏟工作裝置的作業(yè)空間.

比較圖3、圖4可知，用蒙特卡洛法模擬關(guān)節(jié)空間各個(gè)關(guān)節(jié)的實(shí)際轉(zhuǎn)角范圍，求得的液壓挖掘機(jī)反鏟工作裝置作業(yè)空間與用虛擬樣機(jī)技術(shù)求得的作業(yè)空間基本一致，而且投影面上沒有明顯的空洞，說明挖掘機(jī)反鏟工作裝置的斗齒尖能到達(dá)作業(yè)空間內(nèi)的任意位置，實(shí)現(xiàn)有效挖掘.模擬仿真結(jié)果與挖掘機(jī)的實(shí)際作業(yè)空間基本相符.二者關(guān)鍵尺寸的仿真結(jié)果如表2所示.

圖3 蒙特卡洛法求得的挖掘機(jī)作業(yè)空間Fig.3 Excavator working space of Monte Carlo method

圖4 ADAMS仿真求得的挖掘機(jī)作業(yè)空間Fig.4 Excavator working space of simulation in ADAMS

表2 蒙特卡洛法與ADAMS仿真關(guān)鍵尺寸比較Tab.2 Critical dimension comparison of the Monte Carlo method and ADAMS simulation m

從表2比較可知，二者誤差不大，都在5%以內(nèi).誤差產(chǎn)生的主要原因大致如下：

（1）蒙特卡洛法中隨機(jī)抽樣次數(shù)的影響，抽樣次數(shù)越多，模擬仿真結(jié)果越精確，獲得極限位置的正確解的概率越高.

（2）由于挖掘機(jī)的虛擬裝配模型需要在第三方軟件（比如Pro／E、UG等）中建立，然后導(dǎo)入ADAMS中建立挖掘機(jī)的虛擬樣機(jī)，不同軟件數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)精度的差異，必然會(huì)產(chǎn)生模型轉(zhuǎn)換誤差，以及在仿真過程中的測(cè)量方法誤差.

此外，兩種仿真過程各有各的優(yōu)勢(shì)，蒙特卡洛法無需建立挖掘機(jī)反鏟裝置的虛擬樣機(jī)模型，只需給出反鏟裝置各鉸點(diǎn)之間的關(guān)鍵設(shè)計(jì)尺寸，即可進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，求得挖掘機(jī)反鏟裝置的作業(yè)空間，適用于設(shè)計(jì)初期對(duì)一些關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)（機(jī)構(gòu)參數(shù)）進(jìn)行分析、修改和驗(yàn)證；而在ADAMS中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真必需建立挖掘機(jī)反鏟工作裝置的虛擬樣機(jī)，而虛擬樣機(jī)必須經(jīng)過詳細(xì)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)后才能獲得，適用于設(shè)計(jì)后期對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)方案的分析、修改和驗(yàn)證.

3 結(jié)論

（1）在分析液壓挖掘機(jī)反鏟裝置作業(yè)空間的基礎(chǔ)上，將機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)理論、矩陣?yán)碚搼?yīng)用于挖掘機(jī)的反鏟裝置，對(duì)挖掘機(jī)的作業(yè)空間進(jìn)行了有效的描述.

（2）在研究求解挖掘機(jī)反鏟裝置作業(yè)空間主要方法的基礎(chǔ)上，提出采用蒙特卡洛法求解分析挖掘機(jī)反鏟裝置的作業(yè)空間，具有算法簡單、求解速度快、表達(dá)簡潔直觀等優(yōu)點(diǎn)，只需要給出關(guān)鍵設(shè)計(jì)尺寸，即可進(jìn)行挖掘機(jī)作業(yè)空間的仿真分析.

（3）在MATLAB中，編寫了基于蒙特卡洛法的挖掘機(jī)反鏟裝置斗齒尖空間位置仿真程序，直觀地模擬挖掘機(jī)的作業(yè)空間，仿真模擬結(jié)果與采用虛擬樣機(jī)技術(shù)在ADAMS中的仿真結(jié)果基本一致，證明采用蒙特卡洛法分析、模擬挖掘機(jī)反鏟裝置作業(yè)空間的有效性和實(shí)用性.同時(shí)模擬仿真結(jié)果提供了其他工程機(jī)械與挖掘機(jī)合理配套的依據(jù)，對(duì)挖掘機(jī)能力的充分利用具有重要的研究意義.

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