黃益生，陳椰婷

（三明學院信息科學學院，福建三明365004）

反對合矩陣的相似對角化

黃益生，陳椰婷

（三明學院信息科學學院，福建三明365004）

反對合矩陣；反對合變換；矩陣;相似關系；分類

幾何平面V2上繞原點按逆時針（或順時針）方向旋轉90°的旋轉變換σ無疑是很有用的。這樣的變換滿足條件σ2=-ι，這里ι是V2上的恒等變換。用矩陣的語言，上述條件等價于存在實數(shù)域上的一個2階方陣A，使得A2=-I，這里I是2階單位矩陣。這樣的矩陣A就是一個2階反對合矩陣。一般地，滿足條件A2=-I的n階方陣A稱為一個n階反對合矩陣［1］。對于數(shù)域F上的一般線性空間，其上的線性變換σ，如果滿足條件σ2=-ι，那么稱σ為一個反對合變換［2］。從上述旋轉變換不難看出，在矩陣論中，反對合矩陣也是一類很有用的矩陣。在文獻［1］中，作者討論了反對合矩陣的一系列基本性質，它們類似于對合矩陣的相應性質。在文獻［2］中，作者給出了反對合矩陣與反對合變換之間的關系。但是經(jīng)查閱各種文獻（包括網(wǎng)上搜索），筆者未發(fā)現(xiàn)有關反對合矩陣的其它資料。

本文將在文獻［1－2］的基礎上，進一步討論反對合矩陣的一些性質。主要結果如下：

（1）在復數(shù)域上每一個反對合矩陣都可對角化，并且全體n階反對合復矩陣按矩陣的相似關系進行分類，一共可以分成n+1類。

（2）在實數(shù)域上不存在奇數(shù)階反對合矩陣，并且每一個偶數(shù)階反對合矩陣都不可對角化，但是每一個2n階反對合矩陣都相似于準對角矩陣diag{J1，J2，…，Jn}，這里

因而全體2n階反對合矩陣按實矩陣的相似關系進行分類，只有一種類型。

（3）指出了非零偶數(shù)維實線性空間上的反對合變換有無窮多個。

首先討論復數(shù)域上的反對合矩陣，本文有關的術語和結論將引用文獻［3－4］。

定理1在復數(shù)域上每一個n階反對合矩陣A都可對角化。

證明已知A是復數(shù)域上的一個n階反對合矩陣，那么A2=-I，即A2+I=O（這里I是n階單位矩陣），所以x2+1是A的一個零化多項式，因此A的最小多項式只能為下列3個多項式之一：x-i，x+i，x2+1。顯然，不論哪一種情形，A的最小多項式不可能有重根。又已知在復數(shù)域上一個方陣是可對角化的當且僅當它的最小多項式?jīng)]有重根，因此A是可對角化的。

由證明可見，反對合矩陣的最小多項式，其根只能為虛數(shù)i或-i。已知每一個方陣的最小多項式與特征多項式有相同的復根（重數(shù)可以不同），那么在復數(shù)域上反對合矩陣的特征值只能為i或-i，但是在實數(shù)域上反對合矩陣沒有特征值。

設A與B是復數(shù)域上的兩個n階反對合矩陣。令λ1，λ2，…，λn與μ1，μ2，…，μn分別是A與B的n個特征值。根據(jù)定理1，A相似于diag{λ1，λ2，…，λn}且B相似于diag{μ1，μ2，…，μn}。已知兩個對角矩陣diag{a1，a2，…，an}與diag{b1，b2，…，bn}是相似的當且僅當它們的主對角線元素b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一個排列。由于A與B的特征值只能為±i，當λ1，λ2，…，λn與μ1，μ2，…，μn這兩組特征值中含虛數(shù)i的個數(shù)相同時，A與B是相似的，否則它們不相似。由此可見，在復數(shù)域上全體n階反對合矩陣按矩陣的相似關系進行分類，一共可以分成n+1類，并且可以選取diag{iIp，-iIn-p}作為特征值i的個數(shù)都是p的那一類的代表（p=0，1，2，…，n）。

下面討論實數(shù)域上的反對合矩陣。

設A是實數(shù)域上的一個n階反對合矩陣，則A的特征多項式fA（x）是一個n次實系數(shù)多項式。如果n是奇數(shù)，那么fA（x）至少有一個實根，因而A必有特征值。另一方面，根據(jù)前面的討論，在實數(shù)域上，A沒有特征值，這就出現(xiàn)一個矛盾，因此n不可能是奇數(shù)。這就得到命題1。

命題1在實數(shù)域上不存在奇數(shù)階的反對合矩陣。

可是對任意偶數(shù)2n，必存在2n階反對合矩陣。

因此J是一個反對合矩陣。

已知反對合矩陣的特征多項式，其根只能為虛數(shù)i或-i，那么在實數(shù)域上每一個反對合矩陣都不可對角化。然而有定理2。

定理2設A是實數(shù)域R上的一個2n階方陣。令J=diag{J1，J2，…，Jn}，其中

則A是反對合的當且僅當它相似于準對角矩陣J，即存在一個2n階可逆實矩陣T，使得

證明設A是R上的一個2n階反對合矩陣。根據(jù)定理1的證明，x2+1是A的一個首一零化多項式。因為x2+1在實數(shù)域上不可約，所以它是A的最小多項式。已知每一個方陣的最小多項式與特征多項式有相同的復根（重數(shù)可以不同），那么A的特征多項式為fA（x）=（x2+1）n。

把A看作復數(shù)域C上的矩陣，那么A的特征值為i與-i，并且A是可對角化的（定理1），所以特征值i與-i的幾何重數(shù)都是n。設ξ1，ξ2，…，ξn是A的屬于特征值i的n個線性無關特征向量，則Aξk=iξk（k=1，2，…，n）。令ξk是把ξk的2n個分量依次換成相應的共軛復數(shù)所得的向量，則ξk是C2n中的一個非零向量，并且iξk=-iξk。已知Aξk=iξk，那么Aξk=iξk，所以Aξk=-iξk。因為A是一個實矩陣，容易驗證，Aξk=Aξk，因此

又因為ξ1，ξ2，…，ξn線性無關，所以u1，u2，…，un全為數(shù)零，即u1，u2，…，un全為數(shù)零。這表明，ξ1，ξ2，…，ξn是A的屬于特征值-i的n個線性無關特征向量。已知屬于不同特征值的特征向量必線性無關，那么ξ1，ξ1，ξ2，ξ2，…，ξn，ξn構成復數(shù)域上2n元列向量空間C2n的一個基。

再令αk=ξk+ξk且βk=i（ξk-ξk），則αk，βk∈R2n（k=1，2，…，n）。因為

這就證明了，在實數(shù)域上，A相似于準對角矩陣J。

反之，設A相似于J，則存在一個2n階可逆實矩陣T，使得A=TJT-1。于是A2=TJ2T-1。因為J2= -I，所以A2=-TT-1，即A2=-I，因此A是反對合的。

上述定理表明，在實數(shù)域上全體2n階反對合矩陣按矩陣的相似關系進行分類，只有一種類型，并且可以選取定理中的準對角矩陣diag{J1，J2，…，Jn}作為這種類型的矩陣的代表。因此實數(shù)域上由全體2n階反對合矩陣組成的集合可以表示成｛Tdiag{J1，J2，…，Jn}T-1|T是2n階可逆實矩陣｝，

特別地當n=1時，上述集合（即由全體2階反對合實矩陣的集合）變成｛TJT-1|T是2階可逆實矩陣｝，

討論反對合變換，見例2。

例2設V是數(shù)域F上的一個2n維線性空間，并設α1，β1，α2，β2，…，αn，βn是V的一個基，則V中的每一個向量ξ可以表示成

在文獻［2］中，作者證明了，反對合變換與它在某個基下的矩陣之間有如下關系。

定理3［2］設V是數(shù)域上F的一個n維線性空間，并設σ是V上的一個線性變換，則σ是反對合的充要條件為它在V的一個基下的矩陣是反對合的。

注意到有限維線性空間V上的一個線性變換是可對角化的當且僅當它在V的一個基下的矩陣是可對角化的，根據(jù)定理3和定理1，下列推論成立。

推論1設V是復數(shù)域上的一個n維線性空間，并設σ是V上的一個線性變換。若果σ是反對合的，那么它是可對角化的。

根據(jù)定理3，命題1和定理2，下列兩個推論成立。

推論2設V是實數(shù)域上的一個奇數(shù)維線性空間，則V上的一個線性變換都不是反對合的。

推論3設V是實數(shù)域上的一個2n維線性空間，并設σ是V上的一個線性變換，則σ是反對合的當且僅當存在V的一個基，使得σ在這個基下的矩陣為準對角矩陣J=diag{J1，J2，…，Jn}，其中

假定推論3中的反對變換σ在基α1，β1，α2，β2，…，αn，βn下的矩陣為J。容易看出，

令Wk是由αk與βk生成的子空間，即Wk=L（αk，βk），則dimWk=2（k=1，2，…，n），并且

其次，對任意的ξ=xkαk+ykβk∈Wk，由于因此Wk是σ的一個不變子空間（k=1，2，…，n）。這就得到下一個推論。

推論4設V是實數(shù)域上的一個2n維線性空間，并設σ是V上的一個反對合變換，則V可以分解成σ的n個2維不變子空間W1，W2，…，Wn的直和。

推論3表明，2n維實線性空間V上的每一個反對變換σ都是例2中的變換，即存在V的一個基α1，β1，α2，β2，…，αn，βn，使得σ可以表示成

其中（x1，y1，x2，y2，…，xn，yn）是向量ξ關于上述基的坐標。

已知一個線性變換在兩個基下的矩陣必相似，又已知全體2n階反對實矩陣組成的集合恰好是與J相似的所有2n階實矩陣組成的集合，這里J是推論3中的準對角矩陣。根據(jù)推論3，對于2n維實線性空間V上的一個反對合變換，它在V的全體基下的矩陣組成的集合恰好是全體階2n反對合矩陣組成的集合。

根據(jù)本文開頭部分或例2，存在幾何平面V2上的反對合變換，那么這樣的變換唯一嗎？一般地，非零偶數(shù)維實線性空間上的反對合變換有幾個？

例3設α，β是幾何平面V2的一個基。令

則每一對αn，βn都是V2的一個基。對任意的ξ∈V2，令（xn，yn）是向量ξ關于基αn，βn的坐標，則ξ= xnαn+ynβn。構成一個映射序列如下：

根據(jù)例2，每一個σn是V2上的一個反對合變換。顯然σn（αn）=βn。因為αn=α且βn=nβ，所以σn（α）= nβ。類似地，有σm（α）=mβ。由于β不是零向量，當m≠n時，有mβ≠nβ，因此σm（α）≠σn（α），故σm≠σn。這表明，反對合變換序列σ1，σ2，…，σn中任意兩個不同的項都不相同，因而V2上的反對合變換有無窮多個。

這就得到非零偶數(shù)維實線性空間上的反對合變換也有無窮多個。

［1］鄒本強.對合矩陣和反對合矩陣的若干性質［J］.威海職業(yè)學院學報，2007（2）：88－89.

［2］趙巧玲.歐氏空間Rn上的三種變換［J］.寶雞文理學院學報，2002，22（1）：41－42.

［3］張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)［M］.4版.北京：高等教育出版社，1999.

［4］丘維聲.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1996.

On Problem for Similar Diagonalization of Anti-involutory Matrices

HUANG Yi-sheng,CHEN Ye-ting
(School of Information Engineering,Sanming College,Sanming 365004,China)

anti-involutory matrix;anti-involutory transformation;o matrices;similar relation;classification

O151.21

A

1673-4343（2013）02-0001-05

2013-01-20

福建省教育廳高等學校教學質量工程資助項目（ZL0902/TZ(SJ)）

黃益生，男，福建龍巖人，教授。研究方向：代數(shù)。