王躍鋼，左朝陽，2，文超斌，郭志斌

令方程組右端等于零，得到方程唯一解:

離心－振動試驗系統(tǒng)因離心機與振動臺之間運動存在耦合現(xiàn)象而成為一種不確定非線性系統(tǒng)［1］，對于這類復(fù)雜的不確定非線性系統(tǒng)采用線性控制理論和設(shè)計方法難于進行。而一般對于振動臺控制算法的研究大多建立在線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)之上［2－5］，算法的穩(wěn)定性和收斂速度等方面還需要進一步研究，同時還存在控制精度不高，控制魯棒性差，操作也不方便等問題。因此，控制算法設(shè)計的好壞直接關(guān)系到系統(tǒng)的輸出模擬過載振動復(fù)合環(huán)境的精確度。而滑?？刂萍冗m用于線性系統(tǒng)，又適用于非線性系統(tǒng)，其算法簡單，設(shè)計方便，對外部干擾及參數(shù)攝動具有強魯棒性，且有限時間收斂［6］。

然而傳統(tǒng)的滑?？刂频牟贿B續(xù)性會導(dǎo)致所謂的“抖振”現(xiàn)象，且傳統(tǒng)滑模控制一般采用線性滑模面設(shè)計，系統(tǒng)狀態(tài)收斂時間趨于無窮，容易造成較大的累積跟蹤誤差。為了解決無限時間收斂問題，通過在滑模設(shè)計中引入非線性函數(shù)［7］而產(chǎn)生的終端滑?？刂?，使得在滑動模態(tài)跟蹤誤差能夠在有限時間收斂至零;后來Yu等［8］提出快速終端滑模面進一步提高收斂速度;Feng等［9］針對終端滑?？刂浦锌赡艹霈F(xiàn)奇異現(xiàn)象，提出了非奇異終端滑動模態(tài)，避免了奇異問題，并在文獻［10－11］中基于終端滑模設(shè)計方法，提出一種二階、三階及高階終端滑模控制方法，實現(xiàn)了無抖振滑模控制，提高了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度。同時由于準(zhǔn)連續(xù)高階滑模能夠有效消除抖振［12－16］，獲得更高的控制精度;因此本文在文獻［14］基礎(chǔ)上，根據(jù)離心－振動試驗系統(tǒng)振動特點，設(shè)計基于二階終端滑模面的準(zhǔn)連續(xù)高階終端滑?？刂破鳎诒ＷC魯棒性和抗干擾性的同時獲得連續(xù)的控制信號。仿真結(jié)果表明，該控制器實現(xiàn)了離心振動試驗系統(tǒng)的振動位移控制，能夠較好地實現(xiàn)振動位移跟蹤，并在有限時間內(nèi)收斂。

1 高階滑?？刂平榻B

定義1:假設(shè)滑動模態(tài)s沿系統(tǒng)軌跡的微分量s·，存在且為系統(tǒng)狀態(tài)的連續(xù)函數(shù)，于是r階滑動模態(tài)集合由下面的等式確定。

假設(shè)r階滑動模態(tài)集合非空且為Fillipov意義下的局部積分集合，則稱符合式(1)的運動為基于滑動模態(tài)s的r階滑模，而r定義為系統(tǒng)的滑動階。

考慮如下非線性仿射系統(tǒng)

式中:s為系統(tǒng)可測輸出量，u為系統(tǒng)控制量，函數(shù)a，b，s充分光滑。設(shè)系統(tǒng)相對階為r，式中輸出量沿系統(tǒng)軌跡進行r次微分，于是有:

其中:h(t，ξ)=s(r)u=0，g(t，ξ)= ? s(r)/?u。設(shè)下述不等式成立

其中:Km，KM，C＞0。式(3)～(4)意味著微分包含:

成立。

引理 1［14］:定義

如果恰當(dāng)選擇參數(shù) β1，…，βr－1，α ＞0，則控制作用(7)將使得系統(tǒng)(2)在有限時間內(nèi)到達(dá)r階滑模面。

2 離心－振動試驗系統(tǒng)準(zhǔn)連續(xù)高階終端滑模控制器的設(shè)計

2.1 離心－振動試驗系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

離心－振動試驗系統(tǒng)是通過將振動臺安裝在離心機臂臂端來實現(xiàn)的，它以離心機為載體模擬過載環(huán)境，通過在其臂端上的振動臺模擬振動環(huán)境。圖1為離心－振動試驗系統(tǒng)示意圖。

圖1 離心－振動試驗系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of centrifuge force-vibration test system

整個離心－振動試驗系統(tǒng)可簡化為兩個部分，電路部分和機械部分，如圖2所示。

圖2 離心力－振動試驗系統(tǒng)物理模型Fig.2 Physics model of centrifuge force-vibration test system

為進一步簡化系統(tǒng)模型，做以下三點假設(shè):① 電動振動臺只有一個自由度;② 氣隙磁通密度為常數(shù);③電動振動臺等效為一個剛體。則振動臺的動力學(xué)模型可表示為［17］:

再根據(jù)多剛體動力學(xué)方程，在離心力作用下振動臺面所受廣義力為:

將以上離心－振動試驗系統(tǒng)動力學(xué)模型描寫成狀態(tài)方程為:

2.2 離心－振動試驗系統(tǒng)振動位移跟蹤高階終端滑?？刂破髟O(shè)計

設(shè)振動位移的給定值與實際值的誤差為:e=xx*，設(shè)計如下的終端滑動模面為:

選擇實常數(shù)λi(i=1，2，3)使系統(tǒng)具有期望的動態(tài)性能，其中，λi＞0，1 ＜ p/q＜2，p，q均為正奇數(shù)。那么有如下定理:

定理1:對于式(10)和(11)構(gòu)成的離心－振動試驗系統(tǒng)，如果選擇如下控制律:

其中:β為設(shè)計參數(shù)，加入ε為保證控制輸入更加光滑，Ψ的具體表達(dá)見證明過程。在該控制律作用下，能夠使系統(tǒng)到達(dá)滑模面流形，并保證系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂。

X=(x v i)為狀態(tài)變量。

將控制律(12)代入上式(13)，可得:

其中:α≥0，則上式滿足的充分條件為:

由式(18)可得:

由于g的上界是已知，可通過系統(tǒng)的干擾和不確定性估計得到。從而只要滿足:

就有V＜0，只要選擇合適的β值，使上式成立，因此，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論知，系統(tǒng)將在有限時間到達(dá)并停留在終端滑模面s=0上。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時，由(11)式s=0有:

令方程組右端等于零，得到方程唯一解:

3 仿真結(jié)果及分析

為驗證本文所提出的振動位移跟蹤控制方法的可行性和有效性，選取如下離心振動復(fù)合系統(tǒng)參數(shù)進行數(shù)學(xué)仿真。臺面、動圈等效質(zhì)量m=1.5 kg;剛度k0=9 500 N/m;阻尼c=50 N/(m·s－1);磁感應(yīng)強度B=0.5 T;動圈長度 l=28 m;電阻 R=0.5 Ω;磁感 L=100 μH;初始位移 x0=0，速度 v0=0，電流 i0=0;r=1.5 m;期望振動為正弦位移 x*=0.04sin(2πt/4)及階躍輸入;干擾力為 d=sin(2πt/16)×10－2。系統(tǒng)參數(shù)與控制器參數(shù)值分別取以下值:λ1=λ2=λ3=0.5;β =0.8;p=5，q=3，α =0.5;ε =0.005;ω = π/6 rad/s。仿真結(jié)果如圖3～圖6所示，分別給出了正弦振動位移跟蹤曲線、方波響應(yīng)曲線，控制輸入曲線及誤差曲線。

從圖2、圖3跟蹤曲線可以看出，采用文章所用的算法的位移跟蹤速度非?？欤绕鋵τ诜讲ㄝ斎腠憫?yīng)，能夠快速恢復(fù)到給定值，表明盡管系統(tǒng)存在較大的不確定性和干擾下，但由于采用了二階終端滑模和準(zhǔn)連續(xù)高階滑模技術(shù)，有效消除了不確定性和外干擾的影響，使得輸出振動位移能夠比傳統(tǒng)滑模更快的跟蹤指令信號。從圖4控制輸入曲線可以看出盡管沒有完全消除控制量的抖振現(xiàn)象，但已經(jīng)大大地降低了抖振。圖5誤差曲線表明傳統(tǒng)滑模由于沒有采取去抖振措施使得控制精度相對較低。

圖3 正弦振動響應(yīng)曲線Fig.3 Response curve of sines vibration

圖4 方波響應(yīng)曲線Fig.4 Response curve of square wave

圖5 正弦控制輸入曲線Fig.5 Input curve of sine control

圖6 振動位移跟蹤誤差曲線Fig.6 Error curve of displacement vibration

以上仿真的結(jié)果可以看出，準(zhǔn)連續(xù)高階終端滑?？刂破髂軌蛟谕饨绺蓴_和系統(tǒng)參數(shù)不確定情況下，使系統(tǒng)快速進入穩(wěn)態(tài)，并完成離心振動復(fù)合系統(tǒng)振動位移跟蹤控制，從驗證了高階終端滑?？刂破鞯挠行院秃侠硇?。同時，高階終端滑?？刂破饕灿行У慕档土硕墩瘳F(xiàn)象，系統(tǒng)本身控制量變得更加光滑，并顯著地提高了跟蹤速度。

4 結(jié)論

本文針對電動振動臺在離心力作用下存在模型不確定性和外界干擾情況下的振動位移跟蹤控制問題，通過高階滑?？刂评碚?，設(shè)計了基于高階滑模的離心－振動復(fù)合系統(tǒng)的振動位移跟蹤控制器。為了快速跟蹤輸入指令，根據(jù)建立的離心－振動復(fù)合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的特點，引入二階終端滑模面，并通過李雅普諾夫第二法及反饋控制理論，建立了高階終端滑?？刂破鳎C明了其穩(wěn)定性和全局收斂性。仿真結(jié)果表明，高階終端滑模振動位移跟蹤控制器能夠有效消除滑模控制的“抖振”現(xiàn)象，與傳統(tǒng)滑?？刂葡啾饶軌蚩焖俚睾途_地跟蹤輸入指令，進一步說明了該設(shè)計理論的正確性及方法的可行性。

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