劉章軍，方 興

譜表示方法這一概念最早可追溯到Rice［1］、Goto等［2］以及 Borgman［3］，他們應(yīng)用諧波疊加法對(duì)一維隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行了模擬。然而，Shinozuka等［4－5］正式提出了用譜表示方法模擬隨機(jī)過(guò)程的一般原理，并用于模擬多維、多變量以及非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。在隨后的40年中，諸多學(xué)者在這方面做了大量的研究工作，同時(shí)在工程領(lǐng)域也獲得了廣泛的應(yīng)用。Shinozuka等［6］和Deodatis等［7］分別給出了單變量、一維隨機(jī)過(guò)程以及多維高斯隨機(jī)場(chǎng)的譜表示法的理論背景。Deodatis［8］模擬了各態(tài)歷經(jīng)的多變量平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。Spanos等［9］對(duì)譜表示法所生成樣本函數(shù)的性質(zhì)、計(jì)算效率以及通用性等方面進(jìn)行了討論。總體而言，譜表示方法算法簡(jiǎn)單，理論完善，模擬結(jié)果較為可靠，但其計(jì)算工作量較大，特別地，對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，往往需要高達(dá)數(shù)百上千個(gè)隨機(jī)變量才能保證所需的精度，從而極大地增加了問(wèn)題的分析難度。為了有效地減少譜表示方法中隨機(jī)變量的數(shù)量，陳建兵等［10］提出了隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)諧和函數(shù)表達(dá)方式，采用少量的項(xiàng)數(shù)(10個(gè)隨機(jī)諧和分量)，即可獲得精確的目標(biāo)功率譜密度函數(shù)，陳建兵等［11］進(jìn)一步對(duì)譜表示方法的頻率選點(diǎn)進(jìn)行了優(yōu)化。

本文在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜表示基礎(chǔ)上，采用隨機(jī)函數(shù)的思想，將譜表達(dá)式中的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量表示為基本隨機(jī)變量的正交函數(shù)形式，從而實(shí)現(xiàn)了用1～2個(gè)基本隨機(jī)變量即可描述原隨機(jī)過(guò)程的概率特性，而且可以直接由功率譜密度函數(shù)生成具有給定概率的非高斯平穩(wěn)過(guò)程和高斯平穩(wěn)過(guò)程的樣本函數(shù)。與文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11］相比，本文方法所需隨機(jī)變量的數(shù)量更少(僅需1～2個(gè)基本隨機(jī)變量)，這將為復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動(dòng)力反應(yīng)和動(dòng)力可靠度的精細(xì)化分析提供重要基礎(chǔ)。

1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜表示

對(duì)于任意一個(gè)一維、單變量、零均值、雙邊功率譜密度函數(shù)為SX(ω)的實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)，存在兩個(gè)相互正交的實(shí)過(guò)程u(ω)和v(ω)，它們的增量d u(ω)和 d v(ω)相互正交，使下式成立［6］:

過(guò)程u(ω)和 v(ω)的增量 d u(ω)與 d v(ω)滿足如下的條件:

對(duì)式(1)進(jìn)行離散，可得:

式中ωk=kΔω，且Δω要足夠小，使得式(6)可以替代式(1)。

若增量 Δu(ωk)和 Δv(ωk)定義為［6］:

其中{Xk，Yk}為一組標(biāo)準(zhǔn)的正交隨機(jī)變量，即:

式中δij為Kronecker-delta符號(hào)。容易證明，式(7)～式(9)所定義的增量Δu(ωk)和Δv(ωk)能滿足式(2)～式(5)的條件。

于是，將式(7)和式(8)代入式(6)中，并取有限項(xiàng)作為對(duì)原隨機(jī)過(guò)程的近似表達(dá)，則實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模擬的第一類(lèi)譜表示［6］:

當(dāng)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)SX(ω0)=SX(0)=0時(shí)，可將式(10)改寫(xiě)為:

若進(jìn)一步假定{Xk，Yk}(k=1，2，…，N)為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量，則式(11)所表達(dá)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程為高斯過(guò)程。

此時(shí)，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均方相對(duì)誤差:

式中截?cái)囝l率ωu=NΔω。一般而言，εX(N)?1，對(duì)于地震動(dòng)加速度過(guò)程，其值不宜超過(guò)0.05。

2 標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)表達(dá)

在上述實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模擬的第一類(lèi)譜表示(即式(11))中，{Xk，Yk}(k=1，2，…，N)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量，它們滿足條件式(9)。下面來(lái)構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量{Xk，Yk}的隨機(jī)函數(shù)形式。

首先，利用隨機(jī)函數(shù)的思想［12］，即假設(shè)任意的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量(n=1，2，…，N)分別是兩個(gè)相互獨(dú)立的基本隨機(jī)變量(隨機(jī)向量)Θ1和Θ2的函數(shù)，即分別是隨機(jī)函數(shù) gj(Θ1)和 hj(Θ2)。于是，式(9)可改寫(xiě)為:

其中:pΘ1(θ1)和 pΘ2(θ2)分別是 Θ1和 Θ2的概率密度函數(shù)。

2.1 非高斯隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)構(gòu)造

容易驗(yàn)證，下列4組隨機(jī)函數(shù)形式均能滿足式(13)～式(17):

下面，以第4類(lèi)隨機(jī)函數(shù)的構(gòu)造形式來(lái)加以證明。事實(shí)上，有:

2.2 高斯隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)構(gòu)造

為了構(gòu)造一組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量，首先，構(gòu)造一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量 ξn(n=1，2，…，N)，若假定基本隨機(jī)變量Θ在區(qū)間［－π，π］或［0，2π］上服從均勻分布，則可構(gòu)造如下常用的三角正交函數(shù):ξn=fn(Θ)=sin(nΘ + α)，n=1，2，…，N (18)其中α為一確定性常數(shù)，通常可取α=0或α=π/4或α=π/2，此時(shí) fn(x) =sin(nx)或 cas(nx)或cos(nx)。顯然，ξn(n=1，2，…，N)是一組標(biāo)準(zhǔn)的正交隨機(jī)變量。

在式(18)中，進(jìn)一步推導(dǎo)可知，ξn(n=1，2，…，N)具有相同的概率分布函數(shù)［13］:

由此可見(jiàn)，ξn(n=1，2，…，N)是服從同一分布的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)向量。

為了獲得一組具有高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量ηn(n=1，2，…，N)，可采用等概率的反變換方法［14］:

其中Φ－1為Φ的反函數(shù)。將式(18)、式(19)代入式(21)中，得到

于是，即可獲得一組具有高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量ηn(n=1，2，…，N)。根據(jù)隨機(jī)變量的正交性(零均值情況)與獨(dú)立性等價(jià)可知，ηn(n=1，2，…，N)為一組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量。

為此，以上述第1組和第2組的隨機(jī)函數(shù)形式，即可構(gòu)造相應(yīng)的兩組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量:

最后，按Matlab程序自帶的rand('state'，0)，randperm(N)將。從而，所需的相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量{Xk，Yk}(k=1，2，…，N)就能被唯一地確定。

3 平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的實(shí)例分析

3.1 地震動(dòng)過(guò)程的基本信息

考慮平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過(guò)程，其功率譜密度函數(shù)采用胡聿賢模型(單邊譜)［15］:

式中:ωg和ζg分別為場(chǎng)地土的卓越圓頻率和阻尼比，ωc為低頻截止頻率，其參數(shù)取值如表1所示。S0為基巖地震動(dòng)加速度白噪聲功率譜密度，它反映地震動(dòng)的強(qiáng)弱程度，也簡(jiǎn)稱(chēng)為譜強(qiáng)度因子。

表1 功率譜模型的參數(shù)取值［16］Tab.1 The values of parameters in the power spectrum model

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，譜強(qiáng)度因子S0可按下式計(jì)算:

對(duì)于不同的場(chǎng)地類(lèi)別，參數(shù)a—max、f、ωe及S0的取值如表2所示。

表2 不同場(chǎng)地的譜強(qiáng)度因子取值Tab.2 Values of the spectral intensity factor for different site types

表2中地面加速度最大值的均值a—max是采用我國(guó)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011－2010)中給出的時(shí)程分析法所用地震加速度時(shí)程曲線的最大值。

3.2 分析與驗(yàn)證

為檢驗(yàn)第一類(lèi)譜表示－隨機(jī)函數(shù)方法的有效性，以上述平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過(guò)程為例，其中地震動(dòng)參數(shù)的取值 ωg=15.71 rad/s，ζg=0.72，ωc=2.108 rad/s，S0=107 cm2/s3。在平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程模擬的譜表示中，其參數(shù)取值 ωu=35 Hz=219.911 5 rad/s，Δω =0.122 17 rad/s，N=1 800，εX(N)=4.618%。為了獲得地震動(dòng)加速度過(guò)程的樣本時(shí)程曲線，首先需要將基本隨機(jī)變量離散化，表3給出了1個(gè)和2個(gè)基本隨機(jī)變量的離散公式及離散點(diǎn)數(shù)s。然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)形式(這里以第1組隨機(jī)函數(shù)和第2組隨機(jī)函數(shù)為例)，獲得標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的離散點(diǎn)集及相應(yīng)的賦得概率。最后，將標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量的離散點(diǎn)代入平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的譜表達(dá)式(11)中，即可生成樣本時(shí)程曲線。在地震動(dòng)加速度過(guò)程的樣本生成中，時(shí)間間隔Δt=0.01 s滿足 Δt≤π/ωu的條件，圖 1 給出了典型的平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過(guò)程的樣本時(shí)程曲線。

表3 基本隨機(jī)變量的離散點(diǎn)集Tab.3 The discrete point set of basic random variables

圖2和圖3分別給出了以第1組和第2組隨機(jī)函數(shù)表達(dá)的非高斯平穩(wěn)過(guò)程的二階數(shù)值統(tǒng)計(jì)量，其中圖(a)為樣本總體均值與目標(biāo)均值函數(shù)的比較，圖(b)為樣本總體功率譜密度與目標(biāo)功率譜密度函數(shù)的比較，從總體上看，它們之間的符合程度比較好。

圖4和圖5分別給出了以第1組和第2組隨機(jī)函數(shù)表達(dá)的高斯平穩(wěn)過(guò)程的二階數(shù)值統(tǒng)計(jì)量，其中圖(a)為樣本總體均值與目標(biāo)均值函數(shù)的比較，圖(b)為樣本總體功率譜密度與目標(biāo)功率譜密度函數(shù)的比較。與圖2和圖3相比，高斯平穩(wěn)過(guò)程的二階數(shù)值統(tǒng)計(jì)量與目標(biāo)統(tǒng)計(jì)量的符合程度要比非高斯平穩(wěn)過(guò)程的符合程度略差一點(diǎn)，這可能是隨機(jī)變量的高斯化變換過(guò)程中的高度非線性所致。

圖1 平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過(guò)程的樣本時(shí)程曲線Fig.1 Sample functions of stationary ground motion acceleration processes

圖2 以第1組隨機(jī)函數(shù)表達(dá)的非高斯平穩(wěn)過(guò)程(1個(gè)基本隨機(jī)變量，1006個(gè)離散點(diǎn))Fig.2 Expressed non-Gaussian stationary process using random functions in the first group(a basic random variable，1 006 discrete points)

圖3 以第2組隨機(jī)函數(shù)表達(dá)的非高斯平穩(wěn)過(guò)程(2個(gè)基本隨機(jī)變量，987個(gè)離散點(diǎn))Fig.3 Expressed non-Gaussian stationary process using random functions in the second group(two basic random variable，987 discrete points)

圖4 以第1組隨機(jī)函數(shù)表達(dá)的高斯平穩(wěn)過(guò)程(1個(gè)基本隨機(jī)變量，1 006個(gè)離散點(diǎn))Fig.4 ExpressedGaussian stationary process using random functions in the first group(a basic random variable，1 006 discrete points)

圖5 以第2組隨機(jī)函數(shù)表達(dá)的高斯平穩(wěn)過(guò)程(2個(gè)基本隨機(jī)變量，987個(gè)離散點(diǎn))Fig.5 Expressed Gaussian stationary process using random functions in the second group(two basic random variable，987 discrete points)

4 結(jié)論

工程隨機(jī)過(guò)程的合理描述與建模，是結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)分析的重要基礎(chǔ)。經(jīng)典的譜表示方法往往需要高達(dá)數(shù)百上千個(gè)隨機(jī)變量才能保證所需的精度，從而極大地增加了分析的難度和計(jì)算工作量。本文提出的隨機(jī)函數(shù)－譜表示方法，將譜表達(dá)式中的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量表示為1～2個(gè)基本隨機(jī)變量的正交函數(shù)形式，從而實(shí)現(xiàn)了用基本隨機(jī)變量描述原隨機(jī)過(guò)程的概率特性。研究表明，用隨機(jī)三角函數(shù)表達(dá)標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量，不僅能構(gòu)造正交的非高斯隨機(jī)變量，也能構(gòu)造相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，從而可方便地由功率譜密度函數(shù)生成具有給定概率的非高斯平穩(wěn)過(guò)程和高斯平穩(wěn)過(guò)程的樣本函數(shù)。最后，以平穩(wěn)地震動(dòng)加速度過(guò)程的功率譜密度函數(shù)為例，驗(yàn)證了本文方法的有效性和優(yōu)越性。

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