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        線性時滯系統(tǒng)時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析研究進(jìn)展

        2013-05-16 07:28:08徐兆棣李曉毅
        關(guān)鍵詞:保證系統(tǒng)自由權(quán)上界

        徐兆棣,李曉毅

        (沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,沈陽 110034)

        0 引 言

        系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題是人們研究自然界和人類社會中各類系統(tǒng)面臨的最基本和最重要的問題。而穩(wěn)定性分析是設(shè)計(jì)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)的基礎(chǔ),因此對系統(tǒng)的控制而言,穩(wěn)定性問題尤為重要。

        時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析是近年來時滯系統(tǒng)研究領(lǐng)域的一個熱門重要問題,這個問題受到眾多研究者的關(guān)注,并已經(jīng)取得很多的研究成果[1-45]。

        系統(tǒng)穩(wěn)定性的時域分析方法主要是基于Lyapunov函數(shù)或泛函,如Lyapunov-Krasovskii泛函或Lyapunov-Razumikhin函數(shù)。它們分別是由Krasovskii和Razumikhin創(chuàng)立于20世紀(jì)50年代,現(xiàn)已成為研究時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)的主要方法。Lyapunov-Krasovskii泛函方法一般要比Lyapunov-Razumikhin函數(shù)方法保守性更低,因此目前在時域分析中前者的應(yīng)用更多。

        近年來,由于線性矩陣不等式技術(shù)在控制理論中的應(yīng)用和推廣,使得Lyapunov-Krasovskii泛函方法被廣泛關(guān)注并已經(jīng)發(fā)展的比較成熟。這主要得益于凸優(yōu)化技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展使得線性矩陣不等式求解變得非常容易解決。目前,時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主要方法基本就是Lyapunov-Krasovskii泛函加線性矩陣不等式。一個主要研究的問題就是如何降低結(jié)論(主要是穩(wěn)定性判據(jù))的保守性。對時滯相關(guān)的結(jié)論而言,其穩(wěn)定性條件是指系統(tǒng)參數(shù)所滿足的條件能夠保證當(dāng)系統(tǒng)時滯小于某個時滯上界值時,系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。因此,最大容許的時滯上界值就成為了衡量時滯相關(guān)條件保守性的主要指標(biāo)。

        對時滯系統(tǒng)作時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析時,如何擴(kuò)大系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界以達(dá)到進(jìn)一步降低結(jié)論保守性的目的,是近年來控制理論界研究的熱點(diǎn)問題。為了得到保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù),目前使用的主要研究方法有:模型轉(zhuǎn)換方法、時滯區(qū)間分割(離散Lyapunov泛函)方法、增廣Lyapunov泛函方法、自由權(quán)矩陣方法、積分不等式方法等。

        模型轉(zhuǎn)換方法的主要思想是將一個具有離散時滯的系統(tǒng)通過Leibniz-Newton公式轉(zhuǎn)化為一個具有分布時滯的系統(tǒng),以利于處理。

        時滯區(qū)間分割(包括離散Lyapunov泛函)方法主要思想是將時滯區(qū)間分割成若干子區(qū)間,然后在每個子區(qū)間研究,以利于最大程度的逼近保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界。但時滯區(qū)間分割方法會帶來問題復(fù)雜程度和計(jì)算量的增加。

        增廣Lyapunov泛函方法的主要思想是為減少處理Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)中一些交叉項(xiàng)的困難和麻煩,把系統(tǒng)狀態(tài)x(t)和一些相關(guān)的向量,例如x(t-d(t)),∫˙x(t)dt等組合成一個高維向量應(yīng)用在Lyapunov泛函的設(shè)計(jì)中以減少處理Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)中一些交叉項(xiàng)放大帶來的保守性。

        自由權(quán)矩陣方法主要思想是將一個等式兩端同乘一個適當(dāng)維數(shù)的矩陣(自由權(quán)矩陣),整理后把等于0的所有項(xiàng)的和添加到Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)中以代替或抵消一些和時滯有關(guān)的項(xiàng)。在最后的時滯相關(guān)穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則中一般會出現(xiàn)這些自由權(quán)矩陣,因而使得相應(yīng)的矩陣不等式有解的可能性增大。但添加過多的自由權(quán)矩陣會使計(jì)算量明顯增加而使得計(jì)算困難甚至無法計(jì)算。此外,已有結(jié)論證明,也不是自由權(quán)矩陣添加的多就一定可以減小保守性。

        積分不等式方法主要思想是對二重積分進(jìn)行界定,以降低保守性。Jensen不等式時滯系統(tǒng)滯相關(guān)穩(wěn)定性分析中最早使用也是最常用的積分不等式。

        1 一般線性時滯系統(tǒng)

        考慮一般連續(xù)線性時滯系統(tǒng):

        其中:d(t)為系統(tǒng)離散時滯,0≤d(t)≤d2;A0,A1為常值系數(shù)矩陣;Δf0(x(t),t),Δf1(x(t-d(t)),t)表示系統(tǒng)的不確定性擾動。通常對不確定性擾動Δf0(x(t),t),Δf1(x(t-d(t)),t)有兩種約束方法:

        其中:ΔA0(t),ΔA1(t)表示系統(tǒng)的參數(shù)不確定性,

        D,E0,E1為常值矩陣,F(xiàn)(t)為未知矩陣,滿足條件

        在假定(A1)下,系統(tǒng)(1)方程可以寫為

        近年來,根據(jù)系統(tǒng)時滯d(t)滿足不同條件的各種情況,研究者們給出了不同的時滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

        2004年 Wu等[1]考慮了系統(tǒng)(6),其中時滯d(t)是時間t的連續(xù)可微函數(shù),并滿足條件

        利用Leibniz公式和自由權(quán)矩陣方法,文獻(xiàn)[1]得到了相應(yīng)的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則,改進(jìn)了文獻(xiàn)[14-15]2002年所得的相應(yīng)結(jié)果。

        同是2004年,Jing等[2]考慮了系統(tǒng)(6)中時滯d(t)與(8)不同的約束條件。當(dāng)d(t)是時間t的連續(xù)可微函數(shù)時滿足的條件放寬為˙d(t)≤d(d為任意實(shí)數(shù))。同時文獻(xiàn)[2]也考慮了d(t)不可微的情況。利用增廣Lyapunov泛函方法得到不同約束條件下時滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[14,16]相比較保守性更小,保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大。

        2008年,Peng等[3]考慮了帶有區(qū)間時變時滯的系統(tǒng)(6),即時滯d(t)的約束條件(3)變?yōu)?/p>

        同樣僅僅利用增廣Lyapunov泛函方法,得到不同約束條件下時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則。所得結(jié)果具有更小的保守性,改進(jìn)了文獻(xiàn)[17-18]在2005和2006年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[17]相比保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大,與文獻(xiàn)[18]相比雖然沒有得到更大的保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界,但在計(jì)算過程中使用的變量個數(shù)更少,計(jì)算更簡單。

        其中系統(tǒng)時滯d(t)滿足條件(9)且(t)|≤d的情況。利用增廣Lyapunov泛函方法及一個積分不等式得到時滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。由于沒有使用自由權(quán)矩陣,時滯上界的計(jì)算過程變量個數(shù)明顯減少,更易于計(jì)算。改進(jìn)了文獻(xiàn)[19]在2007年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[17]相比保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大,與文獻(xiàn)[20]相比雖然沒有達(dá)到文獻(xiàn)[20]在2007年所得保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界,但在計(jì)算過程中使用的變量個數(shù)大大減少,計(jì)算更簡單。對復(fù)雜系統(tǒng)而言,這樣的結(jié)果也是有應(yīng)用價值的。

        2010年,Sun等[5]考慮了系統(tǒng)(10),系統(tǒng)時滯d(t)滿足條件0<d1≤d(t)≤d2且(t)≤d的情況。利用增廣Lyapunov泛函方法并首次在Lyapunov泛函中使用了三重積分項(xiàng),得到了保守性更小的結(jié)果,改進(jìn)了文獻(xiàn)[21]在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[21]相比,在時滯下界不為0的幾種情況,都得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時滯上界。

        2010年,Park等[6]考慮了系統(tǒng)(10),其中系統(tǒng)時滯d(t)滿足條件(9)且不要求d(t)可微的情況。文中提出了一種反向凸組合技術(shù)并利用此技術(shù)結(jié)果及增廣Lyapunov泛函方法得到保守性較小的時滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則,改進(jìn)了文獻(xiàn)[21]在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[21]相比,在不要求系統(tǒng)時滯d(t)可微情況下,得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時滯上界。

        2011年,Park等[7]考慮了系統(tǒng)(10),其中系統(tǒng)時滯d(t)滿足條件(7)且|(t)|≤d的情況。利用模型轉(zhuǎn)換技術(shù)得到一個增廣系統(tǒng)模型,再利用一些積分不等式及增廣Lyapunov泛函方法得到了保守性更小的時滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則,改進(jìn)了文獻(xiàn)[4,22]在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。

        2011年,Zhang等[8]考慮了系統(tǒng)(10),其中系統(tǒng)時滯d(t)滿足條件

        的情況。此前已有不少研究者研究時滯為常數(shù)的常時滯系統(tǒng),利用時滯區(qū)間分割技術(shù)進(jìn)行了討論,得到不少好的結(jié)果[9-10]。在文獻(xiàn)[8]中,Zhang等把時滯區(qū)間分割技術(shù)推廣到時變時滯系統(tǒng)。利用對時滯區(qū)間進(jìn)行優(yōu)化分割的方法,結(jié)合線性積分技術(shù)構(gòu)造增廣Lyapunov泛函得到時滯相關(guān)穩(wěn)定性較好的結(jié)果,改進(jìn)了文獻(xiàn)[21,23]在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[21,23]相比,得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時滯上界。

        同是2011年,Wang等[11]考慮了與文獻(xiàn)[2]相同的系統(tǒng)(6)且(t)≤d(d為任意實(shí)數(shù))。利用新的積分不等式和改進(jìn)的逼近方法,精確了不等式放大的精度,減少了保守性,得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界的較好結(jié)果,改進(jìn)了文獻(xiàn)[24]在2010年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[24]相比,得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時滯上界。

        2012年,Liu[12]把文獻(xiàn)[8]的結(jié)果推廣到不確定時變時滯系統(tǒng)。Liu考慮了系統(tǒng)(6),其中對系統(tǒng)時滯d(t)是否可微兩種情況做了分別研究。同樣是利用新的時滯區(qū)間分割技術(shù)進(jìn)行了討論,得到較好的結(jié)果,改進(jìn)了文獻(xiàn)[25]在2010年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[25]相比較保守性更小,保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大。

        2011年,Ramakrishnan等[13]考慮了系統(tǒng)不確定性滿足假定(A2),即帶有非線性擾動的時變時滯系統(tǒng)

        其中:Δf0(x(t),t),Δf1(x(t-d(t)),t)滿足條件(5),系統(tǒng)時滯d(t)滿足條件(9)且(t)≤d。利用時滯區(qū)間分割技術(shù)進(jìn)行了討論,得到保守性更小的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則,改進(jìn)了文獻(xiàn)[26]在2010年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[26]相比,得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大。

        2009年,Li等[4]考慮了系統(tǒng)(6)的標(biāo)稱系統(tǒng)

        2 中立型線性時滯系統(tǒng)

        考慮連續(xù)中立型線性時滯系統(tǒng):

        其中:d(t)為系統(tǒng)離散時滯;τ(t)為系統(tǒng)中立時滯,0≤d(t)≤d,0≤τ(t)≤τ。

        類似一般時滯系統(tǒng),通常對不確定性擾動 Δf0(x(t),t),Δf1(x(t-d(t)),t),Δf2(˙x(t-τ(t)),t)有兩種約束方法:

        其中:ΔA0(t),ΔA1(t),ΔA2(t)表示系統(tǒng)的參數(shù)不確定性,

        D,E0,E1,E2為常值矩陣,F(xiàn)(t)為未知矩陣,滿足條件FT(t)F(t)≤I。

        2008年,Yu等[27]考慮了系統(tǒng)(12),其不確定性分別滿足假定(A3)和(A4)情況下系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性。系統(tǒng)離散時滯和中立時滯均為時間t的連續(xù)可微函數(shù),且滿足條件(t)≤hD(t)≤τD<1。利用Leibniz公式,自由權(quán)矩陣方法,積分不等式及設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函,文獻(xiàn)[27]得到了系統(tǒng)不確定性分別滿足不同情況下系統(tǒng)相應(yīng)的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則,改進(jìn)了文獻(xiàn)[28](2004)和文獻(xiàn)[29](2003)所得的相應(yīng)結(jié)果。數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[28-29]結(jié)果相比,在相同中立時滯情況下,保證系統(tǒng)穩(wěn)定的離散時滯上界更大。

        2007年,Zhaog等[30]考慮了系統(tǒng)(16),其中Δf2(t)=0的情況,即系統(tǒng)方程可以寫為

        由于中立型線性時滯系統(tǒng)包含離散時滯和中立時滯2種時滯,所以在考慮保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界時,通常是固定其中一個,而計(jì)算另一個時滯的上界。例如取中立時滯的幾個固定值,分別計(jì)算出相應(yīng)的離散時滯的上界。

        在假定(A3)下,系統(tǒng)(12)方程可以寫為

        系統(tǒng)中立時滯τ(t)=τ為常數(shù),離散時滯d(t)是時間t的連續(xù)可微函數(shù),并滿足條件0≤d(t)≤d

        其中d和μ是常數(shù)。利用設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函和積分不等式,避免使用模型轉(zhuǎn)換和界定交叉項(xiàng)帶來的保守性而得到時滯相關(guān)穩(wěn)定性較好的結(jié)果,同樣改進(jìn)了文獻(xiàn)[28]在2004年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[28]相比,在相同中立時滯情況下,保證系統(tǒng)穩(wěn)定的離散時滯上界更大。

        2008年,Liu等[31]考慮了系統(tǒng)(17),但條件(18)減弱為(t)≤μ<1。利用標(biāo)稱系統(tǒng)

        兩端積分得到等式

        再利用Leibniz-Newton公式和自由權(quán)矩陣技術(shù),更好的利用了系統(tǒng)的標(biāo)稱系統(tǒng)信息,減小了保守性,得到較好結(jié)果,改進(jìn)了文獻(xiàn)[32]在2007年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[32]相比,在相同中立時滯情況下,保證系統(tǒng)穩(wěn)定的離散時滯上界更大。

        2009年,Kwon等[33]考慮了系統(tǒng)(17),其中系統(tǒng)中立時滯和離散時滯是相同的時變連續(xù)可微函數(shù),τ(t)=d(t),滿足條件0≤d(t)≤且0≤(t)≤μ<1。經(jīng)過簡單的變量替換p(t)=F(t)q(t),q(t)=Eax(t)+Ebx(t-d(t)),系統(tǒng)(16)可以寫為

        在對系統(tǒng)(18)設(shè)計(jì)Lyapunov泛函時利用了增廣Lyapunov泛函技術(shù),把未知向量p(t)作為增廣向量的一部分,設(shè)計(jì)了增廣向量ξ(t):

        并利用增廣向量ξ(t)設(shè)計(jì)了Lyapunov泛函,由于未知向量p(t)作為增廣向量ξ(t)的一部分,減少了處理不確定性時的保守性,同時利用Leibniz-Newton公式和自由權(quán)矩陣技術(shù),得到保守性更小的較好結(jié)果,改進(jìn)了文獻(xiàn)[34]在2004年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[34]相比,保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大。作為文獻(xiàn)[33]的特殊情況,當(dāng)系統(tǒng)中立時滯和離散時滯是相同常數(shù)時,其結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)[35-37]分別在2005年和2007年所得的相應(yīng)結(jié)果。

        2010年,Qian等[38]考慮了系統(tǒng)(17),其中系統(tǒng)中立時滯和離散時滯是不同常數(shù)的情況。利用在雙積分項(xiàng)使用增廣向量技術(shù)構(gòu)造Lyapunov泛函,同時使用自由權(quán)矩陣技術(shù),得到保守性較小的較好結(jié)果。2012年,Qian等[39]考慮了系統(tǒng)(17),其中系統(tǒng)中立時滯和離散時滯是相同常數(shù)的情況。利用增廣Lyapunov泛函技術(shù),自由權(quán)矩陣技術(shù)和積分不等式,得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大時滯上界。同是2012年,Balasubramaniam等[40]考慮了系統(tǒng)(17)的標(biāo)稱系統(tǒng),且系統(tǒng)中立時滯和離散時滯是相同的時變連續(xù)可微函數(shù)的情況,即

        利用時滯區(qū)間分割技術(shù),得到保守性較小的較好結(jié)果。

        文獻(xiàn)[41-43]分別考慮了系統(tǒng)(12),其不確定性滿足假定(A4)的情況。文獻(xiàn)[41]主要是利用自由權(quán)矩陣技術(shù)和更精確的不等式,得到保守性較小的較好結(jié)果。且所得結(jié)果不僅與系統(tǒng)中立時滯和離散時滯有關(guān),而且與其導(dǎo)數(shù)有關(guān)。文獻(xiàn)[42-43]主要是利用設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函技術(shù),在Lyapunov泛函中引入三重積分項(xiàng),同時利用積分不等式和自由權(quán)矩陣技術(shù)獲得保守性較小的較好結(jié)果。

        2012年,Chen等[44]考慮了帶有中立時滯、離散時滯和分布時滯的中立系統(tǒng):

        其中參數(shù)不確定性其中ΔA(t),ΔB(t),ΔC(t),ΔD(t)滿足條件

        M,EA,EB,EC,ED,為常值矩陣,F(xiàn)(t)為未知矩陣,滿足條件FT(t)F(t)≤I。利用設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函技術(shù),在Lyapunov泛函中引入三重積分項(xiàng),同時利用自由權(quán)矩陣技術(shù)獲得保守性較小的較好結(jié)果。

        時滯系統(tǒng)時滯相關(guān)穩(wěn)定性的研究是近年來控制領(lǐng)域研究的熱門問題,相應(yīng)地研究成果也非常多。筆者僅就一般連續(xù)時滯系統(tǒng)和連續(xù)中立時滯系統(tǒng)近年的有關(guān)結(jié)果做了簡單分析。此外,如時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)指數(shù)穩(wěn)定性分析,時滯相關(guān)H∞穩(wěn)定性分析,離散時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析等很多相關(guān)內(nèi)容由于篇幅限制,沒有在本文討論。

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