徐兆棣，李曉毅

（沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽 110034）

0 引 言

系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題是人們研究自然界和人類社會中各類系統(tǒng)面臨的最基本和最重要的問題。而穩(wěn)定性分析是設(shè)計(jì)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)，因此對系統(tǒng)的控制而言，穩(wěn)定性問題尤為重要。

時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析是近年來時滯系統(tǒng)研究領(lǐng)域的一個熱門重要問題，這個問題受到眾多研究者的關(guān)注，并已經(jīng)取得很多的研究成果［1－45］。

系統(tǒng)穩(wěn)定性的時域分析方法主要是基于Lyapunov函數(shù)或泛函，如Lyapunov－Krasovskii泛函或Lyapunov－Razumikhin函數(shù)。它們分別是由Krasovskii和Razumikhin創(chuàng)立于20世紀(jì)50年代，現(xiàn)已成為研究時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)的主要方法。Lyapunov－Krasovskii泛函方法一般要比Lyapunov－Razumikhin函數(shù)方法保守性更低，因此目前在時域分析中前者的應(yīng)用更多。

近年來，由于線性矩陣不等式技術(shù)在控制理論中的應(yīng)用和推廣，使得Lyapunov－Krasovskii泛函方法被廣泛關(guān)注并已經(jīng)發(fā)展的比較成熟。這主要得益于凸優(yōu)化技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展使得線性矩陣不等式求解變得非常容易解決。目前，時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主要方法基本就是Lyapunov－Krasovskii泛函加線性矩陣不等式。一個主要研究的問題就是如何降低結(jié)論（主要是穩(wěn)定性判據(jù)）的保守性。對時滯相關(guān)的結(jié)論而言，其穩(wěn)定性條件是指系統(tǒng)參數(shù)所滿足的條件能夠保證當(dāng)系統(tǒng)時滯小于某個時滯上界值時，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。因此，最大容許的時滯上界值就成為了衡量時滯相關(guān)條件保守性的主要指標(biāo)。

對時滯系統(tǒng)作時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析時，如何擴(kuò)大系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界以達(dá)到進(jìn)一步降低結(jié)論保守性的目的，是近年來控制理論界研究的熱點(diǎn)問題。為了得到保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù)，目前使用的主要研究方法有：模型轉(zhuǎn)換方法、時滯區(qū)間分割（離散Lyapunov泛函）方法、增廣Lyapunov泛函方法、自由權(quán)矩陣方法、積分不等式方法等。

模型轉(zhuǎn)換方法的主要思想是將一個具有離散時滯的系統(tǒng)通過Leibniz－Newton公式轉(zhuǎn)化為一個具有分布時滯的系統(tǒng)，以利于處理。

時滯區(qū)間分割（包括離散Lyapunov泛函）方法主要思想是將時滯區(qū)間分割成若干子區(qū)間，然后在每個子區(qū)間研究，以利于最大程度的逼近保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界。但時滯區(qū)間分割方法會帶來問題復(fù)雜程度和計(jì)算量的增加。

增廣Lyapunov泛函方法的主要思想是為減少處理Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)中一些交叉項(xiàng)的困難和麻煩，把系統(tǒng)狀態(tài)x（t）和一些相關(guān)的向量，例如x（t－d（t）），∫˙x（t）dt等組合成一個高維向量應(yīng)用在Lyapunov泛函的設(shè)計(jì)中以減少處理Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)中一些交叉項(xiàng)放大帶來的保守性。

自由權(quán)矩陣方法主要思想是將一個等式兩端同乘一個適當(dāng)維數(shù)的矩陣（自由權(quán)矩陣），整理后把等于0的所有項(xiàng)的和添加到Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)中以代替或抵消一些和時滯有關(guān)的項(xiàng)。在最后的時滯相關(guān)穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則中一般會出現(xiàn)這些自由權(quán)矩陣，因而使得相應(yīng)的矩陣不等式有解的可能性增大。但添加過多的自由權(quán)矩陣會使計(jì)算量明顯增加而使得計(jì)算困難甚至無法計(jì)算。此外，已有結(jié)論證明，也不是自由權(quán)矩陣添加的多就一定可以減小保守性。

積分不等式方法主要思想是對二重積分進(jìn)行界定，以降低保守性。Jensen不等式時滯系統(tǒng)滯相關(guān)穩(wěn)定性分析中最早使用也是最常用的積分不等式。

1 一般線性時滯系統(tǒng)

考慮一般連續(xù)線性時滯系統(tǒng)：

其中：d（t）為系統(tǒng)離散時滯，0≤d（t）≤d2；A0，A1為常值系數(shù)矩陣；Δf0（x（t），t），Δf1（x（t－d（t）），t）表示系統(tǒng)的不確定性擾動。通常對不確定性擾動Δf0（x（t），t），Δf1（x（t－d（t）），t）有兩種約束方法：

其中：ΔA0（t），ΔA1（t）表示系統(tǒng)的參數(shù)不確定性，

D，E0，E1為常值矩陣，F(xiàn)（t）為未知矩陣，滿足條件

在假定（A1）下，系統(tǒng)（1）方程可以寫為

近年來，根據(jù)系統(tǒng)時滯d（t）滿足不同條件的各種情況，研究者們給出了不同的時滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

2004年 Wu等［1］考慮了系統(tǒng)（6），其中時滯d（t）是時間t的連續(xù)可微函數(shù)，并滿足條件

利用Leibniz公式和自由權(quán)矩陣方法，文獻(xiàn)［1］得到了相應(yīng)的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)［14－15］2002年所得的相應(yīng)結(jié)果。

同是2004年，Jing等［2］考慮了系統(tǒng)（6）中時滯d（t）與（8）不同的約束條件。當(dāng)d（t）是時間t的連續(xù)可微函數(shù)時滿足的條件放寬為˙d（t）≤d（d為任意實(shí)數(shù)）。同時文獻(xiàn)［2］也考慮了d（t）不可微的情況。利用增廣Lyapunov泛函方法得到不同約束條件下時滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［14，16］相比較保守性更小，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大。

2008年，Peng等［3］考慮了帶有區(qū)間時變時滯的系統(tǒng)（6），即時滯d（t）的約束條件（3）變?yōu)?/p>

同樣僅僅利用增廣Lyapunov泛函方法，得到不同約束條件下時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則。所得結(jié)果具有更小的保守性，改進(jìn)了文獻(xiàn)［17－18］在2005和2006年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［17］相比保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大，與文獻(xiàn)［18］相比雖然沒有得到更大的保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界，但在計(jì)算過程中使用的變量個數(shù)更少，計(jì)算更簡單。

其中系統(tǒng)時滯d（t）滿足條件（9）且（t）｜≤d的情況。利用增廣Lyapunov泛函方法及一個積分不等式得到時滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。由于沒有使用自由權(quán)矩陣，時滯上界的計(jì)算過程變量個數(shù)明顯減少，更易于計(jì)算。改進(jìn)了文獻(xiàn)［19］在2007年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［17］相比保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大，與文獻(xiàn)［20］相比雖然沒有達(dá)到文獻(xiàn)［20］在2007年所得保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界，但在計(jì)算過程中使用的變量個數(shù)大大減少，計(jì)算更簡單。對復(fù)雜系統(tǒng)而言，這樣的結(jié)果也是有應(yīng)用價值的。

2010年，Sun等［5］考慮了系統(tǒng)（10），系統(tǒng)時滯d（t）滿足條件0＜d1≤d（t）≤d2且（t）≤d的情況。利用增廣Lyapunov泛函方法并首次在Lyapunov泛函中使用了三重積分項(xiàng)，得到了保守性更小的結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［21］在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［21］相比，在時滯下界不為0的幾種情況，都得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時滯上界。

2010年，Park等［6］考慮了系統(tǒng)（10），其中系統(tǒng)時滯d（t）滿足條件（9）且不要求d（t）可微的情況。文中提出了一種反向凸組合技術(shù)并利用此技術(shù)結(jié)果及增廣Lyapunov泛函方法得到保守性較小的時滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)［21］在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［21］相比，在不要求系統(tǒng)時滯d（t）可微情況下，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時滯上界。

2011年，Park等［7］考慮了系統(tǒng)（10），其中系統(tǒng)時滯d（t）滿足條件（7）且｜（t）｜≤d的情況。利用模型轉(zhuǎn)換技術(shù)得到一個增廣系統(tǒng)模型，再利用一些積分不等式及增廣Lyapunov泛函方法得到了保守性更小的時滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)［4，22］在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。

2011年，Zhang等［8］考慮了系統(tǒng)（10），其中系統(tǒng)時滯d（t）滿足條件

的情況。此前已有不少研究者研究時滯為常數(shù)的常時滯系統(tǒng)，利用時滯區(qū)間分割技術(shù)進(jìn)行了討論，得到不少好的結(jié)果［9－10］。在文獻(xiàn)［8］中，Zhang等把時滯區(qū)間分割技術(shù)推廣到時變時滯系統(tǒng)。利用對時滯區(qū)間進(jìn)行優(yōu)化分割的方法，結(jié)合線性積分技術(shù)構(gòu)造增廣Lyapunov泛函得到時滯相關(guān)穩(wěn)定性較好的結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［21，23］在2009年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［21，23］相比，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時滯上界。

同是2011年，Wang等［11］考慮了與文獻(xiàn)［2］相同的系統(tǒng)（6）且（t）≤d（d為任意實(shí)數(shù)）。利用新的積分不等式和改進(jìn)的逼近方法，精確了不等式放大的精度，減少了保守性，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界的較好結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［24］在2010年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［24］相比，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大的時滯上界。

2012年，Liu［12］把文獻(xiàn)［8］的結(jié)果推廣到不確定時變時滯系統(tǒng)。Liu考慮了系統(tǒng)（6），其中對系統(tǒng)時滯d（t）是否可微兩種情況做了分別研究。同樣是利用新的時滯區(qū)間分割技術(shù)進(jìn)行了討論，得到較好的結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［25］在2010年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［25］相比較保守性更小，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大。

2011年，Ramakrishnan等［13］考慮了系統(tǒng)不確定性滿足假定（A2），即帶有非線性擾動的時變時滯系統(tǒng)

其中：Δf0（x（t），t），Δf1（x（t－d（t）），t）滿足條件（5），系統(tǒng)時滯d（t）滿足條件（9）且（t）≤d。利用時滯區(qū)間分割技術(shù)進(jìn)行了討論，得到保守性更小的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)［26］在2010年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［26］相比，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大。

2009年，Li等［4］考慮了系統(tǒng)（6）的標(biāo)稱系統(tǒng)

2 中立型線性時滯系統(tǒng)

考慮連續(xù)中立型線性時滯系統(tǒng)：

其中：d（t）為系統(tǒng)離散時滯；τ（t）為系統(tǒng)中立時滯，0≤d（t）≤d，0≤τ（t）≤τ。

類似一般時滯系統(tǒng)，通常對不確定性擾動 Δf0（x（t），t），Δf1（x（t－d（t）），t），Δf2（˙x（t－τ（t）），t）有兩種約束方法：

其中：ΔA0（t），ΔA1（t），ΔA2（t）表示系統(tǒng)的參數(shù)不確定性，

D，E0，E1，E2為常值矩陣，F(xiàn)（t）為未知矩陣，滿足條件FT（t）F（t）≤I。

2008年，Yu等［27］考慮了系統(tǒng)（12），其不確定性分別滿足假定（A3）和（A4）情況下系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性。系統(tǒng)離散時滯和中立時滯均為時間t的連續(xù)可微函數(shù)，且滿足條件（t）≤hD（t）≤τD＜1。利用Leibniz公式，自由權(quán)矩陣方法，積分不等式及設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函，文獻(xiàn)［27］得到了系統(tǒng)不確定性分別滿足不同情況下系統(tǒng)相應(yīng)的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性準(zhǔn)則，改進(jìn)了文獻(xiàn)［28］（2004）和文獻(xiàn)［29］（2003）所得的相應(yīng)結(jié)果。數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［28－29］結(jié)果相比，在相同中立時滯情況下，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的離散時滯上界更大。

2007年，Zhaog等［30］考慮了系統(tǒng)（16），其中Δf2（t）＝0的情況，即系統(tǒng)方程可以寫為

由于中立型線性時滯系統(tǒng)包含離散時滯和中立時滯2種時滯，所以在考慮保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界時，通常是固定其中一個，而計(jì)算另一個時滯的上界。例如取中立時滯的幾個固定值，分別計(jì)算出相應(yīng)的離散時滯的上界。

在假定（A3）下，系統(tǒng)（12）方程可以寫為

系統(tǒng)中立時滯τ（t）＝τ為常數(shù)，離散時滯d（t）是時間t的連續(xù)可微函數(shù)，并滿足條件0≤d（t）≤d

其中d和μ是常數(shù)。利用設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函和積分不等式，避免使用模型轉(zhuǎn)換和界定交叉項(xiàng)帶來的保守性而得到時滯相關(guān)穩(wěn)定性較好的結(jié)果，同樣改進(jìn)了文獻(xiàn)［28］在2004年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［28］相比，在相同中立時滯情況下，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的離散時滯上界更大。

2008年，Liu等［31］考慮了系統(tǒng)（17），但條件（18）減弱為（t）≤μ＜1。利用標(biāo)稱系統(tǒng)

兩端積分得到等式

再利用Leibniz－Newton公式和自由權(quán)矩陣技術(shù)，更好的利用了系統(tǒng)的標(biāo)稱系統(tǒng)信息，減小了保守性，得到較好結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［32］在2007年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［32］相比，在相同中立時滯情況下，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的離散時滯上界更大。

2009年，Kwon等［33］考慮了系統(tǒng)（17），其中系統(tǒng)中立時滯和離散時滯是相同的時變連續(xù)可微函數(shù)，τ（t）＝d（t），滿足條件0≤d（t）≤且0≤（t）≤μ＜1。經(jīng)過簡單的變量替換p（t）＝F（t）q（t），q（t）＝Eax（t）＋Ebx（t－d（t）），系統(tǒng)（16）可以寫為

在對系統(tǒng)（18）設(shè)計(jì)Lyapunov泛函時利用了增廣Lyapunov泛函技術(shù)，把未知向量p（t）作為增廣向量的一部分，設(shè)計(jì)了增廣向量ξ（t）：

并利用增廣向量ξ（t）設(shè)計(jì)了Lyapunov泛函，由于未知向量p（t）作為增廣向量ξ（t）的一部分，減少了處理不確定性時的保守性，同時利用Leibniz－Newton公式和自由權(quán)矩陣技術(shù)，得到保守性更小的較好結(jié)果，改進(jìn)了文獻(xiàn)［34］在2004年所得的相應(yīng)結(jié)果。所得結(jié)論的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)［34］相比，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界更大。作為文獻(xiàn)［33］的特殊情況，當(dāng)系統(tǒng)中立時滯和離散時滯是相同常數(shù)時，其結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)［35－37］分別在2005年和2007年所得的相應(yīng)結(jié)果。

2010年，Qian等［38］考慮了系統(tǒng)（17），其中系統(tǒng)中立時滯和離散時滯是不同常數(shù)的情況。利用在雙積分項(xiàng)使用增廣向量技術(shù)構(gòu)造Lyapunov泛函，同時使用自由權(quán)矩陣技術(shù)，得到保守性較小的較好結(jié)果。2012年，Qian等［39］考慮了系統(tǒng)（17），其中系統(tǒng)中立時滯和離散時滯是相同常數(shù)的情況。利用增廣Lyapunov泛函技術(shù)，自由權(quán)矩陣技術(shù)和積分不等式，得到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的更大時滯上界。同是2012年，Balasubramaniam等［40］考慮了系統(tǒng)（17）的標(biāo)稱系統(tǒng)，且系統(tǒng)中立時滯和離散時滯是相同的時變連續(xù)可微函數(shù)的情況，即

利用時滯區(qū)間分割技術(shù)，得到保守性較小的較好結(jié)果。

文獻(xiàn)［41－43］分別考慮了系統(tǒng)（12），其不確定性滿足假定（A4）的情況。文獻(xiàn)［41］主要是利用自由權(quán)矩陣技術(shù)和更精確的不等式，得到保守性較小的較好結(jié)果。且所得結(jié)果不僅與系統(tǒng)中立時滯和離散時滯有關(guān)，而且與其導(dǎo)數(shù)有關(guān)。文獻(xiàn)［42－43］主要是利用設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函技術(shù)，在Lyapunov泛函中引入三重積分項(xiàng)，同時利用積分不等式和自由權(quán)矩陣技術(shù)獲得保守性較小的較好結(jié)果。

2012年，Chen等［44］考慮了帶有中立時滯、離散時滯和分布時滯的中立系統(tǒng)：

其中參數(shù)不確定性其中ΔA（t），ΔB（t），ΔC（t），ΔD（t）滿足條件

M，EA，EB，EC，ED，為常值矩陣，F(xiàn)（t）為未知矩陣，滿足條件FT（t）F（t）≤I。利用設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函技術(shù)，在Lyapunov泛函中引入三重積分項(xiàng)，同時利用自由權(quán)矩陣技術(shù)獲得保守性較小的較好結(jié)果。

時滯系統(tǒng)時滯相關(guān)穩(wěn)定性的研究是近年來控制領(lǐng)域研究的熱門問題，相應(yīng)地研究成果也非常多。筆者僅就一般連續(xù)時滯系統(tǒng)和連續(xù)中立時滯系統(tǒng)近年的有關(guān)結(jié)果做了簡單分析。此外，如時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)指數(shù)穩(wěn)定性分析，時滯相關(guān)H∞穩(wěn)定性分析，離散時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析等很多相關(guān)內(nèi)容由于篇幅限制，沒有在本文討論。

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