賈洪哲 ，閆德勤 ，劉勝藍(lán) ，王洪東 ，劉思思

（1.遼寧師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116081；2.大連理工大學(xué) 創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)院，遼寧 大連 116024）

圖像獲取、存儲(chǔ)、傳輸及處理過程中，由于種種原因，使得圖像的數(shù)據(jù)和噪聲的數(shù)據(jù)混合在一起。為此，需要對(duì)圖像進(jìn)行濾波處理，盡最大可能保留目標(biāo)特征（如顏色、形狀、紋理等），運(yùn)用邊緣及輪廓提取、分割、圖像增強(qiáng)等，將圖像轉(zhuǎn)換成更適合人或者計(jì)算機(jī)處理的形式。傅里葉變換的一些性質(zhì)在數(shù)字圖像處理中是非常有用的，利用這些性質(zhì)，一方面可以簡化DFT的計(jì)算方法；另一方面，某些性質(zhì)可直接應(yīng)用于圖像處理中去解決某些實(shí)際問題。

圖像的能量主要集中在低頻區(qū)，其高頻區(qū)的幅值很小或趨于零。對(duì)大多數(shù)無明顯顆粒噪音的圖像來說，低頻區(qū)集中了85%以上的能量。這一點(diǎn)成為圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)。如變換后僅傳送低頻分量的幅值，對(duì)高頻分量不傳送，反變換前將它們?cè)倩謴?fù)為零值即可。原圖像中如果存在有明顯的顆粒噪音或圖像的某些細(xì)節(jié)處具有明顯的亮度跳躍，變換后的高頻幅值數(shù)值增加，分布增多。由此得出，圖像灰度變化緩慢的區(qū)域?qū)?yīng)它變換后的低頻分量部分，圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域?qū)?yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外，圖像細(xì)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻分量特征。

1 函數(shù)的傅里葉變換

令 f（x）為實(shí)變量 x的連續(xù)函數(shù)且在（-∞，+∞）內(nèi)絕對(duì)可積。f（x）的傅里葉變換的定義為：

若已知 F（u），則可利用傅里葉反變換求得 f（x）：

式（1）和式（2）稱為傅里葉變換對(duì)，簡稱傅氏變換對(duì)，記作：

空間域與頻率域?yàn)V波的基礎(chǔ)都是卷積定理：

其中，H（u，v）為系統(tǒng)函數(shù)。在頻率域?qū)D像進(jìn)行濾波，就是先選擇一個(gè)濾波器傳遞函數(shù)的方式來修改F（u，v），然后再計(jì)算 H（u，v）F（u，v）的傅里葉逆變換，就可以得到與空間域中相應(yīng)濾波后同樣的圖像。

2 高通濾波和低通濾波

低通濾波法是一種頻域處理方法。通過分析圖像變換后信號(hào)的頻率特性可知，圖像對(duì)象的邊緣和其他灰度跳躍區(qū)對(duì)應(yīng)著頻域中的高頻分量，而其他灰度變化緩慢的區(qū)域?qū)?yīng)著頻域中的低頻分量。因此，對(duì)于一幅帶有顆粒噪音的圖像，經(jīng)圖像變換后，它對(duì)應(yīng)高頻分量。這時(shí)如果用濾波方法對(duì)頻域中一定范圍的高頻分量濾掉而保留其低頻分量同樣能達(dá)到平滑的目的。

由卷積定理可知：

其中，F(xiàn)（u，υ）是含有噪音的圖像變換，G（u，υ）是平滑處理后的圖像變換，H（u，υ）是傳遞函數(shù)。

現(xiàn)在的目的是選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) H（u，υ），利用式（1）運(yùn)算后，使 F（u，υ）的高頻分量衰減，從而得到G（u，υ），再經(jīng)反變換就可以得到所希望的平滑圖像g（x，y）。 因?yàn)椤盀V去”了高頻分量，低頻信息無損地“通過”，所以通常稱這種方法為低通濾波法。顯然，傳遞函數(shù)H（u，υ）應(yīng)該具有低通濾波特性，或叫低通濾波器。

高通濾波和低通濾波的原理相同，只不過是保留高頻成分，而濾除低頻成分。

巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)H（u，υ）表示為：

其中，D0為截止頻率。巴特沃斯低通濾波器傳函數(shù)H（u，υ）如圖1所示。 由于 H（u，υ）在通過頻率和濾去頻率之間沒有明顯的不連續(xù)性，更無階躍和突變，因而平滑圖像不存在振鈴現(xiàn)像，結(jié)果圖像比理想低通濾波器更好。

圖1 巴特沃斯低通濾波器

巴特沃斯高通濾波器的傳遞函數(shù)H（u，υ）表示為：

其中，D0為截止頻率。由于巴特沃斯高通濾波器傳函數(shù)H （u，υ）通過頻率和濾去頻率之間沒有明顯的不連續(xù)性，更無階躍和突變，因而平滑圖像不存在有振鈴現(xiàn)像，結(jié)果圖像比理想高通濾波器更好。

3 高通濾波器和低通濾波器的結(jié)合

從能量分布來看，圖像的主要能量集中在低頻區(qū)域，而圖像的邊界區(qū)域通常含有較多的高頻成分。對(duì)圖像進(jìn)行低通處理，濾除其高頻的成分，有效地保留了圖像的能量信息，去除了噪聲。相反，對(duì)圖像進(jìn)行高通處理，很好地保留了圖像的細(xì)節(jié)部分，但是，圖像的大部分能量信息被去除。為了更有效地保留其低頻成分能量信息并且保留高頻細(xì)節(jié)信息，本文采用了參數(shù)優(yōu)化的方法。

（1）第一種優(yōu)化采用高通低通相結(jié)合的辦法，其公式如下：

其中，Ha（u，υ）為低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，Hb（u，υ）為高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。α把低通濾波器和高通濾波器結(jié)合起來，同時(shí)優(yōu)化兩個(gè)函數(shù)。當(dāng)α＝0時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)H（u，υ）為完全的高通濾波函數(shù)，濾波器為完全的高通濾波器；當(dāng) α＝1時(shí)，系統(tǒng)函數(shù) H（u，υ）為完全的低通濾波函數(shù)，濾波器為完全的低通濾波器。

（2）第二種優(yōu)化方法，其公式如下：

其中，λ1、λ2分別為優(yōu)化參數(shù)。λ1為多少對(duì) λ2并沒有直接的關(guān)系，只是與總的系統(tǒng)函數(shù) H（u，υ）有關(guān)系。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文實(shí)驗(yàn)采用MATLAB R2009a軟件對(duì)lena圖像（分辨率為512×512）和頭部圖像等進(jìn)行巴特沃斯高通濾波和低通濾波相結(jié)合的濾波處理。處理的結(jié)果表明兩種處理效果第二種效果更好。

（1）對(duì)第一種參數(shù)優(yōu)化，針對(duì) lena圖像和醫(yī)學(xué)圖像α選取了6個(gè)值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。第一種采用α參數(shù)優(yōu)化方法，產(chǎn)生了不錯(cuò)的處理效果。α代表了低通濾波器在總體的濾波器中的百分比。但是此方法有一個(gè)缺陷，就是必須同時(shí)處理 Ha（u，υ）和 Hb（u，υ）。

（2）針對(duì)第二種參數(shù)優(yōu)化，對(duì) λ1、λ2分別選取了 4個(gè)值，應(yīng)用在了遙感圖像和人體頭部圖像中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3 所示。 該方法不需要同時(shí)處理 Ha（u，υ）和 Hb（u，υ），λ1、λ2可以任意選取，在圖像濾波中處理起來更靈活一些。而且，第一種參數(shù)優(yōu)化方法是第二種參數(shù)優(yōu)化方法的特例。

兩種參數(shù)優(yōu)化的方法使高通低通濾波器結(jié)合到了一起，對(duì)圖像的處理顯示了巴特沃斯高通濾波器和巴特沃斯低通濾波器的各自有點(diǎn)，既增強(qiáng)了圖像，又兼顧了圖像去噪的效果。

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