賈洪哲 ，閆德勤 ，劉勝藍 ，王洪東 ，劉思思

（1.遼寧師范大學 計算機與信息技術學院，遼寧 大連 116081；2.大連理工大學 創(chuàng)新實驗學院，遼寧 大連 116024）

圖像獲取、存儲、傳輸及處理過程中，由于種種原因，使得圖像的數據和噪聲的數據混合在一起。為此，需要對圖像進行濾波處理，盡最大可能保留目標特征（如顏色、形狀、紋理等），運用邊緣及輪廓提取、分割、圖像增強等，將圖像轉換成更適合人或者計算機處理的形式。傅里葉變換的一些性質在數字圖像處理中是非常有用的，利用這些性質，一方面可以簡化DFT的計算方法；另一方面，某些性質可直接應用于圖像處理中去解決某些實際問題。

圖像的能量主要集中在低頻區(qū)，其高頻區(qū)的幅值很小或趨于零。對大多數無明顯顆粒噪音的圖像來說，低頻區(qū)集中了85%以上的能量。這一點成為圖像變換壓縮編碼的理論根據。如變換后僅傳送低頻分量的幅值，對高頻分量不傳送，反變換前將它們再恢復為零值即可。原圖像中如果存在有明顯的顆粒噪音或圖像的某些細節(jié)處具有明顯的亮度跳躍，變換后的高頻幅值數值增加，分布增多。由此得出，圖像灰度變化緩慢的區(qū)域對應它變換后的低頻分量部分，圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域對應變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外，圖像細節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻分量特征。

1 函數的傅里葉變換

令 f（x）為實變量 x的連續(xù)函數且在（-∞，+∞）內絕對可積。f（x）的傅里葉變換的定義為：

若已知 F（u），則可利用傅里葉反變換求得 f（x）：

式（1）和式（2）稱為傅里葉變換對，簡稱傅氏變換對，記作：

空間域與頻率域濾波的基礎都是卷積定理：

其中，H（u，v）為系統(tǒng)函數。在頻率域對圖像進行濾波，就是先選擇一個濾波器傳遞函數的方式來修改F（u，v），然后再計算 H（u，v）F（u，v）的傅里葉逆變換，就可以得到與空間域中相應濾波后同樣的圖像。

2 高通濾波和低通濾波

低通濾波法是一種頻域處理方法。通過分析圖像變換后信號的頻率特性可知，圖像對象的邊緣和其他灰度跳躍區(qū)對應著頻域中的高頻分量，而其他灰度變化緩慢的區(qū)域對應著頻域中的低頻分量。因此，對于一幅帶有顆粒噪音的圖像，經圖像變換后，它對應高頻分量。這時如果用濾波方法對頻域中一定范圍的高頻分量濾掉而保留其低頻分量同樣能達到平滑的目的。

由卷積定理可知：

其中，F（u，υ）是含有噪音的圖像變換，G（u，υ）是平滑處理后的圖像變換，H（u，υ）是傳遞函數。

現在的目的是選擇一個適當的函數 H（u，υ），利用式（1）運算后，使 F（u，υ）的高頻分量衰減，從而得到G（u，υ），再經反變換就可以得到所希望的平滑圖像g（x，y）。 因為“濾去”了高頻分量，低頻信息無損地“通過”，所以通常稱這種方法為低通濾波法。顯然，傳遞函數H（u，υ）應該具有低通濾波特性，或叫低通濾波器。

高通濾波和低通濾波的原理相同，只不過是保留高頻成分，而濾除低頻成分。

巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數H（u，υ）表示為：

其中，D0為截止頻率。巴特沃斯低通濾波器傳函數H（u，υ）如圖1所示。 由于 H（u，υ）在通過頻率和濾去頻率之間沒有明顯的不連續(xù)性，更無階躍和突變，因而平滑圖像不存在振鈴現像，結果圖像比理想低通濾波器更好。

圖1 巴特沃斯低通濾波器

巴特沃斯高通濾波器的傳遞函數H（u，υ）表示為：

其中，D0為截止頻率。由于巴特沃斯高通濾波器傳函數H （u，υ）通過頻率和濾去頻率之間沒有明顯的不連續(xù)性，更無階躍和突變，因而平滑圖像不存在有振鈴現像，結果圖像比理想高通濾波器更好。

3 高通濾波器和低通濾波器的結合

從能量分布來看，圖像的主要能量集中在低頻區(qū)域，而圖像的邊界區(qū)域通常含有較多的高頻成分。對圖像進行低通處理，濾除其高頻的成分，有效地保留了圖像的能量信息，去除了噪聲。相反，對圖像進行高通處理，很好地保留了圖像的細節(jié)部分，但是，圖像的大部分能量信息被去除。為了更有效地保留其低頻成分能量信息并且保留高頻細節(jié)信息，本文采用了參數優(yōu)化的方法。

（1）第一種優(yōu)化采用高通低通相結合的辦法，其公式如下：

其中，Ha（u，υ）為低通濾波器的系統(tǒng)函數，Hb（u，υ）為高通濾波器的系統(tǒng)函數。α把低通濾波器和高通濾波器結合起來，同時優(yōu)化兩個函數。當α＝0時，系統(tǒng)函數H（u，υ）為完全的高通濾波函數，濾波器為完全的高通濾波器；當 α＝1時，系統(tǒng)函數 H（u，υ）為完全的低通濾波函數，濾波器為完全的低通濾波器。

（2）第二種優(yōu)化方法，其公式如下：

其中，λ1、λ2分別為優(yōu)化參數。λ1為多少對 λ2并沒有直接的關系，只是與總的系統(tǒng)函數 H（u，υ）有關系。

4 實驗結果及分析

本文實驗采用MATLAB R2009a軟件對lena圖像（分辨率為512×512）和頭部圖像等進行巴特沃斯高通濾波和低通濾波相結合的濾波處理。處理的結果表明兩種處理效果第二種效果更好。

（1）對第一種參數優(yōu)化，針對 lena圖像和醫(yī)學圖像α選取了6個值，實驗結果如圖2所示。第一種采用α參數優(yōu)化方法，產生了不錯的處理效果。α代表了低通濾波器在總體的濾波器中的百分比。但是此方法有一個缺陷，就是必須同時處理 Ha（u，υ）和 Hb（u，υ）。

（2）針對第二種參數優(yōu)化，對 λ1、λ2分別選取了 4個值，應用在了遙感圖像和人體頭部圖像中，實驗結果如圖3 所示。 該方法不需要同時處理 Ha（u，υ）和 Hb（u，υ），λ1、λ2可以任意選取，在圖像濾波中處理起來更靈活一些。而且，第一種參數優(yōu)化方法是第二種參數優(yōu)化方法的特例。

兩種參數優(yōu)化的方法使高通低通濾波器結合到了一起，對圖像的處理顯示了巴特沃斯高通濾波器和巴特沃斯低通濾波器的各自有點，既增強了圖像，又兼顧了圖像去噪的效果。

[1]岡薩雷斯.數字圖像處理（matlab版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[2]賀興華，周媛媛，王繼陽，等.MATLAB7.x[M].北京：人民郵電出版社，2006.

[3]王大紅，胡茂林.巴特沃斯非線性混合濾波器圖像濾波方法設計[J].計算機工程與應用，2010（21）：195-198.

[4]康牧，王寶樹.一種基于圖像增強的圖像濾波方法[J].武漢大學學報（信息科學版），2009（7）：822-825.

[5]周平，鄭文剛，孫忠富.基于局部信息的圖像濾波及邊緣銳化算法[J].計算機應用，2009，29（S1）：222，226.

[6]李岳陽，王士同.基于矢量尺度的圖像濾波[J].計算機科學，2010（9）：272-275.

[7]何希平.基于鄰域Mean-shift的彩色圖像濾波算法[J].計算機應用，2011（2）：386-389.

[8]lIENHART R，MAYDT J.An extended set of Haar-like feature for rapid object detection[C].IEEE ICIP 2002，2002，1：900-903.