張亞奇，王 舒，劉偉杰，張向奎，胡 平，鄭國君

（1. 大連理工大學(xué) 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 汽車工程學(xué)院，大連 116024；2. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024；3. 大連迪克斯科技有限公司，大連 116024）

一步成形模擬中一種新的松弛因子搜索算法

張亞奇1,2，王 舒2，劉偉杰1,2，張向奎1,2，胡 平1,3，鄭國君3

（1. 大連理工大學(xué) 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 汽車工程學(xué)院，大連 116024；2. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024；3. 大連迪克斯科技有限公司，大連 116024）

0 引言

車身覆蓋件沖壓成形是汽車生產(chǎn)中一個(gè)很重要的環(huán)節(jié)，制約著汽車質(zhì)量的提高和改型換代周期的縮短，傳統(tǒng)的依靠經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反復(fù)調(diào)試的模具設(shè)計(jì)方法已經(jīng)不能滿足高質(zhì)量、高效率和低成本的要求。隨著CAD和CAE技術(shù)的發(fā)展，板料沖壓成形模擬技術(shù)越來越多的被用于預(yù)測變形路徑和成形缺陷如裂紋和起皺。

板料成形模擬技術(shù)是基于大變形彈塑性有限元理論的一種數(shù)值模擬算法，主要可分為增量理論和全量理論[1]。增量理論的思想是將整個(gè)變形分為若干個(gè)小增量步，第i步的求解是建立在第i-1步所得的結(jié)果之上的，迭代到最后可以得到最終的模擬結(jié)果，增量法最主要的優(yōu)點(diǎn)是模擬精度高，但其計(jì)算復(fù)雜，數(shù)據(jù)準(zhǔn)備繁瑣，計(jì)算時(shí)間長，不能滿足在模具最初設(shè)計(jì)階段快速估計(jì)產(chǎn)品可制造性的要求。

一步成形模擬方法是一種基于全量理論的有限元逆算法[1]，該方法最早由Kobayashi等人[2]提出，J. L. Batoz，Y. Q. Guo 和H. Hub都進(jìn)行過研究[3～5]。這種方法假設(shè)變形過程是比例加載的，只考慮初始毛胚板和變形終了構(gòu)型兩個(gè)狀態(tài)，忽略中間狀態(tài)，建立有限元方程。其突出優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算效率高并且擁有較好的精確性。既可以在產(chǎn)品的初始設(shè)計(jì)階段快速預(yù)測沖壓件的成形性，還可以在制造階段快速估計(jì)毛胚板料的尺寸和形狀，應(yīng)用前景廣泛。

一步成形模擬最終需要求解一個(gè)大規(guī)模非線性方程組，一般采用Newton-Raphson（N-R）算法進(jìn)行迭代求解[5]，但是經(jīng)典的Newton-Raphson迭代對初始解的精度要求比較苛刻，初始解必須在真實(shí)解附近，迭代才能收斂。對于一些復(fù)雜問題尤其是高度非線性的問題，很難找到讓經(jīng)典的N-R迭代收斂的初始解。因此為了放松對初始解的要求，提高迭代穩(wěn)定性和收斂速度，通常需要引入松弛因子。松弛因子的取值對求解的穩(wěn)定性和計(jì)算效率有很大的影響。如果松弛因子取值太大，則容易發(fā)生“指數(shù)溢出[6]（Exponential Overflow）”，即計(jì)算將以無結(jié)果中止；如果松弛因子太小，會(huì)使計(jì)算效率變差，增加程序的運(yùn)行時(shí)間。

在一步成形模擬求解過程中，選取合適的松弛因子比較困難，而且到目前為止國內(nèi)外對這方面的研究還比較少，國外還沒有文章對其進(jìn)行專門的研究，即便是涉及到松弛因子的文章，大部分也沒有給出算法的具體步驟。Sven K. Esche等[7]比較了多種松弛因子線性搜索方法；L. Armijo[8]首先采用“折半搜索”的方式確定松弛因子，該方法也被稱為Armijo Rule，在一步成形模擬中有廣泛應(yīng)用。國內(nèi)吉林大學(xué)的那景新和陸善斌等人[9]提出了松弛因子的黃金分割算法，用一維搜索0.618法確定松弛因子的取值；那景新，高華等人[1]采用插值拋物線近似替代目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化松弛因子的取值。上述兩種算法的迭代收斂性和計(jì)算效率都比固定松弛因子的算法要好，但都比較復(fù)雜，需要的附加計(jì)算較多。現(xiàn)有的處理方案一般采用“折半搜索”算法，但由于其算法粗糙，不適合處理一些復(fù)雜問題。本文在權(quán)衡迭代穩(wěn)定性和計(jì)算效率的基礎(chǔ)上提出了一種新的松弛因子搜索算法，并驗(yàn)證了其有效性。

1 一步成形基本理論

一步成形有限元方法的基本思想是假設(shè)變形過程是比例加載的，通過比較初始毛胚板和變形終了構(gòu)型兩個(gè)狀態(tài)，確定零件中的節(jié)點(diǎn)在毛胚平板中的對應(yīng)位置，從而得到毛胚平板的形狀和尺寸，進(jìn)而得到零件中的應(yīng)變、應(yīng)力分布和厚度分配。在零件變形終了構(gòu)型上建立虛功方程[5]：

選取松弛因子的方法有很多[6]，通常的辦法是定義一個(gè)目標(biāo)函數(shù)φ，選取合適的松弛因子使該函數(shù)的值隨著迭代的進(jìn)行逐漸減小，下面是常用的一種目標(biāo)函數(shù)形式：

對于某些問題，松弛因子經(jīng)過一到兩次減半就可以使目標(biāo)函數(shù)減小，“折半搜索”在解決這類問題時(shí)效果較好，但是作為一種初級(jí)的線性搜索算法，“折半搜索”由于搜索模式單一，只有減半這一種方式，造成其在處理一些問題時(shí)太粗糙。因?yàn)樗沙谝蜃又荒苋?、0.5、0.25、0.125、0.0625、0.05這六個(gè)值中的某一個(gè)，這很有可能錯(cuò)過一些較大的松弛因子（如0.8，0.9），例如在某個(gè)迭代步中，最佳的松弛因子取值為0.75，顯然“折半搜索”會(huì)錯(cuò)過0.75，而得到一個(gè)較小的松弛因子，影響計(jì)算效率。

2 新的松弛因子搜索算法

不難看出，最理想的情況是可以找到使目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間上取最小值的松弛因子[10]，但一般情況下目標(biāo)函數(shù)非常復(fù)雜，搜索最小值點(diǎn)的過程需要大量試算，這會(huì)增加搜索松弛因子的時(shí)間消耗，降低程序的計(jì)算效率。本文在權(quán)衡迭代收斂性和計(jì)算效率的基礎(chǔ)上，提出了一種基于局部極小值搜索的新松弛因子搜索算法，算法的思想是用局部極小值點(diǎn)代替最小值點(diǎn)，并通過一個(gè)簡單的線性搜索得到目標(biāo)函數(shù)的局部極小值點(diǎn)。算法的具體操作步驟如下：

1）首先令松弛因子為1，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的值，如果相比上一個(gè)迭代步有所下降，則取松弛因子為1，否則開啟目標(biāo)函數(shù)的局部極小值搜索算法。

2）目標(biāo)函數(shù)的局部極小值搜索算法：

（1）沿0向1的方向進(jìn)行搜索，確定a和c的值，滿足條件；

（2）繼續(xù)搜索，確定b的值，滿足條件，同時(shí)保持的關(guān)系不變。

算法的思想是，用一個(gè)長度為0.1的區(qū)間沿著0向1的方向移動(dòng)，每次移動(dòng)步長，直到找到滿足條件的區(qū)間或者達(dá)到預(yù)先設(shè)置的最大值1。

算法的流程如圖1所示。

圖1 新松弛因子搜索算法流程圖

3 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證本文提出的新算法的有效性，作者編制計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)了新算法，并將其加入到KMAS/One-Step程序中。本文選取了U型梁、方盒等四個(gè)算例進(jìn)行測試分析，并與“折半搜索”算法結(jié)果進(jìn)行比較。測試所用硬件配置為Intel Core i5/2.53GHz，8GB內(nèi)存。

各測試零件均采用三角形單元?jiǎng)澐钟邢拊W(wǎng)格，具體劃分情況如表1所示。出于篇幅考慮，這里只給出了方盒和測試零件四的有限元模型圖如圖2所示。

表1 測試零件的有限元網(wǎng)格劃分情況

圖2 方盒（左）和測試零件四（右）的有限元模型

測試零件所用材料為鋼，具體的材料和幾何參數(shù)如表2所示。

表2 測試零件的材料和幾何參數(shù)

由于篇幅限制，這里只列出部分計(jì)算結(jié)果圖。在四個(gè)算例中，方盒最具有代表性，下面給出了采用本文提出的新松弛因子搜索算法計(jì)算所得的方盒的厚度分布圖和初始毛胚平板形狀如圖3所示。

圖3 方盒的厚度分布圖（左）和毛胚形狀（右）

表3為采用不同算法對四個(gè)算例進(jìn)行測試的結(jié)果，包括零件的最大和最小厚度（mm），迭代收斂所需的步數(shù)和迭代消耗的CPU時(shí)間（s）。

根據(jù)表3，我們可以看出，對于選取的四個(gè)算例，采用兩種松弛因子選取算法迭代都可以收斂，而且計(jì)算所得的零件最大（最?。┖穸认嗖顭o幾，這表明本文提出的新松弛因子搜索算法不影響Newton-Raphson迭代的收斂性和計(jì)算精度。

新松弛因子搜索算法可以有效減少收斂所需的迭代步數(shù)，尤其是在處理一些深拉延問題時(shí)。例如圓盤的迭代步數(shù)從11減少到5。這主要是因?yàn)樾滤惴ㄋ阉髂繕?biāo)函數(shù)的局部極小值點(diǎn)，而“折半搜索”只要求目標(biāo)函數(shù)下降。但是新算法要比“折半搜索”復(fù)雜，搜索松弛因子的時(shí)間也長，因此在解決某些問題時(shí)，時(shí)間略有上升，這是正常的。為了減少不必要的附加計(jì)算，本算法并不是每次都開啟局部極小值搜索，而是分情況處理，在松弛因子取1目標(biāo)函數(shù)無法下降時(shí)，才進(jìn)行搜索。

表3 不同松弛因子算法的測試結(jié)果

對于規(guī)模較大的問題，解方程組的時(shí)間可以占到一步成形模擬程序總時(shí)間的90%以上[9]。本文提出的新算法可以有效減小收斂所需的迭代步數(shù)，雖然目標(biāo)函數(shù)的局部極小值搜索會(huì)帶來一些附加計(jì)算，但是解線性方程組的時(shí)間復(fù)雜度為o(n3)，新松弛因子搜索算法的時(shí)間復(fù)雜度為o(n2)，因此可以預(yù)見新算法在解決大型問題時(shí)，計(jì)算效率的提高將更加明顯。新算法可以使目標(biāo)函數(shù)隨著迭代的進(jìn)行逐漸減小，因此可以放松對初始解的要求，提高N-R迭代的穩(wěn)定性。

總體來說，本文提出的新的松弛因子搜索算法，比傳統(tǒng)的“折半搜索”算法有更好的迭代穩(wěn)定性和計(jì)算效率，尤其是在處理規(guī)模較大的問題時(shí)。

4 結(jié)論

本文研究了一步成形模擬中非線性方程組的N-R迭代求解，探討了松弛因子取值對N-R迭代收斂性和計(jì)算效率的影響，并在權(quán)衡迭代穩(wěn)定性和計(jì)算效率的基礎(chǔ)上，提出了一種新的基于局部極小值搜索的松弛因子搜索算法。選取了U型梁和方盒等四個(gè)實(shí)例，驗(yàn)證了新算法的有效性。通過與經(jīng)典的“折半搜索”算法的結(jié)果進(jìn)行比較，本文發(fā)現(xiàn)新算法可以有效減少迭代收斂所需的步數(shù)，提高計(jì)算效率，在處理大型問題時(shí)，優(yōu)勢將更加明顯。本文提出的新松弛因子搜索算法已經(jīng)集成到Siemens PLM NX/One-Step和KMAS/One-Step中。

[1]那景新,高華,張麗,胡平.一步成形模擬方法中松弛因子選取算法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版),2005,3:292-296.

[2]Kobayashi S, Kim J H, Mechanics of Sheet Metal Forming,New York: Plenum Press,1978:341-365.

[3]Yang Shiyong and Nezu Kikuo,“Application of an inverse FE approach in the concurrent design of sheet stamping”,Journal of Material Processing Technology,1998:79,86-93.

[4]C. H. Lee and H. Huh,“Blank design and strain estimates for sheet metal forming processes by a finite element inverse approach with initial guess of linear deformation”, Journal of Materials Processing Technology,1998:82,145-155.

[5]Y. Q. Guo and J. L. Batoz,“Finite element procedures for strain estimations of sheet metal forming parts”,International Journal for Numerical Methods in Engineering,1990:30,1385-1401.

[6]C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton’s Method, Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003:1-24.

[7]Sven K. Esche, Gary L. Kinzel and Taylan Altan,“Issues convergence improvement for non-linear finite element programs”,Int. J.Numer.Meth.Engng.1967:40,4577-4594 .[8]L.Armijo,“Minimization of functions having Lipschitz-continuous first partial derivatives”,Pacific J.Math.1966:16,1-3.

[9]陸善彬.一步模擬中沖壓方向、單元模型及松弛因子算法研究[D].吉林大學(xué),2004.

[10]Y. Q. Guo,J.L.Batoz, H. Naceur, S. Bouabdallah,F.Mercier, O. Barlet, “Recent developments on the analysis and optimum design of sheet metal forming parts using a simplified inverse approach”,Computers and Structures,2000:78,133-148.

A new relaxation factor search algorithm in one-step forming simulation

ZHANG Ya-qi1,2, WANG Shu2, LIU Wei-jie1,2, ZHANG Xiang-kui1,2, HU Ping1,3, ZHENG Guo-jun3

本文著重研究了一步成形模擬中松弛因子取值對迭代收斂性和計(jì)算效率的影響，在權(quán)衡迭代穩(wěn)定性和計(jì)算效率的基礎(chǔ)上，提出了一種新的松弛因子搜索算法，然后用計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)了算法，并將其加入到KMAS/One-Step中，通過U型梁、方盒等四個(gè)計(jì)算實(shí)例，與經(jīng)典的“折半搜索”算法結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了新算法的有效性。

板料沖壓成形；一步成形；松弛因子

張亞奇（1989 -），男，碩士研究生，主要從事汽車覆蓋件沖壓成形仿真研究。

TP391

A

1009-0134(2013)06(上)-0014-04

10.3969/j.issn.1009-0134.2013.06(上).05

2013-04-09

863計(jì)劃項(xiàng)目（2013AA040501）