張 征，吳化平，鮑雨梅，柴國(guó)鐘

（浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江杭州310032）

基于自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格的HA-Ti梯度材料接觸分析

張 征，吳化平，鮑雨梅，柴國(guó)鐘

（浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江杭州310032）

對(duì)于等離子噴涂制備的HA-Ti梯度生物材料，由于其在實(shí)際使用中必然受到接觸、摩擦磨損作用，而對(duì)其熱力耦合接觸模型的研究是以上研究的基礎(chǔ).由于HA-Ti梯度生物材料的材料組分沿厚度梯度變化，故可利用自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格法計(jì)算方便、求解精度高以及計(jì)算耗費(fèi)小等優(yōu)點(diǎn)，并與有限元法耦合，考慮摩擦力和摩擦熱輸入等因素的影響，建立熱彈接觸數(shù)值求解模型.通過(guò)對(duì)真實(shí)粗糙涂層表面在不同載荷情況下的算例表明：此模型能有效、快速地求解非均質(zhì)、高強(qiáng)度和脆性的復(fù)合材料，并取得了較好的效果.

HA-Ti功能梯度生物材料；熱彈接觸；自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格法

由不同材料組分或結(jié)構(gòu)沿厚度方向連續(xù)變化制備的功能梯度材料（Functionally graded material，F(xiàn)GM）由于其界面消失使得材料性能連續(xù)、緩慢變化，因而具有諸多優(yōu)良的力學(xué)性能而得到廣泛應(yīng)用.通過(guò)各種表面工程技術(shù)對(duì)金屬醫(yī)用生物材料進(jìn)行生物活化改性處理，獲得力學(xué)性能優(yōu)異、生物活性和生物相容性良好、無(wú)毒副作用的生物醫(yī)用材料，被認(rèn)為是開發(fā)新型生物陶瓷涂層材料的有效途徑之一［1］.醫(yī)用活性羥基磷灰石HA-Ti梯度材料是一種能滿足以上需求的較好選擇，而接觸問(wèn)題、摩擦問(wèn)題［2］廣泛存在于植入人體的生物醫(yī)用材料與人體當(dāng)中，對(duì)其熱力耦合接觸問(wèn)題的研究是分析研究摩擦、磨損等問(wèn)題的基礎(chǔ).

目前，在接觸力學(xué)數(shù)值分析方面，當(dāng)考慮接觸區(qū)域局部微粗糙峰大變形時(shí)，有限元網(wǎng)格可能出現(xiàn)畸變，需對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行重新劃分和自適應(yīng)處理，使計(jì)算耗費(fèi)和難度增大，而無(wú)網(wǎng)格法［3-8］回避了有限元計(jì)算中網(wǎng)格畸變帶來(lái)的困難，在求解區(qū)域內(nèi)設(shè)置任意有限個(gè)結(jié)點(diǎn)，采用結(jié)點(diǎn)權(quán)函數(shù)來(lái)表征結(jié)點(diǎn)及其鄰域內(nèi)的物理量和力學(xué)量.在采用物理表面改性技術(shù)中等離子噴涂方法制備醫(yī)用活性HA-Ti梯度材料［9-11］基礎(chǔ)上，針對(duì)考慮多種因素影響（如考慮彈塑性變形、表面粗糙度、表面摩擦和表面熱變形等）的接觸問(wèn)題，在熱力載荷、相對(duì)滑動(dòng)速度、摩擦系數(shù)和接觸表面形貌等因素作用下考慮多種復(fù)雜因素耦合影響時(shí)計(jì)算規(guī)模較大、計(jì)算耗時(shí)較長(zhǎng)的特點(diǎn)，考慮利用自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格法［12-14］提高計(jì)算精度和計(jì)算效率，研究采用較少的結(jié)點(diǎn)數(shù)目、較合理的結(jié)點(diǎn)排布得到較精確的計(jì)算結(jié)果，并建立高效快速的、考慮多因素影響的求解模型.因此，筆者將自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格法與有限元法耦合（便于處理邊界條件和節(jié)省計(jì)算時(shí)間）用于非勻質(zhì)的、熱/機(jī)械耦合的以及梯度變化的醫(yī)用活性HA-Ti功能梯度材料［15］，建立熱力耦合滑動(dòng)接觸求解模型.并通過(guò)不同載荷、不同參數(shù)的算例分析，表明計(jì)算模型的正確性和高效性，進(jìn)而指導(dǎo)醫(yī)用活性HA-Ti梯度材料的生產(chǎn)和制備.

1 模型描述

HA-Ti梯度生物材料接觸問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題來(lái)求解，故建立接觸模型如圖1所示.兩個(gè)粗糙表面接觸問(wèn)題可以等同于一個(gè)粗糙表面與一個(gè)光滑表面的接觸，圖1（a）是接觸體整體模型，在測(cè)得材料表面形貌后，將粗糙峰接觸載荷R施加于光滑表面上，上部為粗糙表面粗糙峰產(chǎn)生的局部接觸壓力示意圖，其在數(shù)值模擬中將隨著壓入深度的變化而變化，下部為材料組分沿厚度方向z梯度變化的生物陶瓷材料，其中最上表面為純HA材料.建立HATi功能梯度生物材料的無(wú)網(wǎng)格---有限元模型，在可能接觸的上半部分采用無(wú)網(wǎng)格方法離散化，在遠(yuǎn)離接觸區(qū)域采用有限元法進(jìn)行網(wǎng)格剖分，并通過(guò)耦合區(qū)域進(jìn)行過(guò)渡連接.進(jìn)而在可能接觸的無(wú)網(wǎng)格區(qū)域采用自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格法［16］以提高計(jì)算精度、降低計(jì)算耗費(fèi)，圖1（b）為數(shù)值求解模型的局部放大圖.

圖1 HA-Ti功能梯度生物材料模型Fig.1 HA-Ti graded biocomposite model

由于HA-Ti功能梯度材料為高強(qiáng)度、脆性材料，因此可以考慮采用熱彈性模型進(jìn)行求解，對(duì)于任意載荷增量ΔRm，熱彈性問(wèn)題的離散化系統(tǒng)方程可表示為式中：Δu為位移向量；Ke為彈性總剛矩陣；ΔRt為熱載荷增量.

熱彈性變形的增量表達(dá)式［13］為

式中：Am為機(jī)械變形的影響函數(shù)矩陣；H為與等效熱結(jié)點(diǎn)力和表面結(jié)點(diǎn)力相關(guān)的函數(shù)；At為熱影響函數(shù)矩陣.

眾所周知，彈性總剛矩陣

式中：De為彈性矩陣；B為幾何矩陣.對(duì)于功能梯度材料由于其彈性模量E（ξ）、泊松比v（ξ）、熱膨脹系數(shù)θ（ξ）和熱導(dǎo)率k（ξ）沿厚度梯度變化，表1給出了不同組分生物梯度涂層沿厚度方向材料屬性.根據(jù)以上參數(shù)，對(duì)關(guān)于厚度方向無(wú)量綱化=（其中z

為梯度方向坐標(biāo)，t為材料總厚度，采用最小二乘擬合方法，得出其近似的函數(shù)表達(dá)式：

因此，對(duì)于HA-Ti梯度材料可簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題，與材料屬性相關(guān)的彈性矩陣De可表示為

式中：E0和ν0分別為彈性模量和泊松比.同時(shí)，其熱接觸問(wèn)題的應(yīng)力向量可由下式求解：

表1 生物梯度材料沿厚度方向材料屬性1）Table 1 The functionally graded biomaterial properties along the thickness direction

式中：De為彈性矩陣；ε為應(yīng)變向量；ε0為自由熱應(yīng)變向量.對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，Deε0為

式中θ0為熱膨脹系數(shù).

式（7，9）中，在采用無(wú)網(wǎng)格法對(duì)背景網(wǎng)格高斯積分點(diǎn)求解時(shí)，區(qū)別于均勻材料的情況：對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題E0=E（ξ），v0=v（ξ）和θ0=θ（ξ）；對(duì)于我們所研究的對(duì)象可以看作平面應(yīng)變問(wèn)題，和θ0=（1+ν（ξ））θ（ξ），材料屬性是沿厚度方向梯度變化的.

對(duì)于無(wú)網(wǎng)格法來(lái)說(shuō)，可求出背景網(wǎng)格高斯積分點(diǎn)的平均溫升，有

式中：Φi為權(quán)函數(shù)影響域內(nèi)的無(wú)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)形函數(shù)；NP為權(quán)函數(shù)影響域內(nèi)的結(jié)點(diǎn)總數(shù).

2 算 例

對(duì)于HA涂層表面，平均表面粗糙度Ra約為2.496μm［2］左右，在此選取Ra=2.498μm的真實(shí)表面形貌進(jìn)行研究，如圖2所示.

無(wú)網(wǎng)格區(qū)域共有3 903個(gè)節(jié)點(diǎn)，128×30的背景網(wǎng)格，有限元區(qū)域共有990個(gè)節(jié)點(diǎn)，928個(gè)單元，耦合區(qū)域有66個(gè)節(jié)點(diǎn)，32個(gè)單元，選取計(jì)算域長(zhǎng)度L =1.28 mm.采用自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格-有限元耦合法分別對(duì)不同摩擦系數(shù)f和摩擦熱輸入fv、不同載荷R下共12種情況的熱彈接觸問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，包括：1）fv =0.0 m/s，f=0.0；2）fv=0.01 m/s，f=0.05；3）fv=0.01 m/s，f=0.1；4）fv=0.03 m/s，f= 0.05；5）fv=0.03 m/s，f=0.1，分別在R=10 N和R=12 N下的熱彈接觸問(wèn)題研究，應(yīng)力分布云圖見圖3.此外，由熱產(chǎn)生的溫度場(chǎng)也可以同時(shí)算出.

圖2 粗糙表面形貌Fig.2 The original surface profile

從圖3可以看出：1）隨著外載荷的增大，其應(yīng)力最大值也逐步增大.2）對(duì)于前兩種情形，其摩擦熱輸入為零，即不考慮摩擦熱輸入，所以問(wèn)題簡(jiǎn)化為彈性接觸問(wèn)題，其應(yīng)力主要集中分布在接觸峰所對(duì)應(yīng)的區(qū)域；而隨著考慮摩擦熱輸入和摩擦系數(shù)，由摩擦熱產(chǎn)生的熱應(yīng)力對(duì)接觸應(yīng)力場(chǎng)影響較大，并由于切向力的增大，應(yīng)力場(chǎng)逐步向生物梯度材料非接觸峰區(qū)域集中.3）摩擦熱輸入相比摩擦系數(shù)其影響級(jí)別較高.

圖3 Von Mises應(yīng)力分布（單位：MPa）Fig.3 The distriution of the Von Mises stresses（Unit：MPa）

3 結(jié) 論

采用自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格法與有限元法耦合的數(shù)值計(jì)算方法，對(duì)非均質(zhì)、脆性HA-Ti功能梯度生物材料進(jìn)行數(shù)值模擬，在模型中考慮了多種因素包括：切向摩擦力、摩擦熱輸入和熱力耦合等對(duì)其接觸問(wèn)題的影響，對(duì)于外載荷、由摩擦熱產(chǎn)生的熱應(yīng)力和摩擦熱輸入相比摩擦系數(shù)的影響級(jí)別等問(wèn)題進(jìn)行了討論，接觸區(qū)域Von Mises應(yīng)力分布的結(jié)果說(shuō)明：對(duì)于考慮多因素影響的HA-Ti梯度生物材料采用自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格法結(jié)合有限元分析可更真實(shí)反映其實(shí)際接觸情形，并取得了較滿意的計(jì)算結(jié)果.在今后研究中，可增加實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和對(duì)比進(jìn)一步驗(yàn)證理論和數(shù)值模型.

本文得到了浙江工業(yè)大學(xué)校級(jí)科學(xué)研究基金（20100207）的資助.

［1］ 吳永智，栗卓新，李紅，等.等離子噴涂制備羥基磷灰石復(fù)合梯度涂層研究進(jìn)展［J］.機(jī)械工程材料，2007，31（8）：5-7.

［2］ BALANI K，CHEN Yao，HARIMKAR S P，et al.Tribological behavior of plasma-sprayed carbon nanotube-reinforced hydroxyapatite coating in physiological solution［J］.Acta Biomaterialia，2007，3：944-951.

［3］ DAI K Y，LIU G R，HAN X，et al.Thermomechanical analysis of functionally graded material（FGM）plates using element-free Galerkin method［J］.Computers and Structures，2005，83：1487-1502.

［4］ GOUPEE A J，VEL S S.Two-dimensional optimization of material composition of functionally graded materials using meshless analyses and a genetic algorithm［J］.Comput Methods Appl Mech Engrg，2006，195：5926-5948.

［5］ HOSSEINI S M，SLADEK J，SLADEK V.Meshless local Petrov-Galerkin method for coupled thermoelasticity analysis of a functionally graded thick hellow cylinder［J］.Engineering Analysis with Boundary Elements，2011，35：827-835.

［6］ SLADEK V，SLADEK J，ZHANG C H.Local integral equation formulation for axially symmetric problems involving elastic FGM［J］.Engineering Analysis with Boundary Elements，2008，32：1012-1024.

［7］ WU C P，CHIU K H，WANG Y M.RMVT-based meshless collocation and element-free Galerkin methods for the quasi-3D analysis of multilayered composite and FGM plates［J］.Composite Structures，2011，93：923-943.

［8］ WU C P，CHIU K H.RMVT-based meshless collocation and element-free Galerkin methods for the quasi-3D free vibration analysis of multilayered composite and FGM plates［J］.Composite Structures，2011，93：1433-1448.

［9］ 儲(chǔ)成林，尹鐘大，朱景川，等.HA-Ti生物功能梯度材料微觀組織及熱應(yīng)力緩和特性［J］.無(wú)機(jī)材料學(xué)報(bào)，1999，14（5）：775-782.

［10］ TSUI Y C，DOYLE C，CLYNE T W.Plasma sprayed hydroxyapatite coatings on titanium substrates part 1：mechanical properties and residual stress levels［J］.Biomaterials，1998，19：2015-2029.

［11］ KHOR K A，GU Y W，QUEK C H，et al.Plasma spraying of functionally graded hydroxyapatite/Ti-6Al-4V coatings［J］.Surface and coatings Technology，2003，168：195-201.

［12］ 張征，劉更，劉天祥，等.粗糙表面熱彈塑性接觸自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格分析［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2008，19（20）：2486-2491.

［13］ 張征，劉更，劉天祥，等.自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格熱彈塑性接觸模型研究［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26（5）：653-658.

［14］ 金賽英，劉更，佟瑞庭，等.自適應(yīng)無(wú)網(wǎng)格方法在涂層彈塑性接觸中的應(yīng)用［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2010，29（11）：1564-1568.

［15］ CHEN C C，HUANG T H，KAO C T，et al.Characterization of functionally graded hydroxyapatite/titanium composite coatings plasma-sprayed on Ti alloys［J］.Journal of Biomedical materials research Part B：applied Biomaterials，2006，78：146-152.

［16］ ZHANG Zheng，LIU Geng，LIU Tian-xiang.An adaptive meshless computational system for elasto-plastic contact problems［J］.International Journal of Computational Methods，2008，5（3）：433-447.

（責(zé)任編輯：陳石平）

Contact analysis of HA-Ti FGM biomaterial by the adaptive meshless method

ZHANG Zheng，WU Hua-ping，BAO Yu-mei，CHAI Guo-zhong

（Key Laboratory of E&M，Ministry of Education&Zhejiang Province，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310032，China）

For the plasma sprayed HA-Ti functionally graded biomaterial，the contact，friction and wear will certainly occur in the practical application，so the fundamental research on the thermo-elastic contact problem is necessary.Since the HA-Ti functionally biomaterials’material properties continuously and smoothly vary through the thickness direction，so the adaptive meshless method is just appropriate to be applied to establish the thermo-elastic contact model for its advantages including convenient calculation，high computational precision and less analysis consumption.The numerical model is established coupling with the finite element method and the influence of the frictional force and the frictional heat inputs is also being considered.Through the examples of the HA-Ti functionally graded biomaterial with real rough surface under different loading cases，the results show that the adaptive meshless method can solve the heterogeneous，high strength and brittle biomaterial thermo-elastic contact problem effectively and fastly.

HA-Ti FGM biomaterial；thermal-elastic contact；adaptive meshless method

TH123

A

1006-4303（2013）02-0210-04

2012-06-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51205355，11002126）；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（Y1100108，Y6100425）

張 征（1979-），男，安徽太和人，講師，博士，研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)無(wú)網(wǎng)格方法、接觸力學(xué)和復(fù)合材料力學(xué)等，E-mail：zzhangme@ zjut.edu.cn.