汪 飛

(江蘇省海門中學(xué),江蘇 南通 226100)

正交分解法是高中物理中研究曲線運(yùn)動(dòng)問題的基本方法,但在對(duì)一些特殊的曲線運(yùn)動(dòng)問題的研究中,若采用正交分解法,問題的研究過程會(huì)比較繁瑣,甚至需要借助高等數(shù)學(xué)知識(shí)才能使問題得以順利解決.此時(shí)若采用非正交分解法,往往能使問題得到巧妙的解決.為此,下面通過對(duì)幾道典型的曲線運(yùn)動(dòng)問題的分析來展示非正交分解法的巧妙性.

1 斜拋運(yùn)動(dòng)

圖1

例1.如圖1所示,傾角為θ的無限長(zhǎng)斜面,在斜面底端A點(diǎn)以與斜面夾角為α的初速度v0拋出一物體,求物體落到斜面上的位置B與斜面底端A點(diǎn)間的距離.

解析:如圖1所示,運(yùn)用非正交分解法將斜拋運(yùn)動(dòng)AB分解為沿初速度v0方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)AC和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)在矢量三角形ACB中,由正弦定理得

點(diǎn)評(píng):通過對(duì)斜拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行非正交分解,避免了正交分解法中通過軌跡的拋物線方程和直線方程的交點(diǎn)求距離的繁瑣運(yùn)算,簡(jiǎn)潔巧妙地解決了問題.

2 彈道曲線

例2.如圖2所示,在某座高為h的山頂A處有一火炮以水平速度v0發(fā)射一質(zhì)量為m的炮彈,經(jīng)過一段時(shí)間后落到山下的地面B處,落地速度與水平方向的夾角為α,炮彈在運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力的大小與速度成正比,即f＝kv,k為常數(shù),v為炮彈在運(yùn)動(dòng)過程中的速度,方向始終與速度方向相反,重力加速度為g.求炮彈落到地面上B點(diǎn)的速度大小.

解析:炮彈在運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力是與速度有關(guān)的變力,做變加速曲線運(yùn)動(dòng),如圖3所示,應(yīng)用非正交分解法,對(duì)炮彈在拋出點(diǎn)A點(diǎn)的初速度進(jìn)行分解分解,則使分速度v1引起的空氣阻力與重力平衡,即f1＝kv1＝mg,則炮彈的變加速曲線運(yùn)動(dòng)可視為沿豎直向下v1的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿v2方向的在變力f2＝kv2作用下的變減速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).

圖2

圖3

圖4

如圖4所示,炮彈運(yùn)動(dòng)過程中,合位移與分位移的關(guān)系為AB＝AC＋CB,沿CB方向做速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng),沿AC方向在變力f＝kv2作用下做初速度為v2的變減速直線運(yùn)動(dòng).設(shè)v2與v0的夾角為θ,則炮彈到達(dá)落地點(diǎn)B時(shí),沿AC方向的速度減為v3,v3與水平方向的夾角為θ,落地速度與水平方向的夾角為α.

對(duì)落地點(diǎn)B的速度合成圖形中應(yīng)用正弦定理得

解得

點(diǎn)評(píng):本題中炮彈在受到與速度有關(guān)的變力作用下做變加速曲線運(yùn)動(dòng),若采用正交分解法,則水平方向和豎直方向均為變加速直線運(yùn)動(dòng),應(yīng)用高中的物理和數(shù)學(xué)知識(shí)將無法求解,需借助高等數(shù)學(xué)知識(shí)來求解水平和豎直方向的動(dòng)力學(xué)微分方程.而采用非正交分解法,通過對(duì)炮彈的初速進(jìn)行分解,將變加速曲線運(yùn)動(dòng)分解為便于分析的勻速直線運(yùn)動(dòng)和變加速曲線運(yùn)動(dòng),應(yīng)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)便使問題得到巧妙的解決.充分顯示了非正交分解法在研究與速度有關(guān)的變力作用下做變加速曲線運(yùn)動(dòng)問題中的巧妙性.

3 擺線運(yùn)動(dòng)

圖5

例3.(2013年“北約”自主招生第10題)如圖5所示,水平面上方某一足夠大的空間存在水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,現(xiàn)從磁場(chǎng)中的A點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向水平發(fā)射一個(gè)帶電粒子,質(zhì)量為m,電荷量為q,考慮粒子的重力,問:(1)如果粒子從A水平運(yùn)動(dòng)到C,AC距離為L(zhǎng),求粒子的速度v0大??？(2)如果速度不滿足上問時(shí),粒子速度無論多大都能到達(dá)C點(diǎn),試求AC的距離L應(yīng)該滿足的條件？A到C的時(shí)間為多少？(3)如果初速度為0,問是否可能到達(dá)C點(diǎn),在此過程中,最大速度為多少？

解析:(1)粒子沿直線由A運(yùn)動(dòng)到C,則要求重力和洛倫茲力平衡,有mg＝qv0B,解得粒子帶正電.

此問中要求無論初速度v多大時(shí),粒子均能到達(dá)C點(diǎn),需要對(duì)初速度的方向和大小進(jìn)行分類討論,如v＜0、時(shí)的粒子運(yùn)動(dòng)情形進(jìn)行分析,能夠很好地考查學(xué)生對(duì)擺線運(yùn)動(dòng)情形的掌握程度和思維的嚴(yán)密程度.下面以時(shí)的運(yùn)動(dòng)情形為例進(jìn)行分析.

當(dāng)v＞v0時(shí),如圖6所示,將初速度v分解為同一直線上的v0和v′,使洛倫茲力若使f0＝qv0B＝mg,即v0產(chǎn)生的洛倫茲力與重力相平衡,將粒子的變加速曲線運(yùn)動(dòng)分解為以速度v0的勻速直線運(yùn)動(dòng)和在洛倫茲力f′＝qv′B作用下的勻速圓周運(yùn)動(dòng).

例如,當(dāng)v′＜v0時(shí),運(yùn)動(dòng)軌跡為如圖7所示的周期性的擺線圖像.當(dāng)粒子處于軌跡的最低點(diǎn)時(shí),v0與v′同向,當(dāng)處于軌跡的最高點(diǎn)時(shí),v與v′反向,運(yùn)動(dòng)的周期一個(gè)周期前進(jìn)的距離為,與粒子初速度的大小無關(guān).當(dāng)A、C間距離為d的整數(shù)倍時(shí),即當(dāng)L＝nd＝時(shí),粒子能夠到達(dá)C點(diǎn).

圖6

圖7

(3)粒子的初速度為0時(shí),為了平衡重力,可將初速度0分解為0＝v0－v0,此時(shí)粒子的軌跡如圖8所示,一個(gè)周期前進(jìn)的距離d＝故能夠到達(dá)C點(diǎn),運(yùn)動(dòng)過程中速度的最大值位于軌跡的最低點(diǎn)處

圖8

點(diǎn)評(píng):擺線運(yùn)動(dòng)是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的一種特殊運(yùn)動(dòng)問題,在1996年第13屆全國(guó)高中物理競(jìng)賽決賽第2題、2008年江蘇高考第14題和2011年福建高考第22題均對(duì)此類問題進(jìn)行了不同角度的考查,此類問題能力立意高,能充分考查學(xué)生的分析綜合能力,體現(xiàn)出試題的選拔功能,因此受到各級(jí)考試命題專家的青睞.帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做變加速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),受到與速度相關(guān)的變力——洛倫茲力,應(yīng)用非正交分解法對(duì)粒子的初速度進(jìn)行分解,將粒子的變加速度曲線運(yùn)動(dòng)分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng),巧妙地分析了帶電粒子的擺線運(yùn)動(dòng),再次顯示了非正交分解法的巧妙性.

4 小結(jié)

本文通過應(yīng)用非正交分解法對(duì)幾類曲線運(yùn)動(dòng)問題進(jìn)行了分析,此類試題能力要求高,屬于高校自主招生和中學(xué)物理競(jìng)賽范疇,自主招生和物理競(jìng)賽試題主要體現(xiàn)試題的選拔功能,因此更加注重解題方法選取的巧妙性.為此,在非正交分解法應(yīng)用的教學(xué)過程中,可選用此類特殊的曲線運(yùn)動(dòng)問題進(jìn)行講評(píng)練,使學(xué)生感悟到非正交分解法的巧妙性,豐富學(xué)生研究曲線運(yùn)動(dòng)問題的分解方法,拓寬學(xué)生的視野,加深學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)的合成與分解特征的理解.