丁慶紅 馮 爽

(1.北京教育學(xué)院石景山分院,北京 100043;2.北京教育學(xué)院教師教育數(shù)理學(xué)院,北京 100044)

1684—1687年期間,牛頓形成并提出了萬有引力定律.人們把牛頓的萬有引力定律看作西方科學(xué)中一個最重要變革的頂峰.伯納德·科恩在《科學(xué)美國人》(Scientific American)指出:“科學(xué)革命的亮點是牛頓所發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律.萬有引力在所有物體之間都存在,它的大小與兩物體質(zhì)量的乘積成正比,與兩物體之間距離的平方成反比.牛頓用一個數(shù)學(xué)定律就囊括了觀測到的宇宙中的物理現(xiàn)象,表明地球上的物理學(xué)與天體之間的物理學(xué)是相同的、一致的.”物理學(xué)家理查德·費曼曾說:“這是人類思想中影響最深遠的一個歸納.”

愛因斯坦明確指出:“在建立一個物理學(xué)理論時,基本觀念起了最主要的作用.物理書上充滿了復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式,但是所有的物理學(xué)理論都是起源于思維與觀念,而不是公式.”那么,牛頓在萬有引力定律中平方反比思想是如何形成的呢？

1 前人的成就

在亞里士多德的宇宙生態(tài)系統(tǒng)中,下落是一種特殊的行為,宇宙中只有特定位置的特定物體才會有這種行為.下落是諸多不同類型的運動和變化中的一種,不僅與潮汐無關(guān),與行星和其他天體的圓周運動也無關(guān).下落是地球上的物體通過內(nèi)力回到自然位置的自然運動.因此,下落的原因涉及物體的組成、物體在地球上的自然位置以及物體回到自然位置的傾向.在亞里士多德的影響之下,很長一段時間內(nèi),人們都認為物體向地球的墜落只是宇宙中幾種不同的“引力”和運動之一.同樣,人們也相信他的觀點:物體下落的速度取決于其本身的重量.在湯姆·斯托帕的電影《君臣人子小命嗚呼》(Rosencrantz and Guildenstern Are Dead)中,羅森克蘭茨手里拿著一個球和一根羽毛,兩者位于同一高度,說:“你可能會覺得這個比這個下落得快(同時松手讓兩者下落,球先著地).那你絕對是正確的.”

但有些古代學(xué)者卻與亞里士多德意見相左,他們提出天地的現(xiàn)象之間存在著各種各樣的聯(lián)系,其中最明顯的就是月亮和潮汐.亞里士多德曾努力嘗試從力學(xué)上對潮汐運動作出解釋,他還在解釋中引入了風(fēng),但其他人認為這種聯(lián)系從某種意義上來說是直接的.希臘學(xué)者波西杜尼斯(Posidonius,約公元前135～前51年)和其他幾個古代學(xué)者提出了不同于亞里士多德的力的概念.他們認為力滲透在宇宙之中,與任何物質(zhì)(亞里士多德認為物質(zhì)是唯一真正存在的事物)都無關(guān),但卻將物質(zhì)聯(lián)系在一起.這種宇宙力被命名為“交感力”,在希臘語中是“相互感應(yīng)”的意思.

在古代和中世紀,人們把探討天體之間、天體和地球之間的物理作用的學(xué)問稱為“占星學(xué)”.我們一定不能把“占星學(xué)”與現(xiàn)代社會所見的“迷信”相混淆.“迷信”似乎賦予了信奉者這樣一種能力:僅通過人的出生時日就能預(yù)先判斷出其性格.當然,古代和中世紀的占星學(xué)家中也不乏有些冒牌貨,專做此類勾當.但是,占星學(xué)確有其嚴肅的一面:它合理地假定宇宙中存在著將某些物體與其他遙遠物體聯(lián)系在一起的物理作用,并堅信這些物理作用是可以研究和描述的.科學(xué)史學(xué)家戴維·林德伯格(David C.Lindberg)曾說過:“幾乎所有的古代哲學(xué)家都認為否認這些聯(lián)系的存在是極其愚蠢的.”占星家們的工作最初對遠程力概念的提出發(fā)揮了巨大的作用.

然而,如何對這些聯(lián)系(諸如物體的下落)加以解釋仍是令人困惑的問題.力究竟是落體本身的一部分,還是獨立于落體之外單獨存在的呢？抑或是別的什么東西？1504年,尼古萊多·維利阿斯(Nicolettovernias)在寫到自由落體時說:“這是物理學(xué)上最難的一個問題.”

1543年,尼古拉斯·哥白尼(Nicolaus Copernius,1473—1543年)對該問題加以轉(zhuǎn)換,出版了《天體運行論》,(On the Revolutions of the Heavenly Spheres)一書.他在書中指出太陽系的中心是太陽,而不是地球.這本書在作者臨終時才得以出版.雖然該書假設(shè)力是由上帝嵌入在物體之中的,但它卻對宇宙力的研究者產(chǎn)生了極大的影響.它說明地球上的物體的重力在宇宙中并不是唯一的,在繞著太陽運行的其他天體上也可能會有重力的存在,月球如此,甚至太陽也如此.所有的物體都有重力.

宇宙力思想的另一個里程碑是威廉·吉爾伯特(William Gilbert)1600年的磁力論文《論磁》.磁力的產(chǎn)生是由于地球和各種物質(zhì)間存在著相互作用.吉爾伯特同時還發(fā)現(xiàn)磁力大小隨距離大小而變.他還懷疑即便物體處于靜止狀態(tài),磁力也是存在的.吉爾伯特認為,那種認為靜止物體不受磁力影響的想法就像是認為房子由墻壁、屋頂和地板掌管,而不是由住在房中的人掌管那般可笑.

約翰尼斯·開普勒(Johannes Kepler,1571—1630年)在哥白尼和吉爾伯特的基礎(chǔ)上,試著從數(shù)學(xué)上描述太陽和行星間的宇宙力.因此轉(zhuǎn)而從事數(shù)學(xué)工作的關(guān)系,與其他占星學(xué)家一樣,開普勒熱衷于和諧遍布宇宙的思想,認為宇宙依賴于上帝建立起來的和諧.但他對占星學(xué)家的方法卻抱著輕蔑的態(tài)度.這些人在研究中采用的是日常生活式的語言,對專業(yè)天文學(xué)家所采用的精確數(shù)學(xué)語言一無所知.開普勒認為:如果沒有數(shù)學(xué),占星學(xué)家就探測不到宇宙中的和諧,因此也就會忽視世界的結(jié)構(gòu).

開普勒是第一個提出光的強度是依照平方反比定律變化的.平方反比定律敘述的是某個特性隨著距離的平方而減小.以光的強度為例,光線是從光源向著各個方向輻射的,即是依據(jù)簡單的幾何學(xué)規(guī)律輻射的.如果將光源的輻射距離加倍,光線分布的平面面積就會變?yōu)樵瓉淼?倍(光強變小).如果將距離變?yōu)樵瓉淼?倍,面積就變?yōu)樵瓉淼?倍(如圖1所示).

圖1

開普勒的天文學(xué)思想借鑒了哥白尼和吉爾伯特的思想.他從哥白尼那里借用了太陽系的日心說思想和重力是引力的思想.實際上,開普勒曾基于哥白尼的天文學(xué)寫過一本著名的7卷本教科書——《哥白尼天文學(xué)導(dǎo)論》(Epitome to Copernican Astronomy,1618—1621年).開普勒從吉爾伯特那里借用了涉及“相互”吸引的力的思想.即便地球是向著石頭移動的,石頭也還是會向著地球移動.如果兩塊石頭之間相隔一定距離,兩者就會相互吸引,且吸引力的大小隨著距離的增加而減小.行星與太陽之間的距離越遠,引力就越小,行星運動的速度就越慢.但是開普勒給出的結(jié)論是太陽與行星之間的引力并不是向著各個方向輻射開去的,而只是延伸到在軌道上運行的行星上.既然引力存在的“目的”只是要“抓住”地球,那么它為什么還要沿著各個方向輻射出去呢？因此,開普勒推出結(jié)論:力的大小與行星離太陽的距離成反比,而不是與距離的平方成反比.

但是,開普勒在嘗試提出控制行星軌道運動的數(shù)學(xué)關(guān)系時卻遇到了一個疑惑.按照哥白尼的理論,行星沿著圓形軌道繞太陽公轉(zhuǎn).這是因為自亞里士多德的時代以來,人們一直認為天體的運行軌道是圓.但是,在人們于1609年開始將望遠鏡用于天文學(xué)之前,當時的最好數(shù)據(jù)是由丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫(Tycho Brahe,1546—1601年)測得的.開普勒知道有這些數(shù)據(jù),對其深信不疑.但這些數(shù)據(jù)卻不能很好地與圓形軌道模型相吻合.兩者之間的偏差很小,只差了8分,只比肉眼的分辨率稍大一點,可以說幾乎是無關(guān)緊要的.開普勒花了6年時間嘗試將這8分的角度考慮進哥白尼的體系中去,但沒有成功.

其他人考慮到觀測誤差和某些未知因素,略去了該偏差.但是開普勒對哥白尼的日心說模型和布拉赫的數(shù)據(jù)均深信不疑.正因如此,開普勒才提出了一個全新的思想:行星的運行軌道并不是圓形的,而是橢圓形的,太陽位于橢圓的一個焦點上.他還進一步得出結(jié)論:雖然行星距離太陽較近時運行速度較快,距離太陽較遠時運行速度較慢,但是太陽與行星的連線在相同的時間內(nèi)掃過的面積是相同的.上述結(jié)論就是開普勒三定律中的前兩個.開普勒第三定律敘述的是另外一個數(shù)學(xué)關(guān)系:任何兩個行星公轉(zhuǎn)周期的平方都與它們離太陽距離的立方成正比.

開普勒發(fā)現(xiàn)這些定律不僅很美,而且相互之間還是協(xié)調(diào)的.他還認為這種美和協(xié)調(diào)是上帝用這些定律來構(gòu)建宇宙的根本原因.開普勒將行星和太陽之間的引力看作不朽的自然力.他曾這樣寫道:“如果你用‘力’取代‘靈魂’,就可以得出與(我的)天體物理基礎(chǔ)一樣的理論來.我曾堅信靈魂就是行星運行的動力.但考慮到這個動力隨著距離的增加而減小,我推斷它是有形的.”開普勒在行星－太陽引力的“靈魂說”與“有形說”之間的順利過渡正好是法國哲學(xué)家奧古斯特·孔德(Auguste Comte)所謂的“神學(xué)思考與形而上學(xué)思考之間的過渡”的一個經(jīng)典印證.

有形力究竟是什么？人們在整個17世紀的大部分時間里對此爭論不休.笛卡兒等人認為有形力是純粹力學(xué)的,是微小運動(稱為渦旋)在流體樣物質(zhì)(叫作以太)中的產(chǎn)物.整個太陽系就浸沒在以太中.伽利略則傾向于完全不去討論重力的實質(zhì),轉(zhuǎn)而集中去測量重力的定量效應(yīng).這就是孔德所謂的進入科學(xué)思考的一步:給出數(shù)字就可以了.

1645年,法國天文學(xué)家伊斯邁爾·布里奧(Ismael Boulliau,1605—1694年)偶然發(fā)現(xiàn)了計算力的大小的公式,可他后來又否定了這個正確的公式.布里奧是科學(xué)史上一個頗具魅力的人物.他是最先接受開普勒的“行星沿橢圓形軌道運行”思想的天文學(xué)家之一,同時也是最后仍嚴肅看待占星術(shù)的天文學(xué)家之一.所以,布里奧對開普勒和開普勒對數(shù)學(xué)的運用進行了抨擊.他從占星學(xué)出發(fā),強烈反對開普勒的結(jié)論——行星的運動是由來自太陽的、與人無關(guān)的力控制的,且力的大小隨著距離的增加而減小.他對開普勒的荒謬思想嗤之以鼻,說如果存在這樣的力,那么這個力就會像光一樣,向著各個方向延伸開去.這意味著力的大小將與距離的平方成反比.而這顯然是很荒謬的.他不相信上帝會這樣來安排.

然而,其他一些科學(xué)家認識到行星和太陽之間的力可能的確是向著各個方向延伸開去的.也就是說“平方反比定律”不僅未必荒謬,而且的確可能存在于太陽和行星間的力當中.不過他們認為這種關(guān)系可能是離心力和向心力之間“拉鋸戰(zhàn)”的結(jié)果.這個結(jié)果就是平方反比定律.他們還猜想從平方反比關(guān)系中可以推導(dǎo)出開普勒定律.

2 美的指引

按照牛頓在晚年時所描述的,當他在自家農(nóng)場期間,看到一個蘋果從樹上落下,而他同時又能在天上看到月亮?xí)r,他產(chǎn)生了萬有引力定律的概念.蘋果和月亮除了兩者大致都是圓的以外,很難想象還有比它們差異更大的東西了.一個在地上,另一個在天上;一個很快腐爛,另一個則似乎是永恒的;一個掉到地上來,另一個則高懸在天空.然而,就在別人只看到差異的地方,牛頓卻看到了相似性.法國詩人和哲學(xué)家瓦萊里曾說:“當每個人都看到月亮不往下掉的時候,只有牛頓才看到月亮正往下掉.”

蘋果下落引起的深思實際上是一個很值得研究的美學(xué)問題.科學(xué)美學(xué)標準中“多樣性中的統(tǒng)一性”是非常重要的一條.愛爾蘭探尋智力美的理論家霍奇森(F.Hutcheson,1694－1746)在1725年出版的《美、秩序、和諧和圖案的探究》(An Inquiry Concerning Beauty,Order,Harmony,Design)一書中寫道:“在我們頭腦中引起美的觀念的圖畫,似乎是從多樣性中可以見到統(tǒng)一的圖畫……”客體中我們稱之為美的東西,比如就以數(shù)學(xué)形式表達的而論,似乎就存在于多樣性和同一性的復(fù)比之中:結(jié)果是,在對象的統(tǒng)一性表現(xiàn)為千篇一律的地方,美作為多樣性而存在,而在多樣性表現(xiàn)為雜亂無章的地方,美則為統(tǒng)一性存在.”當牛頓看見蘋果落到地下的時候,他能夠想到風(fēng)馬牛不相及的月亮為什么不下落,這是因為在他思想深處有一種美的感受在起潛在的作用.比如,杜甫在寫下面詩句時:“兩個黃鸝鳴翠柳,一行白鷺上青天.窗含西嶺千秋雪,門泊東吳萬里船.”在這4行28個字的詩句中,零零散散的出現(xiàn)有翠柳、白鷺、青天,窗、門、西嶺、東吳、雪和船,似乎彼此怎么也搭不上界,但在詩人的組合下,卻成了兼得雄豪與細膩之美的名詩絕句.李元洛先生在他的《詩美學(xué)》一書中說:“從繪畫的眼光看來,‘兩個黃鸝’是兩個圓點,‘一行白鷺’是一條斜線,所占空間不大而點劃分明,下面寫到推窗可見的雪和開門即見的船,卻烘托以‘千秋’的時間與‘萬里’的空間,一筆宕開之后,神游于永恒中和宇宙里,引發(fā)讀者極為豐富的美感聯(lián)想.”

同樣,牛頓看見蘋果落地,卻聯(lián)想到夜空中懸掛的月亮,并琢磨著它們應(yīng)該有統(tǒng)一的緣由.沒有“美感聯(lián)想”,這種深思是很難發(fā)生的.我們來追隨牛頓的思路.圖2表明一個落向地面的蘋果,它由地球引力的拖拉而加速.蘋果的速度、加速度和引力的方向,都如圖2所示向下指向地心.月亮的運動則完全不同,它的速度的方向平行于地球表面而不是指向地心.按照慣性觀點,力產(chǎn)生加速度而不是速度.因此,盡管它們的速度完全不同,但作用于它們兩者的力仍可能相似.這些力有何相似之處呢？

圖2

亞里土多德會說,使月亮做圓周運動不需要力,因為這是它的自然運動.然而慣性觀點則認為,為了使月亮偏離直線運動,必須有一個力作用于它.這個力在什么方向？如果月亮在圖3中的A點,而且如果沒有力作用于它,它會沿直線向B點運動.然而,實際上它沿圓周運動到C點.由圖3可以看到,把月亮向內(nèi)拉從而使它到達C點而不是B點所需的力也指向地心,就像作用于蘋果上的力一樣.但我們感興趣的是作用在它們每一個之上的力,而圖3中一個向內(nèi)的力把月亮維持在它的軌道上.牛頓假設(shè)這個力與拉蘋果向下的力的來源相同,都是地球的引力.因為作用于月亮的力是向內(nèi)指向地心的,由牛頓運動定律可知,月亮的加速度也一定向內(nèi).

圖3

圖4

牛頓還給出了另一個論據(jù),幫助我們理解為什么月亮和其他衛(wèi)星留在天上.如果你水平拋出一個蘋果,它將沿一彎曲的路徑落向地面(圖4).把蘋果拋出得越快,它落地之前就會走得越遠.如果把它拋出得足夠快,它將在繞過地球表面的大部分后才下落撞擊地面(圖4).如果這個蘋果以這樣高的速率拋出,以致其路徑的曲率恰好與地球的曲率一樣,那么它的下落就是繞著地球兜圈子.換句話說,它進入了軌道.為此所需的速度大約是8km/s,或29000km/h.任何沿軌道運行的衛(wèi)星都是如此,只不過是衛(wèi)星的高度越高,所需要的速率就越小,這是因為它們受到較小的引力牽拉,從而無需運動得那樣快以免盤旋下降到地球上.例如,月亮的速率只有大約1km/s.

形成月亮繞地球運行軌道的力是引力,它與把蘋果拉向地面的重力是同樣的力.

這在許多方面都是一個富有想象力的飛躍.難以相信有什么東西在拉月亮,更不用說它可能是拉蘋果的那同樣的力了.最難以想象的還是這個引力居然能跨過大約400000km的虛空(牛頓時代已經(jīng)知道這個距離)起作用.兩個物體直接接觸時很容易想象它們相互有力作用,但是跨越這樣大的距離的力顯得不可思議.

3 胡克的啟迪

羅伯特·胡克(Robert Hooke,1605－1703年)是倫敦皇家學(xué)會的實驗主管.他于1674年提出在地球和其他天體中都存在“指向各自中心的引力”.這個引力不僅作用于天體自身,而且還會作用于“有效球體作用范圍”內(nèi)的所有其他天體.作用力的大小與天體之間的距離有關(guān).但胡克的數(shù)學(xué)功底欠佳,無法由此假設(shè)計算行星的運動.1679年,仍在尋找問題答案的胡克寫了一封信給牛頓.胡克問牛頓對于他的“指向中心天體的吸引力”有什么想法？1680年1月,經(jīng)過與牛頓的幾次通信之后,胡克提出引力的大小是按照平方反比定律變化的.他接著問牛頓,如果實際情況真是這樣,能否計算出行星的運行軌道？

無獨有偶,1680年發(fā)生的幾個事件激發(fā)了人們對天體運動的興趣和研究天體行為的好奇心.一個事件就是天空中出現(xiàn)了一顆很大的彗星.英國著名天文學(xué)家艾德蒙·哈雷(Edmond Halley,1656－1742年)對這顆彗星進行了觀測.之后在1682年和1684年分別又出現(xiàn)了另外兩顆彗星.現(xiàn)在知道,這兩顆彗星就是“哈雷彗星”.此前,人們一直認為彗星是在太陽系中隨機出現(xiàn)的外來天體,它們不受定律的約束.這種觀點很快就發(fā)生了變化.

1684年1月,在倫敦的一家咖啡館,哈雷、胡克還有科學(xué)家和建筑學(xué)家克里斯托弗·雷恩(Christopher Wren,1632－1723年)爵士一起討論了行星運行軌道的本質(zhì),以及能否用平方反比定律解釋它.哈雷說他試過用該定律去計算行星的軌道,不過沒有成功.胡克自夸說他計算出來了,不過拒絕向大家演示.雷恩有點不耐煩,同時心存懷疑.他于是向哈雷和胡克提出挑戰(zhàn):誰要是能在兩個月之內(nèi)給出演示,就獎給一本價值40先令的書.兩個月的時間很快就過去了.當年8月,哈雷在劍橋大學(xué)再次見到牛頓時,與牛頓就該問題進行了討論.這次討論是牛頓一生中最具轉(zhuǎn)折性的一個事件,由此也產(chǎn)生了西方科學(xué)和文化上最重要的事件之一——《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書的出現(xiàn).在這本書中,萬有引力只是一個副產(chǎn)物.

4 牛頓的一個注釋

一次又一次地,在皇家學(xué)會的注解中牛頓把他自己確認為畢達哥拉斯的信徒.最令人吃驚的是命題八(PropositionⅧ)的注釋,它直接談到天體音樂的偉大主題.牛頓陳述到畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了和諧的振動琴弦的反比平方關(guān)系,之后,他進一步斷言畢達哥拉斯推斷過行星的重量和它們與太陽的距離的序列關(guān)系.下面是《天體的音樂——音樂、科學(xué)和宇宙自然秩序》一書中給出的該注釋的全文:

地心引力通過什么比例通過從行星后退而減小,古人沒有足夠的解釋.然而,他們顯然已經(jīng)通過天體的和諧勾畫出了它的輪廓,用阿波羅帶7根弦的小豎琴來選定了太陽和其余的6顆行星,水星、金星、地球、火星、木星和土星,并用聲調(diào)的音程測定天體的間隔.他們宣稱他們叫做和諧音域的七個聲調(diào)就這樣誕生了,而土星按多里安的phthong［聲音或方式］運轉(zhuǎn),就是說,重的是這樣,其余的行星按更尖的聲調(diào)(像普林尼第1卷和第22章提到的,按照畢達哥拉斯的意思),而太陽撥動它們的琴弦.因此,《馬克羅比烏》(Macrobius)第1卷第19章中說:“阿波羅的7弦豎琴規(guī)定了全部天體運動的理解,自然將太陽設(shè)置為它們的調(diào)音者.”普魯克魯斯論柏拉圖的《蒂邁歐篇》第3卷第200頁說,“數(shù)字7他們已經(jīng)獻給了包含了所有交響樂的太陽神阿波羅,因而,他們通常稱他為赫波多馬格特(Hebdomagetes)神”,即數(shù)字7的王子.同樣,在尤西比烏(Eusebius)的《福音書的準備》(Preparation of the Gospel)第5卷第14章中,阿波羅的神諭稱太陽神阿波羅為7聲和諧之王.但通過這個象征,他們要說明太陽通過它自己的力量以通過這個距離張力的力量作用在不同長度的琴弦上的距離的和諧比例作用在行星之上,這在距離的雙重比例中是相反的.因為太陽的張力借此作用在同樣琴弦的不同長度上的力量與該弦長度的平方正好相反.

一個一半長的琴弦上的相同的張力會產(chǎn)生4倍的強度,因為它產(chǎn)生了8度音階,而8度音階由一個4倍大的力量生產(chǎn)的.因為如果一個被一個特定的重量拉長的特定長度弦產(chǎn)生一個聲調(diào),那么在一個3倍短的琴弦上的相同的張力會產(chǎn)生九倍的聲調(diào).因為它產(chǎn)生出第12音階,一個特定重量拉長的一根琴弦產(chǎn)生一個特定的聲調(diào)需要九倍的重量才能產(chǎn)生出第12音階.用一般術(shù)語來說,如果兩條弦粗細相當被附加的重量拉長,當這重量與弦的長度的平方相反的話,這兩條弦就會同音.現(xiàn)在這個議論很微妙,可是,卻為古人所知道.至于畢達哥拉斯,像馬克羅比烏公開說的,通過加上不同的重量拉長羊的腸子或牛的肌腱,從中知悉天體和諧的比例.因此,通過這樣的實驗,他探明借此全部聲調(diào)都在相等弦上的重量……在通過它樂器發(fā)出相同的聲調(diào)的琴弦的長度的平方上是相反的.但是這些實驗發(fā)現(xiàn)的比例,根據(jù)馬克羅比烏的證據(jù),他用在了天體上,從而通過用這些重量同行星的重量相比較,用這些琴弦的長度同行星的距離相比較,他以天體和諧的方法理解了朝向太陽的行星的重量同它們與太陽的距離的平方是相反的.

但是,哲學(xué)家們這樣喜歡緩和他們神秘的論述以至在粗俗的人面前他們?yōu)榱顺靶Χ薮赖靥岢龃炙椎膯栴},并把真理藏在這種論述底下,在這個意義上畢達哥拉斯給他的音樂音調(diào)從地球這兒開始編號,從這里和到月亮是一個音調(diào),從那里到水星是半個音調(diào),再從那里到行星的其余部分是其他音程.但他說,聲音是實體的運動和摩擦發(fā)出的,就好像當我們用鐵錘打鐵時發(fā)生的情況一樣,一個較大的天體發(fā)出一個較沉重的聲音.好像正是從這里誕生了托勒密的天體規(guī)律,與此同時,在這種寓言之下隱藏了畢達哥拉斯自己的體系和天體的真正的和諧.

從上面可以看出,牛頓似乎要為自己的理論找一個古典的理由,但畢達哥拉斯從未做過這種事.這個在用來拉長琴弦和這樣產(chǎn)生的音調(diào)中存在一個平方反比關(guān)系的突破直到16世紀才由文森佐·伽利略取得.牛頓也許希望通過注釋,借助畢達哥拉斯的語言,展示自己的思想歷程.

毫無疑問牛頓當時已經(jīng)意識到了正統(tǒng)的畢達哥拉斯學(xué)派的音樂理論.據(jù)說,在他23歲時,他寫了一篇關(guān)于音樂理論的論文,但從來沒有發(fā)表,只在劍橋他的朋友中流傳.在同一時期,牛頓還在音樂理論中進行了一系列非常有趣的革新.他是第一個在音樂的思考中使用對數(shù)的人.牛頓曾用對數(shù)表列出了18個各不相同的音階,包括了希臘和中國的例子.他還斷言在白色光的頻譜的七個組成顏色和正確的音階的聲調(diào)之間有一個類似的關(guān)系,盡管他在這一點上的理論化并未獲得成功.

5 對數(shù)字“7”的鐘愛

在牛頓的時代,人們只知道太陽有6顆行星,加上太陽才構(gòu)成了數(shù)字“7”.從上面的注釋中,我們可以看出,牛頓曾借助與音樂的類比來研究天體的運動規(guī)律.

牛頓對數(shù)字7有特殊的鐘愛,不僅在天體運動上他特別看重7,即使在光學(xué)色散的研究中,他對7也情有獨鐘.當牛頓用三棱鏡把白光(陽光)色散開來,形成奇妙、美麗的紅、橙、黃、綠、青、藍、紫的色帶,這使他得出了驚人的假設(shè):白光由7種顏色的基色光合成.牛頓的這一觀點曾經(jīng)受到嚴重的質(zhì)疑,但他通過兩個三棱鏡的實驗,最終證實自己的顏色理論是正確的.

但是,牛頓當時做色散實驗時,由于棱鏡質(zhì)量和種種原因,他實際上并不能清晰明確地確定有7種顏色.在l669年他在第一次講座和文章中談到色散的顏色時,他只描述了5種顏色:紅、黃、綠、藍和紫.橙與青是后來加上去的,目的是使顏色的總數(shù)達到7種.原來,牛頓認為光和聲音應(yīng)該有相似的地方,基色的數(shù)目和全音階的7個音樂調(diào)相對應(yīng).于是他在5基色中大膽加上2色成為7色.這再一次顯示牛頓是地道的畢達哥拉斯的信徒,他不僅利用音樂美感研究天體的運動,而且利用音樂美感來引導(dǎo)他的光學(xué)研究.

6 人類思想中影響最深遠的一個歸納

關(guān)于萬有引力定律的研究,牛頓在劍橋三一學(xué)院的學(xué)生時就開始了.那時,牛頓常常在筆記本上匆匆記下自己對引力的各種評論.在有些評論中,牛頓把重力看成類似于原動力的能力.這種能力深居于物體內(nèi)部,使物體發(fā)生運動.在其他一些處理天體運動的評論中,牛頓融入了笛卡兒的解釋:重力來自渦旋產(chǎn)生的粒子所造成的壓力.在很長一段時間里,牛頓都接受離心力的思想——一個物體被另一個物體推開,就像拴在繩子上擺動的石頭會受到繩子的拉力一樣.

此后的1680年,因為兩個重要事件,牛頓的引力思想發(fā)生了深刻的變化.這兩個事件一個是哲學(xué)的,另一個是數(shù)學(xué)的.哲學(xué)思想從“認為力的原動力是使物體發(fā)生運動的內(nèi)部推動力”,轉(zhuǎn)變?yōu)椤斑\動是因受到外部物體施加的力而產(chǎn)生的”這樣一種觀點.與此同時,人們開始逐漸認識到重量和質(zhì)量之間存在著差異,在牛頓之前,波義耳、伽利略和開普勒已經(jīng)在不同程度上認識到了這一點.人們之所以會認識到這種不同,是因為力是隨著距離而變化的.重力隨著與地表距離大小的不同而發(fā)生變化,在不同的緯度上,物體的重量不同.然而,質(zhì)量作為物體運動的關(guān)鍵元素,卻是不變的.

另一個對牛頓思想產(chǎn)生深刻影響的重要事件是牛頓與他的對手胡克的通信.兩人的通信始于1679年.

牛頓討厭胡克.1673年,胡克告訴皇家學(xué)會的同事,說牛頓最近關(guān)于光的開創(chuàng)性工作是錯誤的.胡克雖然言不符實,態(tài)度卻很傲慢.這令牛頓頗為惱火,威脅說自己要徹底放棄科學(xué)研究.1679年秋天,胡克開始與牛頓通信,持續(xù)了兩個月的時間.不過兩人的通信也是同樣的不妙.牛頓在第一封回信中犯了一個本不該犯的錯誤.于是胡克借題發(fā)揮,到處散播說牛頓誤導(dǎo)了皇家學(xué)會的同事們.但是真正對牛頓構(gòu)成挑戰(zhàn)的卻是胡克對平方反比定律和行星運動的質(zhì)疑.胡克說行星沿著圓形軌道運行,并不是因為作用在行星上的離心力和向心力的共同作用,而是在于向心力和物體自身慣性的共同作用.這激發(fā)了牛頓的極大興趣.

這種說法卻使“牛頓走上了正軌”,盡管牛頓幾乎傾其余生來否定胡克的貢獻.17世紀80年代早期,牛頓還沒有提出萬有引力定律.這一方面是因為他仍舊將彗星視為太陽系外的外來天體.不過他采用胡克的分析方法,將圓周運動分解為直線離心力和直線慣性效應(yīng),大獲成功.從此,人們可以將所有物體(落體、行星)都理解為受到向心力的控制.牛頓還采用了胡克的方法和平方反比定律建立了開普勒各運動定律之間的基本聯(lián)系.天體受另一天體的引力大小與兩者的距離的平方成反比.天體沿著橢圓形軌道運行,中心天體則位于橢圓的一個焦點上,且中心天體與運行天體之間的連線在相同的時間內(nèi)掃過相同的面積.

1684年8月,哈雷路過劍橋并拜訪了牛頓.兩個人呆了一會之后,哈雷博士問牛頓,如果太陽對行星的引力與行星離太陽距離的平方成反比,那么行星運動的曲線應(yīng)該是怎樣的？牛頓立即回答說曲線的形狀應(yīng)該是橢圓形.哈雷博士又驚又喜,問他何以知道事實如此.牛頓說:“為什么不是呢？我已經(jīng)算過了.”于是哈雷博士要牛頓馬上拿出結(jié)果給他看.牛頓在一堆論文中找了半天,沒有找到.不過他答應(yīng)重寫一份,然后送給哈雷博士.

這究竟是牛頓的妄想,還是秘密,亦或是他真的忘了計算結(jié)果放在哪里了？我們無從得知.不論牛頓到底是因為什么原因沒能找到結(jié)果,從此他開始為哈雷重新計算.他于12月初整理出第一稿.稿子共9頁,題目是《論運動》(De Motu).牛頓在文中將太陽視為固定不變的.雖然太陽受到太陽系中所有其他物體的吸引,但卻不受繞其旋轉(zhuǎn)的行星的影響.這項工作將牛頓引領(lǐng)到了萬有引力的門口,不過還缺少一個重要思想.根據(jù)牛頓第三運動定律——“有作用力就有反作用力,二者大小相等,方向相反”,如果太陽對行星有引力,那么行星對太陽也有引力.這樣行星就會影響太陽的運動.這一點似乎是牛頓在完成了《論運動》的第一稿時才注意到的.

于是,牛頓開始對工作進行修正.這項工作于1684年12月底完成.修改稿首次對萬有引力定律(所有物體對其他物體都有引力)這一重要思想進行了表述.表述采用了“所有這些行星彼此之間的相互作用”這一說法.如果某顆行星圍繞太陽轉(zhuǎn)動,那么兩者將圍繞一個公共的中心轉(zhuǎn)動.但是太陽系中行星為數(shù)眾多,每顆行星對太陽都有引力,且行星相互之間也存在引力.因此,行星運行的軌跡并不是完美的橢圓,兩次運行的軌跡也不盡相同.牛頓曾這樣寫道:“的確,計算所有引力的最終結(jié)果太過復(fù)雜,超出了整個人類智力的能力范圍.除非我錯了.”

牛頓不僅對太陽系有了更深刻的理解,而且也改變了科學(xué)程序.他把伽利略無限大平面上的無阻力理想實驗推廣到整個世界中.質(zhì)量位于平面上,受力的作用而發(fā)生運動.科學(xué)家在此世界中創(chuàng)建模型(如開普勒運動定律),并將這些模型與實際觀測結(jié)果相比較.但這些模型只是近似成立,尚需不斷進行修正.牛頓早期的工作受到開普勒定律的啟發(fā).他當時認為開普勒定律是準確無誤的.現(xiàn)在,牛頓通過這些模型指出開普勒定律是錯誤的,并預(yù)測出了定律與模型之間的偏差.

1684年12月,牛頓將《論運動》交給了哈雷.哈雷問牛頓能否發(fā)表,牛頓沒有同意.后來,牛頓又開始對《論運動》加以擴充,將新思想與其他思想(包括胡克在分析圓周運動時將其分為兩部分的做法)一并融入到太陽系的結(jié)構(gòu)中去.

1686年,經(jīng)過了18個月的工作,《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書成形.該書是科學(xué)史上最重要的一本著作.在第一冊的開頭,牛頓靈活運用了胡克將圓周運動分為離心力和慣性的做法,推導(dǎo)出了開普勒定律和其他定律.在第二冊的一部分中,牛頓表明笛卡兒的旋渦并不能解釋行星的運動,并給出了一個恰當?shù)慕忉?在第三冊中,牛頓從上述解釋出發(fā),提出了“世界體系”.牛頓還進行了“月球測試”,測定出了地表上的物體所受的引力,并表明引力的強度與地球?qū)υ虑蛞Φ膹姸却笮∠嗤?而且,引力的強度與太陽和行星、其他行星和衛(wèi)星之間的引力的強度也是相同的.牛頓在后續(xù)段落中明確提出了這些力.這些力都是同一種力,人們賦予它們一個共同的名字:引力.引力“普遍存在于所有物體之中”.兩個物體之間的引力大小與兩物體的質(zhì)量有關(guān),“與兩物體中心間的距離成反比”.人們現(xiàn)在把這一關(guān)系寫成的形式.

胡克自稱是發(fā)現(xiàn)引力定律的第一人.這么說也不是沒有道理的,但是我們也知道為什么牛頓(和眾多歷史學(xué)家)駁回了胡克的請求.牛頓受益于胡克的工作這一點是很明顯的.但是,牛頓說自己之所以看得更遠,是因為站在巨人的肩膀上的時候,卻也成了一個頗具諷刺意味的事實.牛頓暗示、諷刺胡克個子矮小,意即胡克所起到的推動作用更像是板凳,而不是高塔.胡克所提出的平方反比定律主要是針對一個物體的情形,或者至多是針對天體的情形.而牛頓卻明確提出平方反比定律是普遍適用的.胡克對牛頓所起到的最重要的推動作用是使他知道了如何分析曲線圓周運動.然而,牛頓為了證明自己才是真正的發(fā)現(xiàn)者,在追溯萬有引力發(fā)現(xiàn)過程的回憶錄和對話集中做了假(包括月球測試).這使萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)歸屬變得撲朔迷離.但是萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)者之所以是牛頓,而不是布里奧、胡克或者其他人,乃是由于是牛頓首次明確提出了:引力不僅僅存在于某些相互吸引的物體之間,或者某些物體與吸引這些物體的其他物體之間;也不僅僅存在于落體與吸引落體的物體之間,或者是天體之間;而是普遍存在于所有物體之間.