潘國(guó)榮，李懷鋒，王穗輝

（同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092）

在地鐵隧道盾構(gòu)引導(dǎo)測(cè)量中，通常是根據(jù)全站儀獲取盾構(gòu)上的特征點(diǎn)的坐標(biāo)來計(jì)算盾構(gòu)的姿態(tài)，及時(shí)獲取盾構(gòu)機(jī)的姿態(tài)對(duì)于指導(dǎo)施工非常重要.文獻(xiàn)［1］中介紹了目前我國(guó)應(yīng)用廣泛的前后標(biāo)尺人工測(cè)量法.前后標(biāo)尺法根據(jù)相似三角形原理，通過前尺、后尺坐標(biāo)推求盾首、盾尾的平面坐標(biāo)；但在曲線段，由于設(shè)計(jì)軸線與相似三角形輔助線不重合從而會(huì)產(chǎn)生一定的計(jì)算誤差.文獻(xiàn)［2-3］通過解方程組求解盾首、盾尾的三維坐標(biāo)，其實(shí)質(zhì)為點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與平面間的距離公式.該解法數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單，但只能從多個(gè)固定參考點(diǎn)中選取3個(gè)，沒有多余觀測(cè)，不能作有效的檢核.文獻(xiàn)［4-5］采用的是通過測(cè)量盾構(gòu)機(jī)上至少3個(gè)固定坐標(biāo)點(diǎn)，然后進(jìn)行三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，求出盾構(gòu)機(jī)軸線局部坐標(biāo)系與實(shí)際三維空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換參數(shù)，再利用轉(zhuǎn)換參數(shù)求出盾首中心和盾尾中心點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)，來計(jì)算盾構(gòu)機(jī)的姿態(tài)偏差.該方法需要在盾構(gòu)機(jī)上設(shè)定3個(gè)固定參考點(diǎn)，并且每次測(cè)量過程中必須全部測(cè)出3個(gè)固定參考點(diǎn).由于地下施工條件比較惡劣，空間狹小，通常情況全站儀只能測(cè)到3個(gè)固定參考點(diǎn)中的2個(gè)，難以同時(shí)測(cè)到分布在盾構(gòu)機(jī)上的3個(gè)固定參考點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣就使得以上方法難以適應(yīng)地下隧道的各種工況，因而就需要尋求采用其他手段獲得數(shù)據(jù)來補(bǔ)充或彌補(bǔ)由于坐標(biāo)點(diǎn)不夠而難以確定盾構(gòu)姿態(tài)的方法.

本文研究利用自動(dòng)全站儀測(cè)定2個(gè)或以上控制點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)與從固定在盾構(gòu)機(jī)上的雙軸電子傾斜儀讀取的俯仰角和扭轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)進(jìn)行聯(lián)合數(shù)據(jù)處理的方法，來解決自動(dòng)確定盾構(gòu)姿態(tài)的問題.采用未簡(jiǎn)化的7參數(shù)模型并將雙軸電子傾斜儀的數(shù)據(jù)作為限制條件，按照最小二乘準(zhǔn)則求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，確保了解算參數(shù)的準(zhǔn)確.該模型已完成上海地鐵12號(hào)線申江路至金海路、申江路至金京路區(qū)間隧道及杭州地鐵1號(hào)線喬司北至臨平高鐵區(qū)間隧道的施工自動(dòng)引導(dǎo).實(shí)踐證明，本文提出的基于全站儀和傾斜儀的盾構(gòu)姿態(tài)自動(dòng)測(cè)量及多源數(shù)據(jù)聯(lián)合處理方法是可靠的.

1 關(guān)于三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型

地鐵施工中為了及時(shí)獲取盾構(gòu)機(jī)的姿態(tài)信息，需在盾構(gòu)機(jī)上布設(shè)3個(gè)控制點(diǎn)，并事先測(cè)定這3個(gè)控制點(diǎn)與盾首、盾尾之間的相對(duì)關(guān)系，這種相對(duì)關(guān)系采用坐標(biāo)表示，即稱為標(biāo)定坐標(biāo).工程實(shí)際施工定位的坐標(biāo)系簡(jiǎn)稱工程坐標(biāo)系.通過控制點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)系和工程坐標(biāo)系下的坐標(biāo)以及雙軸電子傾斜儀讀取的俯仰角和扭轉(zhuǎn)角建立三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的關(guān)系.這里所定義的俯仰角是指盾首、盾尾連線相對(duì)于水平視線的上仰角或下俯角，扭轉(zhuǎn)角是指盾構(gòu)機(jī)繞盾首、盾尾連線的滾動(dòng)角，這兩個(gè)角度都是相對(duì)量，與坐標(biāo)系無關(guān).由于三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的布爾沙模型只適用于小角度的轉(zhuǎn)換，而本文需要任意角度的轉(zhuǎn)換，因此采用如下的未簡(jiǎn)化的7參數(shù)模型.

設(shè)點(diǎn)P在工程坐標(biāo)系O-XYZ中的坐標(biāo)為（X，Y，Z），在標(biāo)定坐標(biāo)系o-xyz中的坐標(biāo)為（x，y，z），兩個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系如圖1所示.兩個(gè)坐標(biāo)系間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式［6－8］為

圖1 兩個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系圖Fig.1 Sketch of two coordinate systems

由于隧道地下觀測(cè)條件穩(wěn)定，一般情況下不考慮尺度的變形，故可認(rèn)為k為1不變，此時(shí)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型就為6參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.為6個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)進(jìn)行初始賦值，利用泰勒公式線性化后，該點(diǎn)的誤差方程為

列出N個(gè)控制點(diǎn)的誤差方程后，組成誤差方程式如下，其權(quán)為W1.

2 關(guān)于俯仰角和扭轉(zhuǎn)角的數(shù)學(xué)模型

若此時(shí)盾構(gòu)機(jī)俯仰角為θ1，盾首中心與盾尾中心的恒定距離s1不隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而變化，推出誤差函數(shù)式為

圖2 扭轉(zhuǎn)角示意圖Fig.2 Sketch of scroll hint

結(jié)合式（5）和式（6），將其線性化，得出下面的誤差函數(shù)式，其權(quán)為W2.

3 定權(quán)與聯(lián)合平差

因?yàn)殡p軸電子傾斜儀讀出來的俯仰角與扭轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)也有一定的精度，并不能將其簡(jiǎn)單地作為限制條件，需根據(jù)全站儀測(cè)點(diǎn)精度與雙軸電子傾斜儀標(biāo)定精度來定權(quán)陣.設(shè)單位權(quán)中誤差為δ0，各坐標(biāo)分量誤差分別為δx，δy，δz，則各坐標(biāo)分量作為觀測(cè)值的權(quán)分別為.俯仰角與扭轉(zhuǎn)角觀測(cè)值的權(quán)為：

將誤差方程聯(lián)立，利用間接平差模型，采用聯(lián)合平差，得改正數(shù)的最小二乘解為

求出6個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的改正數(shù)，根據(jù)改正數(shù)大小判斷其是否收斂，若不收斂則進(jìn)行迭代計(jì)算直至收斂，最后確定該6個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù).

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的精度對(duì)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換結(jié)果的精度起決定性影響，本文采用的計(jì)算公式為

式中：Δxi，Δyi，Δzi為實(shí)際三維坐標(biāo)系的公共點(diǎn)實(shí)測(cè)坐標(biāo)與求得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)后轉(zhuǎn)換的公共點(diǎn)在實(shí)際三維坐標(biāo)系的坐標(biāo)之間的差值；N為公共點(diǎn)的點(diǎn)數(shù).σm的值越大，轉(zhuǎn)換模型的精度越低；反之，轉(zhuǎn)換模型的精度越高.

4 工程算例

以上海地鐵12號(hào)線申江路至金海路上行線工程區(qū)間的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例，始發(fā)井盾構(gòu)拼裝完畢后，在盾構(gòu)機(jī)上適當(dāng)位置焊接P1，P2，P33個(gè)棱鏡，并測(cè)量3個(gè)棱鏡及盾首、盾尾中心共5個(gè)點(diǎn)在標(biāo)定坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)（表1）.盾構(gòu)機(jī)推進(jìn)后，使用全站儀實(shí)時(shí)測(cè)出3個(gè)棱鏡在工程坐標(biāo)系的坐標(biāo)，同時(shí)從雙軸電子傾斜儀讀取角度數(shù)據(jù)，實(shí)時(shí)測(cè)定盾構(gòu)首、尾中心三維坐標(biāo)并計(jì)算盾構(gòu)姿態(tài)偏差.下面采用3個(gè)棱鏡在不同里程位置下的兩組坐標(biāo)（表2）分析盾構(gòu)姿態(tài)定位情況.

表1 3個(gè)棱鏡與盾構(gòu)首、尾中心初始標(biāo)定數(shù)據(jù)Tab.1 Initial calibration coordinates of three prisms and shield head and tail

表2 3個(gè)棱鏡在工程坐標(biāo)系下的兩組坐標(biāo)Tab.2 Two groups of 3Dcoordinates of prism in engineering coordinate systems

采用VC＋＋編寫程序，將表2中的數(shù)據(jù)采用5種不同組合，即：3個(gè)棱鏡情形、3個(gè)棱鏡結(jié)合角度情形、兩棱鏡P1，P2結(jié)合角度情形、2個(gè)棱鏡P2，P3結(jié)合角度情形、2個(gè)棱鏡P1，P3結(jié)合角度情形來分別確定盾構(gòu)首尾的坐標(biāo)；將5種情形分別代入程序進(jìn)行計(jì)算，并將結(jié)果列入表中作比較.后3種組合為2個(gè)棱鏡結(jié)合雙軸電子傾斜儀數(shù)據(jù)模式，進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，得出工程坐標(biāo)系下的盾構(gòu)首尾中心坐標(biāo)，具體數(shù)據(jù)見表3與表4.

表3 5種組合計(jì)算得出的盾首中心與盾尾中心坐標(biāo)（第一組）Tab.3 Coordinates of head and tail by five combinations（first group）

表4 5種組合計(jì)算得出的盾首中心與盾尾中心坐標(biāo)（第二組）Tab.4 Coordinates of head and tail by five combinations（second group）

5 結(jié)論

根據(jù)文章所述的方法，筆者采用VC＋＋語言實(shí)現(xiàn)了算法程序與系統(tǒng)研制.經(jīng)過在上海地鐵12號(hào)線及杭州1號(hào)線地鐵工程的實(shí)際應(yīng)用，得出如下結(jié)論：

（1）根據(jù)表2兩組觀測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算表明，由5種組合計(jì)算出來的盾構(gòu)首、尾中心坐標(biāo)數(shù)據(jù)相差不大，偏差都在毫米級(jí)，5種結(jié)果數(shù)據(jù)中相差最大的一個(gè)點(diǎn)位偏差為10mm，該精度足以滿足盾構(gòu)姿態(tài)的測(cè)量精度要求.

（2）使用3個(gè)棱鏡坐標(biāo)數(shù)據(jù)結(jié)合俯仰角和扭轉(zhuǎn)角計(jì)算的盾構(gòu)首、尾中心的點(diǎn)位中誤差最小；2個(gè)棱鏡坐標(biāo)數(shù)據(jù)結(jié)合俯仰角和扭轉(zhuǎn)角計(jì)算過程的點(diǎn)位中誤差最大，但是由于相對(duì)誤差相差不超過1cm，故認(rèn)為精度相當(dāng).

（3）本文方法可以在全站儀最不利（即只測(cè)到2個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)）的情況下，通過利用雙軸電子傾斜儀數(shù)據(jù)聯(lián)合處理確定盾構(gòu)的姿態(tài)；在全站儀測(cè)到3個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的情況下，通過雙軸傾斜儀的數(shù)據(jù)聯(lián)合處理，可以提高盾構(gòu)姿態(tài)的解算精度.

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