徐 娟，吳雨潤，呂彬彬，周 靜

（同濟大學 電子與信息工程學院，上海 201804）

超寬帶無線電是近年來發(fā)展迅猛的一種新型無線傳輸技術，它是基于沖激脈沖（皮秒級窄脈沖）自身的寬頻譜特性，通過對具有特殊波形的沖激脈沖進行調制獲得載有信息且符合頻帶要求的無線電信號，即所謂脈沖無線電超寬帶（impulse radio ultrawide band，IR-UWB）［1］.使 用 跳 時 （time hopping，TH）碼為每個發(fā)射脈沖引入一個可變時延，從而可以降低多用戶干擾.

超寬帶技術具有廣闊的應用前景，可用于無線個域網、無線通用串行總線（universal serial bus，USB）等短距離高速數(shù)據傳輸及無線傳感網和精確定位、智能交通系統(tǒng)等中長距離中低速數(shù)據傳輸?shù)?尤其是跳時IR-UWB具有諸如寬頻譜、低功耗、低成本和低系統(tǒng)復雜性、可與現(xiàn)存的窄帶和寬帶無線通信網絡共存、類似噪聲的信號、精確的定位能力和強抗多徑衰落能力等獨有的特性［2］，因此跳時IRUWB是無線傳感網物理層的首選方案.

跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)中由于存在多用戶干擾，因此對多用戶系統(tǒng)差錯概率的研究非常復雜.文獻［3-4］已經研究了加性高斯白噪聲（additive white gaussian noise，AWGN）信道下的IR-UWB多用戶系統(tǒng)的性能.但是由于超寬帶信號的帶寬很寬，因此如果多用戶干擾相對于輸出噪聲可以忽略不計，則多用戶系統(tǒng)差錯概率就簡化為單用戶系統(tǒng)的差錯概率，使計算變得簡易.因此從理論上研究當多用戶干擾相對于輸出噪聲能以高概率忽略不計時的大規(guī)模跳時IR-UWB網絡所需的IR-UWB信號漸近帶寬是非常有意義的.

在理論研究或仿真中，大規(guī)模網絡的用戶節(jié)點通常假設為隨機分布，服從均勻分布或Poisson分布.文獻［5］研究了用戶節(jié)點服從Poisson分布時的IR-UWB信號漸近帶寬.本文則將研究AWGN信道下用戶節(jié)點服從均勻分布的IR-UWB信號漸近帶寬.

式中：σmui和σn分別表示多用戶干擾和噪聲的方差；n表示網絡內的用戶數(shù).

目前針對大規(guī)模無線網絡的研究是學術界的一大熱點［5－6］.通常有兩種方法使大規(guī)模模網絡內的用戶節(jié)點數(shù)趨于無窮.一種方法是保持網絡部署的區(qū)域為常數(shù)，而使用戶密度ρ趨于無窮，這種網絡稱之為密集網絡.另一種方法是保持用戶密度ρ為常數(shù)，而使網絡部署的區(qū)域趨于無窮，這種網絡稱之為擴展網絡.本文將分別從理論上研究當多用戶干擾相對于輸出噪聲能以高概率忽略不計時，用戶服從均勻分布時的密集網絡和擴展網絡所需的IR-UWB信號漸近帶寬.

關于無線網絡的研究目前絕大多數(shù)集中在基于地面模型的二維空間，但是當網絡部署在海洋或大氣中時二維空間模型不再適用，需采用三維空間模型.三維無線網絡具有廣泛的應用，如視頻監(jiān)控、海洋采樣和環(huán)境監(jiān)控等，因此三維空間的無線網絡近來也獲得了關注［7－9］.本文將先研究大規(guī)模三維異步IR-UWB多用戶系統(tǒng)的IR-UWB信號漸近帶寬，然后再給出大規(guī)模二維異步IR-UWB多用戶系統(tǒng)的IR-UWB信號漸近帶寬.

跳時IR-UWB傳感網已成為目前研究熱點之一［9－10］，由于無線傳感網的特點之一是節(jié)點數(shù)量眾多，因此文中得到的結論有利于大規(guī)模跳時IRUWB傳器網的性能，如生命周期、容量等，以及大規(guī)模跳時IR-UWB傳器網的跨層協(xié)議設計的研究.

所謂“多用戶干擾（MUI）相對于輸出噪聲以高概率忽略不計”，用數(shù)學公式可表示為

1 跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)性能分析

考慮由n個用戶節(jié)點組成的基于脈沖極性隨機化的跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)，采用BPSK（binary phase shift key）調制，AWGN信道，噪聲的功率譜密度為η.假設路徑損耗大小與收發(fā)信機之間距離的α次方成正比，其中α為路徑損耗指數(shù)，α＞3.因為如果α≤3，且用戶節(jié)點在空間均勻分布，則當網絡內的用戶節(jié)點數(shù)增加時多用戶干擾將趨于無限大.

由文獻［11］可知，相關接收機的輸出包括對發(fā)射用戶Xi的有用信號，多用戶干擾和輸出噪聲.其中接收機輸出的多用戶干擾的表達式為

式中：是用戶Xk發(fā)射的脈沖到達其接收用戶處的接收脈沖能量；M（k）表明干擾用戶Xk對有用信號的干擾.

在系統(tǒng)中所有用戶完全同步情況下，若所有用戶分配到的跳時序列全部正交，則＝0.但在一般情況下，通常需要考慮異步情形，此時多用戶干擾將降低系統(tǒng)性能.為了便于分析，假定異步UWB多用戶通信系統(tǒng)為碼片同步系統(tǒng)，此時不同用戶的符號是不重合的，但是不重合的距離是碼片間隔Tc的整數(shù)倍.

由文獻［11］引理3.1可知，當→∞，多用戶干擾的方差為

式中：為用戶Xi的每比特發(fā)射的脈沖個數(shù)；Nc為每幀包含的碼片數(shù).

接收機輸出噪聲的方差為

式中：η已考慮了天線增益和線路損耗等.

接收到的有用信號能量Eb為

當IR-UWB信號的帶寬足夠大以致能滿足多用戶干擾相對于輸出噪聲可以忽略不計時，則接收用戶對于發(fā)射用戶Xi的差錯概率為

由式（3）可知，為了得到多用戶干擾的大小，需要先研究均勻分布網絡中用戶節(jié)點的空間布置及網絡中任意兩個用戶之間的距離.

2 三維空間棋盤形布置

對于三維密集網絡，n個用戶獨立同分布且均勻地位于一個體積為V的立方體D中，其中V是一個與n無關的常數(shù)；對于三維擴展網絡，n個用戶獨立同分布且均勻地位于體積為V＝λn的立方體D中，其中λ是一個與n無關的常數(shù).

為了便于分析，引入一個關于立方體D的空間棋盤形布置T.空間棋盤形布置T由許多邊長為l的小立方體d組成.每一個小立方體d為一個單元，稱包含立方體D中心的單元稱為中央單元.

如果兩個單元之間共享一條邊或一個頂點，則稱這兩個單元是鄰接的.定義與中央單元相鄰接的單元集合為立方環(huán)（annulus）A1，使用Ai（i＞1）表示圍繞Ai－1的單元集合.顯然立方環(huán)具有下述性質：

（1）在立方環(huán)Ak中單元數(shù)Zk為

（2）完全覆蓋立方體D所需的環(huán)數(shù)τ必須滿足

引理1 如果體積為V（與n無關的常數(shù)）的立方體D采用立方體棋盤格子T來覆蓋，且每個小立方體單元d的體積為v（n）＝γ1Vlogn／n，則每個單元的用戶節(jié)點數(shù)N（d）以高概率（即概率趨于1）滿足N（d）≥1，且N（d）＝Θ（γ1logn），其中γ1是一個與n無關的常數(shù).

證明 由于用戶節(jié)點是獨立同分布且均勻位于體積為V的立方體D中，因此對于一個特定的用戶節(jié)點Xi，1≤i≤n落入一個特定單元的概率為

由此得到某個特定單元不含用戶的概率是（1－p（n））n.

式中：y表示單元；N（y）表示在單元y中的用戶數(shù).因此

即，當n→∞和γ1＞1時，每個單元至少包含一個用戶節(jié)點的概率趨于1.

根據式（9），可知一個單元內的平均用戶數(shù)為u＝γ1logn.應用Chernoff界［12］，對單元y包含的用戶數(shù)有

應用聯(lián)合界有

因此當γ1＞8時，每個單元包含的用戶數(shù)為Θ（γ1logn）的概率趨于1.

引理2 如果體積為V＝λn的立方體D采用立方體棋盤格子T來覆蓋，且每個小立方體單元d的體積為v（n）＝γ2log（λn），則每個單元所包含的用戶節(jié)點數(shù)N（d）以高概率滿足N（d）≥1，且N（d）＝Θ（γ2logn），其中γ2是一個與n無關的常數(shù).

證明過程類似于引理1，故證明略.

3 三維空間的任意兩個用戶之間的最小歐幾里德距離

考慮到干擾大小與干擾用戶和被干擾用戶之間的距離有關，為了得到總的多用戶干擾的大小，還需要研究均勻分布網絡中任意兩個用戶之間的距離.

引理3 假設n個用戶均勻且獨立地分布在體積為V的立方體中，且V為常數(shù)，則對于任意與n無關的常數(shù)δ＞0，任意兩個用戶之間的最小歐幾里德距離dmin滿足

式中：δ＞0是一個與n無關的常數(shù)，Xi，Xj∈｛X1，X2，…，Xn｝且i≠j.

證明 設一個特定的用戶X0與系統(tǒng)中的其他n－1個用戶之間的最小歐幾里德距離dmin大于等于為一事件，這事件等價于以用戶X0為球心，半徑為的球內沒有其他用戶.因此該事件發(fā)生的概率為.易知，以用戶X0為球心，半徑為的 球 內 有 其 他 用 戶 的 概 率 為

因此，當n→∞且δ＞0時，密集網絡內任意兩個用戶之間的最小歐幾里德距離大于等于的概率趨于1.

引理4 假設n個用戶均勻且獨立地分布在體積為V的立方體中，且V＝λn，λ為常數(shù).則對于任意與n無關的常數(shù)δ＞0，任意兩個用戶之間的最小歐幾里德距離dmin滿足

式中：Xi，Xj∈｛X1，X2，…，Xn｝，且i≠j.

證明 類似于引理3的證明.

4 三維異步跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)的UWB信號漸近帶寬

定理1 對于密集三維異步跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)，n個用戶節(jié)點在體積為V的立方體內服從均勻分布，當IR-UWB信號的漸近帶寬為W（n）＝Ω（n2α（1＋δ）／3－1logn）時，則多用戶干擾相對于輸出噪聲就能以高概率忽略不計，其中α＞3，n→∞.

證明 由引理1可知，當單元體積為v（n）＝γ1Vlogn／n時，則每個單元內的用戶數(shù)以高概率滿足N（d）＝Θ（γ1logn）.不失一般性，假設用戶Xe在接收用戶Xi發(fā)送的有用信號，并設用戶Xe所在的單元為d0，則由式（3）可知，來自于單元d0及與d0鄰接正方環(huán)單元內的多用戶干擾的方差為

式中：常數(shù)27是源于與單元d0的鄰接單元數(shù)為26得到的，t1是一個與n無關的常數(shù).

由于

在不考慮天線響應的頻率相關性時，接收功率可以表示為

式中：Pt是用戶的發(fā)射功率；d為收發(fā)用戶之間歐幾里德的距離；α為路徑損耗指數(shù).

式中：t2是一個與n無關的常數(shù).

因此，用戶Xi收到總的多用戶干擾為

式中：t5是一個與n無關的常數(shù).

考慮到在多用戶系統(tǒng)中，每個用戶都能有特定的TH碼與之對應，因此每幀中包含的碼片數(shù)至少為系統(tǒng)中的用戶數(shù)，即有Nc≥n.

又由于碼片時間寬度的倒數(shù)為IR-UWB信號的帶寬，因此當式（23）遠遠小于式（4）時，即IR-UWB信號的漸近帶寬滿足W（n）＝Ω（n2α（1＋δ）／3－1logn）時，則多用戶干擾相對于輸出噪聲就能以高概率忽略不計，其中α＞3，n→∞.

定理2 對于擴展三維異步跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)，當IR-UWB信號的漸近帶寬為W（n）＝Ω（nα（1＋2δ）／3－1logn）時，則多用戶干擾相對于輸出噪聲就能以高概率忽略不計，其中α＞3，n→∞.

證明 類似于定理1，不同的是此處證明需要使用引理2和引理4.

5 二維異步跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)的UWB信號漸近帶寬

根據三維多用戶系統(tǒng)IR-UWB信號的漸近帶寬的研究思路和理論推導過程也可以得到大規(guī)模二維異步IR-UWB多用戶系統(tǒng)的IR-UWB信號的漸近帶寬.下面直接以定理形式給出.

定理3 對于密集二維異步跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)，n個用戶節(jié)點在面積為S的正方形內服從均勻分布，當IR-UWB信號的漸近帶寬為W（n）＝Ω（nα（1＋δ）－1logn）時，則多用戶干擾相對于輸出噪聲就能以高概率忽略不計，其中α＞2，n→∞.

定理4 對于擴展二維異步跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)，n個用戶節(jié)點在面積為λn的正方形內服從均勻分布，當IR-UWB信號的漸近帶寬為W（n）＝Ω（nα（1＋2δ）／2－1logn）時，則多用戶干擾相對于輸出噪聲就能以高概率忽略不計，其中α＞2，n→∞.

6 結論

研究了在AWGN信道下用戶節(jié)點服從均勻分布的大規(guī)模異步跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)中，當多用戶干擾相對于輸出噪聲以高概率忽略不計時不同網絡類型所需的IR-UWB信號漸近帶寬.其中三維密集網絡所需的IR-UWB信號漸近帶寬為W（n）＝Ω（n2α（1＋δ）／3－1logn），三維擴展網絡所需的IR-UWB信號漸近帶寬為W（n）＝Ω（nα（1＋2δ）／3－1·logn），不同于n個用戶節(jié)點分布在二維空間時所需的IRUWB信號漸近帶寬.

文獻［5］則研究了在AWGN信道下用戶節(jié)點服從Poisson分布的大規(guī)模異步跳時IR-UWB多用戶系統(tǒng)中，當多用戶干擾相對于輸出噪聲以高概率忽略不計時不同網絡類型所需的IR-UWB信號漸近帶寬.通過比較可知，用戶節(jié)點服從均勻分布時所需的IR-UWB信號漸近帶寬與用戶節(jié)點服從Poisson時所需的IR-UWB信號漸近帶寬不同，因此IR-UWB信號的漸近帶寬與節(jié)點的分布行為有關.

本文只研究了AWGN信道下的IR-UWB信號漸近 帶寬，IEEE 802.15.4a和IEEE 802.15.3a UWB兩種信道下的IR-UWB信號漸近帶寬值得進一步研究.

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