張寶安，陸正剛，王恒亮

（同濟(jì)大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804）

在對鐵路車輛動力學(xué)性能進(jìn)行仿真時，常常假設(shè)輪對和鋼軌是剛體，然而這只適用于頻率小于20 Hz的情況.輪對的彈性變形會導(dǎo)致車輪踏面外形和鋼軌外形之間的相對運(yùn)動發(fā)生變化，對輪軌接觸幾何參數(shù)及接觸點(diǎn)位置產(chǎn)生一定的影響.盡管與整個輪對的運(yùn)動相比，這些變形是很小的，但是輪軌接觸對小的相對橫移或者轉(zhuǎn)動都是非常敏感的，具有很強(qiáng)的非線性特征.輪對的彈性變形不僅能夠影響車輛的橫向穩(wěn)定性，而且還會導(dǎo)致輪軌力的波動，產(chǎn)生輪軌的波磨和車輪的不圓度，導(dǎo)致在小半徑曲線上噪音的傳播［1］.

已有一些相關(guān)文獻(xiàn)研究了輪對的結(jié)構(gòu)動力學(xué)，文獻(xiàn)［1-3］在中高頻范圍內(nèi)研究了輪對的結(jié)構(gòu)柔性.目前主要有3種建模方法用于輪對結(jié)構(gòu)柔性的建模：集中質(zhì)量塊法［4］、連續(xù)法［5］和有限元法［6］.文獻(xiàn)［7-9］針對輪對彈性變形的動力學(xué)問題進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［10］在傳統(tǒng)跡線法的基礎(chǔ)上發(fā)展了一種考慮輪對彈性的輪軌接觸點(diǎn)計算方法，彈性輪對模型采用離散的有限元模型，由于該算法需要掃描大量節(jié)點(diǎn)，計算量較大，不適用于在線的動力學(xué)實時仿真.

本文以國內(nèi)某高速動車組驅(qū)動輪對為原型，把車軸考慮成連續(xù)均勻的鐵木辛科梁，把車輪、軸箱和制動盤看成剛體，建立了柔性輪對的簡化模型.假設(shè)輪對的一系懸掛處受到兩個垂向諧波力P作用，用格林函數(shù)求解輪對的運(yùn)動方程，得到車輪的傾斜角位移.建立了包含考慮輪對彎曲變形導(dǎo)致車輪傾斜的輪軌接觸幾何約束關(guān)系，用解析方法推導(dǎo)了輪軌接觸幾何約束方程組，通過對該約束方程組進(jìn)行求解，得到了輪軌接觸幾何參數(shù)和接觸點(diǎn)位置.并與相應(yīng)的剛性輪對輪軌接觸幾何參數(shù)進(jìn)行了對比，討論了輪對彎曲變形對輪軌接觸點(diǎn)位置及其接觸參數(shù)的影響.

1 柔性輪對建模及運(yùn)動方程求解

輪對模型包含兩個軸箱、兩個制動盤、兩個車輪和一個車軸，在柔性輪對模型中把車軸考慮成鐵木辛科梁，其余部件處理成剛體.每個部件只考慮兩個自由度，分別為垂向位移u（y，t）和角位移θ（y，t），在左、右輪軌接觸處施加角頻率為ω的簡諧力.圖1為柔性輪對的簡化模型，圖中m為軸的單位長度質(zhì)量，E為楊氏模量，I為截面慣性矩，μ為剪切模量，S為軸的橫截面積，κ為剪切系數(shù).

圖1 柔性輪對的簡化模型Fig.1 Simplified model of elastic wheelset

假設(shè)輪對運(yùn)動在平衡位置，不考慮輪對的陀螺效應(yīng)和動靜不平衡，則輪對的運(yùn)動方程如下［11］：

式中：

Ji（i＝1～6）分別表示第i個剛體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；q＝q（y，t）＝［u（y，t）θ（y，t）］T；qi＝q（si，t），si（i＝1～6）表示第i個剛體到車軸左端的距離；δ（·）是狄拉克函數(shù)；P＝［P0］T，P＝P0［δ（ys2）＋δ（y－s5）－δ（y－l1）＋δ（y－l2）］cosωt，P0為軸重，lj（j＝1～2）表示施加在車軸上的外力作用點(diǎn)到車軸左端的距離.

運(yùn)動方程的邊界條件為

鐵木辛科梁截面上的垂向位移u（y，t）和角位移θ（y，t）有如下形式：

將式（3）代入到式（1）中，有

式中：

格林函數(shù)Γ（y，η）的形式如下：

U（y）和Θ（y）同時還需要在車軸的兩端滿足式（2）的邊界條件.由此可以得到以下矩陣方程

用格林函數(shù)求解方程（4），得到方程（4）的解為

2 考慮輪對柔性的輪軌接觸幾何計算

輪對彎曲變形會使得車輪踏面外形和鋼軌外形之間的接觸點(diǎn)位置發(fā)生變化，從而使輪軌接觸點(diǎn)位置的接觸斑大小、等效錐度和接觸角參數(shù)等輪軌接觸參數(shù)也發(fā)生相應(yīng)的變化.通過對輪軌接觸點(diǎn)的坐標(biāo)描述，推導(dǎo)了考慮輪對彎曲變形情況下的約束方程組，通過對方程組進(jìn)行求解，得到了輪軌接觸幾何參數(shù)，并與剛性輪對的輪軌接觸幾何參數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)的對比分析，討論了輪對彎曲變形對接觸點(diǎn)位置和輪軌接觸參數(shù)的影響.

2.1 鋼軌上的輪軌接觸點(diǎn)坐標(biāo)描述

假設(shè)與輪對匹配的鋼軌是剛體，不發(fā)生任何的變形，在接觸點(diǎn)附近的鋼軌呈理想直線，且軌道截面外形、軌底坡和軌距在沿軌道X方向沒有變化.圖2是鋼軌上接觸點(diǎn)坐標(biāo)描述，其中OXYZ是全局絕對坐標(biāo)系，ORlXRlYRlZRl和ORrXRrYRrZRr分別為左、右側(cè)鋼軌坐標(biāo)系.SRix（i＝r，l）表示左、右軌上接觸點(diǎn)在全局坐標(biāo)系內(nèi)的縱向坐標(biāo)，SRiy（i＝r，l）表示左、右軌上接觸點(diǎn)在鋼軌坐標(biāo)系內(nèi)的橫向坐標(biāo).下面以右側(cè)鋼軌為例，推導(dǎo)右側(cè)鋼軌接觸點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)位置，左軌上的接觸點(diǎn)坐標(biāo)表示可以參考右軌的.

圖2 鋼軌上接觸點(diǎn)坐標(biāo)描述Fig.2 Coordinate description of contact point on rails

右側(cè)鋼軌坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系的變換矩陣TRr為［12］

式中：φ0為軌底坡度角.

右軌上的接觸點(diǎn)在全局坐標(biāo)系內(nèi)的位置坐標(biāo)描述為

右側(cè)鋼軌在接觸點(diǎn)CRr處沿ORrXRr方向的切向量tRrx和ORrYRrZRr平面內(nèi)的切向量tRry在全局坐標(biāo)系OXYZ下的表達(dá)式分別為

式中：z′Rr（SRry）為右軌外形擬合函數(shù)zRr（·）的一階導(dǎo)數(shù)在SRry的值.則右側(cè)鋼軌上接觸點(diǎn)處的法向量為

2.2 車輪上的輪軌接觸點(diǎn)坐標(biāo)描述

假設(shè)OwXwYwZw為剛性輪對質(zhì)心坐標(biāo)系，O′wX′wY′wZ′w為 柔 性 輪 對 質(zhì) 心 浮 動 坐 標(biāo) 系，OWrXWrYWrZWr為右車輪輪心坐標(biāo)系，OWrwXWrwYWrwZWrw為右車輪踏面局部坐標(biāo)系.CWr為右車輪踏面上的接觸點(diǎn)，其在OWrwXWrwYWrwZWrw坐標(biāo)系下的橫坐標(biāo)為SWry.車輪上輪軌接觸點(diǎn)的坐標(biāo)描述見圖3.

圖3 車輪上接觸點(diǎn)坐標(biāo)描述Fig.3 Coordinate description of contact point on wheels

考慮輪對小搖頭角位移的情形，輪對坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系的變換矩陣TW為

式中：φw為輪對的側(cè)滾角.

輪對中車軸的彎曲引起右車輪相對于鋼軌有一個繞X軸旋轉(zhuǎn)的傾斜角θWr，所以右車輪的踏面坐標(biāo)系相對于右輪坐標(biāo)系的變換矩陣TWEr為

以右輪為例，右踏面上接觸點(diǎn)CWr在全局坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)為

在接觸點(diǎn)CWr處沿方向的切向量tWrα和在OWrYWrZWr面內(nèi)的切向量tWry在OXYZ坐標(biāo)系下為

由車輪踏面和鋼軌形面上的接觸點(diǎn)具有相同的空間位置和接觸點(diǎn)處的法線重合得到下面的輪軌接觸幾何的約束方程組：

3 算例與討論

在數(shù)學(xué)軟件Maple里對上述柔性輪對運(yùn)動方程和考慮輪對柔性的輪軌接觸幾何參數(shù)進(jìn)行了編程計算，本文選取國內(nèi)某動車組的驅(qū)動輪對和CHN60鋼軌為研究對象.輪對踏面外形為LMA型面，輪對的主要參數(shù)如下：d＝0.2m，l＝2.2m，E＝210GPa，μ＝81GPa，ρ＝7 850kg·m－3，κ＝0.9，m1＝m6＝80 kg，m2＝m5＝334kg，m3＝m4＝70kg，J1＝J6＝1 kg·m2，J2＝J5＝23kg·m2，J3＝J4＝2kg·m2，s1＝0，s2＝0.35m，s3＝0.75m，s4＝1.45m，s5＝1.85m，s6＝2.20m，l1＝0.15m，l2＝2.05m，P0＝70kN，軌 底 坡 為 1／40.經(jīng) 計 算 得 到｜θWr｜＝0.001 5rad，分別計算了車輪外傾斜（θWr＞0）、內(nèi)傾斜（θWr＜0）和不傾斜（θWr＝0）3種情況下的輪軌接觸幾何參數(shù).圖4和圖5分別為滾動圓半徑之差變化圖和接觸角參數(shù)變化圖，從圖中可以看出，當(dāng)輪對橫移量在－5～5mm范圍時，3種情況下的滾動圓半徑之差和接觸角之差幾乎是重合的，若輪對橫移量超出這個范圍，則會出現(xiàn)明顯的差異.

圖4 滾動圓半徑之差變化圖Fig.4 The difference of rolling circle radius

由于在車輛實際運(yùn)行中，輪對所受到的一系懸掛力方向始終是指向大地的，也就是說車輪是始終向外傾斜的，所以在此不對車輪內(nèi)傾斜情況進(jìn)行分析.圖6為車輪外傾和不傾斜兩種情況下的等效錐度變化圖，由此可以看出，在相同的輪對橫移量下，柔性輪對的等效錐度比剛性輪對的小，其在直線、大半徑曲線的臨界速度比剛性輪對的高，在－5～5 mm內(nèi)兩者差值基本相等，另外，較低的等效錐度會產(chǎn)生較低的重力剛度，增加了輪對在直線、大半徑曲線軌道上對中的困難，甚至極有可能導(dǎo)致輪緣接觸；在－10～－5mm和5～10mm范圍內(nèi)，兩者相差明顯，并且低的等效錐度會導(dǎo)致柔性輪對曲線通過能力減弱.

圖7和圖8分別為右車輪和右鋼軌上的輪軌接觸點(diǎn)的橫向位置.通過對比結(jié)果可以分析得出，考慮輪對彎曲變形時，輪軌接觸點(diǎn)在右車輪外形上橫向位置整體地向右偏移了，而當(dāng)輪對向左平移0～10 mm時，剛性輪對和柔性輪對在右鋼軌上接觸點(diǎn)橫向位置幾乎重合，在向右平移0～10mm時，柔性輪對的輪軌接觸點(diǎn)在右鋼軌外形上的橫向位置相比剛性輪對的向右偏移了一定距離，并且當(dāng)車輪輪緣和鋼軌接觸時，柔性輪對和剛性輪對的輪軌接觸點(diǎn)在車輪和鋼軌上的橫向位置相差很大.

4 結(jié)論

（1）本文介紹了一種把車軸考慮成鐵木辛科梁的柔性輪對簡化模型，求出車輪的傾斜角位移，并建立了考慮傾斜角的輪軌接觸幾何約束關(guān)系，從而求得輪軌接觸參數(shù)，該方法適用于考慮輪對彈性變形的車輛動力學(xué)仿真，仿真結(jié)果顯示該方法可以更精確地計算接觸點(diǎn)的位置.

（2）相對于剛性輪對，柔性輪對的輪軌接觸點(diǎn)位置發(fā)生了一定偏移，并且當(dāng)車輪輪緣根部和鋼軌接觸時，柔性輪對和剛性輪對的輪軌接觸點(diǎn)在車輪和鋼軌上的橫向位置相差很大.當(dāng)輪對橫移量超過5 mm時，輪對的結(jié)構(gòu)柔性會對滾動圓半徑之差和接觸角之差變化產(chǎn)生很大的影響，此時如果仍然采用傳統(tǒng)的剛性輪對則計算的等效錐度會偏大.

（3）可以根據(jù)柔性輪對結(jié)構(gòu)振動引起的車輪傾斜角和輪對橫移量制定考慮輪對柔性的輪軌接觸幾何表，建立這兩個參數(shù)變量到Kalker線性蠕滑系數(shù)的二維映射關(guān)系，方便考慮輪對柔性的輪軌蠕滑力的計算，實現(xiàn)高效的在線車輛動力學(xué)計算.

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