摘要：隨著技術(shù)的發(fā)展，大變形有限元法在地基沉降分析中的應(yīng)用也越來越廣，幾何剛度效應(yīng)作為大變形有限元分析的基本概念。在本案，筆者簡要闡釋了大變形有限元法，并基于算例分析基礎(chǔ)上，探析了地基沉降的幾何剛度效應(yīng)。

關(guān)鍵字：地基沉降 大變形有限元法 幾何剛度效應(yīng)

地基作為建筑工程的保障性工程之一，其施工質(zhì)量將直接影響到上部建筑物的穩(wěn)定性及使用壽命等，但因眾多建筑工程地基為土性較差的軟土地基，且因此引發(fā)沉降大變形的安全事故時有發(fā)生。地基沉降大變形勢必會對建筑物造成直接性或間接性的影響，且修補工作難度系數(shù)相當(dāng)大。在對地基沉降大變形分析方面，因連續(xù)介質(zhì)大變形固結(jié)理論自身存在一定復(fù)雜性，則較具可行性的分析方法就屬以有限元法為主的數(shù)值方法。在本案，筆者將從各個角度對地基沉降大變形有限元分析的幾何剛度效應(yīng)進行闡釋。

一、大變形有限元方程與幾何剛度效應(yīng)

應(yīng)用較為普遍的大變形控制方程及大變形有限原方程均基于士力學(xué)符號推導(dǎo)所得，相對于其他大變形控制方程及大變形有限原方程，由士力學(xué)符號推導(dǎo)而來的方程式未簡化位移-應(yīng)變幾何關(guān)系，這一特征在幾何剛度效應(yīng)中發(fā)揮著不容忽視的作用。地基沉降大變形增量FEM函數(shù)式可表達為：

上述方程式中，——t時刻內(nèi)總應(yīng)力場等效節(jié)點力矢量；——有限元系統(tǒng)剛度矩陣； ——單元節(jié)點未知量矢量；——t+Δt時刻內(nèi)面力與體力載荷等效節(jié)點力矢量；其中，滿足函數(shù)式：（、）。

上述方程式中，——大變形應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣；——幾何剛度矩陣；——單元剛度矩陣；D——本構(gòu)矩陣； M——應(yīng)力矢量S相關(guān)分量建構(gòu)的應(yīng)力矩陣；G——形函數(shù)梯度矩陣。

由以上分析結(jié)果可得，若選用復(fù)雜性最低的線性次彈性本構(gòu)關(guān)系所得大變形FEM增量方程組式亦為非線性，造成以上結(jié)果的原因在于屬節(jié)點位移增量隱函數(shù)。對于某些忽略內(nèi)非線性項的做法，其造成的誤差也不小，則可以肯定的是將內(nèi)非線性項忽略等效于將大位移造成的結(jié)構(gòu)剛度變化忽略，且若將其應(yīng)用于地基大變形沉降問題分析上更是不可取。相對于此，本案中提及的大變形控制方程及大變形有限原方程的精確性明顯更高。

就力學(xué)意義而言，幾何剛度矩陣于大變形FEM方程組內(nèi)的作用體現(xiàn)為大變形條件下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度受應(yīng)力水平的影響程度，即幾何剛度效應(yīng)。為了使計算過程更加的簡化，筆者通過引入系數(shù)μ，并得到如下方程式：

若μ=1，則表示嚴(yán)格考慮幾何剛度效應(yīng)；若μ=0，則忽略幾何剛度效應(yīng)；若μ=-1，則幾何剛度矩陣取相反數(shù)。若大變形系統(tǒng)剛度函數(shù)表達式由士力學(xué)符號推導(dǎo)所得，之前存在一個“-”；而固體力學(xué)大變形系統(tǒng)剛度矩陣函數(shù)表達式內(nèi)，之前存在一個“+”。以上現(xiàn)象出現(xiàn)的原因為應(yīng)變度量及應(yīng)力符號約定間存在差異性。

二、算例分析

（一）荷載-變形曲線與幾何剛度效應(yīng)

下圖為壓力荷載作用下的荷載-沉降量關(guān)系圖。由圖可以得出一個規(guī)律，即壓力荷載作用下地基沉降量s隨著荷載p變化而變化。圖內(nèi)SS表示小變形法的結(jié)果，F(xiàn)S表示為大變形法的結(jié)果。若地基土體變形小，SS與FS間差異較模糊，且μ值對大變形分析結(jié)果的影響程度也不明顯，但不同μ值隨著變形程度的加深而對大變形分析結(jié)果的影響不斷上升。若將幾何剛度矩陣μ=0忽略，則計算出的沉降量將比對幾何剛度矩陣μ=1正確考慮的計算結(jié)果更小。針對某些學(xué)者提出將自修正迭代算法應(yīng)用于大變形固結(jié)方程組內(nèi)進行求解，及路基沉降量在1m—2m范圍內(nèi)時，幾何剛度矩陣受到的影響較小的論斷，下圖均一一對其進行了科學(xué)驗證。下圖計算結(jié)果顯示：幾何剛度矩陣應(yīng)考慮全面，且?guī)缀蝿偠染仃嚨挠绊懗潭葧S著變形程度的加深而擴大；若將幾何剛度矩陣忽略，則地基大變形系統(tǒng)剛度會隨之增加，其造成的影響為實際計算結(jié)果與剛硬更加接近。

（二）大變形計算本構(gòu)關(guān)系與幾何剛度效應(yīng)

下圖為小變形法與大變形法計算本構(gòu)關(guān)系圖：

備注：小變形法應(yīng)變度量為工程應(yīng)變、應(yīng)力為Cauchy應(yīng)力；大變形法應(yīng)變度量為Green應(yīng)變E11、應(yīng)力為Kirchhoff應(yīng)力S11。

由上圖可知，簡單的線性次彈性本構(gòu)模型所對應(yīng)的大變形應(yīng)變與全量應(yīng)變間的關(guān)系亦為非線性。通過對以上問題進行深入研究可得，本構(gòu)關(guān)系曲線形態(tài)受到μ值的影響程度較小，且μ值僅對p-s曲線最終走向及應(yīng)變值和應(yīng)力最終大小造成影響，原因是變形量因條件不同而有所差異。

下表顯示了以有限元分析結(jié)果為依據(jù)所得的小變形法原點各線壓縮模量理論值及計算值。

由上表可得，壓縮模量相對誤差絕對值均<0.02%，則本案中筆者選用的數(shù)值計算方法及計算結(jié)果均存在可靠性。

（三）不同率型本構(gòu)關(guān)系與幾何剛度效應(yīng)

前文中筆者提及的大變形率型本構(gòu)關(guān)系均屬于Jaumann應(yīng)力率，從某種程度上講，其在實際應(yīng)用中存在一定局限性。隨著技術(shù)的發(fā)展，Truesdell應(yīng)力率應(yīng)運而生，研究結(jié)果表明，后者的客觀性略強于強者。研究結(jié)果表明，若將領(lǐng)域變形忽略，Jaumann應(yīng)力率可轉(zhuǎn)化為Truesdell應(yīng)力率。在本案，筆者將基于前人就 Jaumann 應(yīng)力率與Truesdell應(yīng)力率本構(gòu)關(guān)系的研究基礎(chǔ)上，探析Jaumann應(yīng)力率及Truesdell應(yīng)力率與幾何剛度效應(yīng)間的關(guān)系。

下圖分別為Truesdell率型本構(gòu)關(guān)系于不同μ值條件下的計算本構(gòu)關(guān)系曲線圖及大變形荷載-沉降變形曲線圖。

（a）（b）

由圖（b）可得，忽略幾何剛度效應(yīng)（μ=0）所引起的沉降計算結(jié)果將隨著變形程度的加深而持續(xù)增加，且其所引起的變形結(jié)果剛硬度更強；若幾何剛度效應(yīng)于μ=-1條件下，其引起的計算偏差將略顯著于其他條件下的計算偏差，此時的沉降值也最小。上述結(jié)論均在Jaumann率型幾何剛度效應(yīng)分析結(jié)果中得到了印證。

因幾何剛度效應(yīng)對大變形條件下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度的影響程度較為明顯，則在μ值不同、荷載水平相同的條件下，結(jié)構(gòu)剛度沉降變形計算值將存在一定差異。

三、總結(jié)

就荷載-沉降曲線關(guān)系而言，若將幾何剛度效應(yīng)忽略或為妥善處理好幾何剛度效應(yīng)，其所引起的地基沉降計算結(jié)果將會略小于準(zhǔn)確值，且計算結(jié)果剛硬度更強，其為實際工程中重要的不安全因素，則應(yīng)得到更多的重視。Truesdell率型大變形理論所預(yù)測的最終沉降量符合Gibson理論完整解析解。Jaumann率型大變形法地基沉降預(yù)測結(jié)果比小變形法預(yù)測結(jié)果略大。需要注意的是，若沒有妥善處理好幾何剛度效應(yīng)，大變形分析結(jié)構(gòu)性質(zhì)將因此受到很大的影響。

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