《福建省數(shù)學科高考考試說明》中指出：“所設置的試題，特別是區(qū)分學生學習能力的把關(guān)試題應當關(guān)注解法的多樣性，充分尊重學生在學習數(shù)學方面的差異，力求使得不同思維方式、思維層次的學生都能得到科學的評價?！痹诮虒W中，必須集中更多的時間和精力從事那些有效果和有創(chuàng)造性的活動，去激發(fā)、開拓學生的學習興趣和學習思路，以進一步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和解題能力。一題多解就是從不同角度，不同思路分析問題，從題目中盡可能地挖掘隱含條件，用不同的方法，不同的思想去推理、分析、解答問題。在數(shù)學教學過程中，要充分利用一切有用條件，進行對比、聯(lián)想，采取一題多解的形式進行教學。

在公式推導中運用一題多解

數(shù)學公式在數(shù)學解題中的作用是非常重要的，但很多學生對公式大多采取死記硬背，對公式推導往往不是很重視。其實，要學好數(shù)學，就必須學會熟練地運用公式。公式推導過程本身就是一種解題的方法或技巧。在公式的推導過程中能運用一題多解，就會讓學生在學習知識的產(chǎn)生過程中，同時掌握解題的規(guī)律和方法，也便于公式的進一步理解和記憶。

例：學習等差數(shù)列通項公式

an=a1+（n-1）d

方法一：

……

由此比較猜想得出

an=a1+（n-1）d

方法二：

由等差數(shù)列定義知：

所以有

……

累加得

從而得到 an=a1+（n-1）d

以上兩種方法分別采用了猜想推導法和累加法。推導過程讓學生對這個公式的產(chǎn)生過程的掌握更深刻，對公式的記憶也就更難忘。同時也從中學到了重要的數(shù)學方法和思路，有助于學生數(shù)學思維的發(fā)展。

在例題講解中運用一題多解

一題多解在教學之中，往往能起到“搭橋”的作用，在最近思維發(fā)展區(qū)之中能把學生從已知的此岸渡到未知的彼岸。一道數(shù)學題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路，有助于拓寬解題思路，有目的地發(fā)展學生的思維能力，提高學生解決問題的能力。在例題講解中運用一題多解，反而是從一個題目中獲得更多的解題規(guī)律、技巧，從而舉一反三。下面僅舉一例進行一題多解來說明。

例：已知x、y≥0且x+y=1，求（x-2）2+（y-2）2的取值范圍。

解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法，以作示例。令m=（x-2）2+（y-2）2

解法一：（函數(shù)思想）由x+y=1得y=1-x，則

m=（x-2）2+（x+1）2=2x2-2x+5=2（x-）2+

由于x∈[0，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知

當x=時，m取最小值；當x=0或1時，m取最大值5。

評注：函數(shù)思想是中學階段基本的數(shù)學思想方法之一，揭示了變量之間的聯(lián)系，通過用函數(shù)觀點來探求變量的最值。所以，對于二元或多元函數(shù)的最值問題，往往是通過變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，這是一種基本的數(shù)學思想方法。當然，解決這類問題，我們已經(jīng)有比較深的函數(shù)理論、性質(zhì)，如單調(diào)性、導數(shù)知識等都可以用來求函數(shù)的最值。

解法二：（三角換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設

x=cos2θ，y=sin2θ

其中θ∈[0，]

則m=（cos2θ-2）2 +（sin2θ -2）2

=（cos2θ+sin2θ）2-2cos2θsin2θ+4

=5-（2sinθcosθ）2

=5-sin22θ

=5-×

=+cos4θ

于是，當cos4θ=-1時，m取最小值；當cos4θ=1時，m取最小值5。

評注：三角思想也是高中數(shù)學的基本思想方法之一，通過三角換元就將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式后來解決，而三角恒等變形卻有著許多的三角公式，所以運用三角換元解決某些問題往往比較有效。

解法三：（對稱思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設

x=+t，y=-t，其中t∈[-，]

于是m=（t-）2+（t+）2=+2t2 t2∈[0，]

所以當t2=0時，m取最小值；當t2=時，m取最大值5。

評注：對稱換元通過減元，結(jié)果就簡化了，故更容易求最值。

這三種方法在本質(zhì)上都相同，都是通過函數(shù)觀點來求最值，只是換元角度的不同罷了，當然也就導致了化簡運算量的不同。教師通過引導、啟發(fā)學生積極思考、運用，不僅提高了他們對數(shù)學的認識，也增強了他們思維能力的提高。

解法四：（運用均值定理）

由于x、y≥0且x+y=1

則xy≤=，從而0≤xy≤

于是，m=（x2+y2）+4=（x+y）2-2xy+4=5-2xy

所以，當xy=0時，m取最大值5；當xy=時，m取最小值。

評注：運用均值定理可以解決一些含有兩個未知量的最值問題，但要注意等號的條件是否同時成立。

解法五：（解析幾何思想）設d=，則d為動點（x，y）到點C（2，2）的距離。于是只需求線段上的點到點C的最大和最小距離就可。

當動點與A或B重合時，dmax=，則mmax=5

當動點與點C的連線垂直AB時dmin=，則m min=

評注：用幾何觀點研究代數(shù)問題，可以加強學生數(shù)形結(jié)合思想的形成，使學生在數(shù)和形把握的更好，能夠由數(shù)想到形的構(gòu)造，由形想到數(shù)的含義。的確，有許多最值問題無論是代數(shù)還是解幾都可以用這種方法解決。這對學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，有著潛移默化的影響。

這樣一個由特殊到一般的思維過程，不僅加強了學生思維能力的培養(yǎng)，而且通過這樣連續(xù)的一題多解，更培養(yǎng)了他們的綜合分析能力，也體現(xiàn)、滲透了一些數(shù)學思想方法。因此，在數(shù)學教學中，若能把經(jīng)典例題深入挖掘，注重對例題進行多方位教學，不僅抓好了基礎(chǔ)知識，還可以激發(fā)學生的探求欲、創(chuàng)新力；不僅能讓教師對例題的研究更加深入，對教學目標、要求的把握更加準確，同時也讓學生的數(shù)學思維能力得到更大的提高，并從中逐漸體會到數(shù)學學習的樂趣。在新課教學中，可能有些方法所用的知識學生并未學到，教師便可從中挑選學生學過的來加以教學，至于其它方法可在今后的總復習中慢慢補充上來。

習題中訓練學生運用一題多解

在數(shù)學課中，有很多教師布置大量題目，讓學生感到壓力很大。不知道如何去完成，便出現(xiàn)了抄襲現(xiàn)象，進而對數(shù)學的厭惡油然而生。這樣，也挫傷了學生們的自信心。教師可以從書上的習題入手、演變、加深，讓他們有章可循。等日積月累后，他們的解題能力自然就提高，對于今后從未見過的新題也就迎刃而解。另外，在把題目布置給學生的同時，教師可要求學生運用一題多解，甚至要求他們自己對題型進行變式。這樣的教學、作業(yè)方式不僅達到復習鞏固的目的，還可提高他們的探究能力及學習數(shù)學的興趣。

例如，在學習選修2-1拋物線后，有這樣一道習題：過拋物線y2=2px 焦點的一條直線和這條拋物線相交，設兩個交點縱坐標為y1，y2，求證：y1y2=-p2。（設線段AB為過拋物線焦點的弦）

此題證明并不難，證法也有多種，其結(jié)論也很有用。在布置該題給學生時，教師可以提出要求運用多種方法解題，也可以讓學生自己變式。在數(shù)學習題教學中，一題多變也得循序漸進，步子慢點、流暢些，使學生的思維得到充分發(fā)散，同時又不感到突然。

總之，在數(shù)學教學中，選用一些非探究不能發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系的習題，并用“一題多解”進行教學，有助于啟發(fā)學生分析思考，逐步把他們引入勝境，從而讓他們開拓視野，增強能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維，同時還可以幫助學生對知識系統(tǒng)性、特殊性、廣泛性的深刻理解。

（作者單位：福建省莆田市第二十五中學）