傅瞳 曹蕾娜

摘 要 常見的蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)即由一個(gè)中心伸出的若干放射狀絲線和圍繞這個(gè)中心的螺旋狀絲線構(gòu)成的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。然而，究竟是哪一種絲線結(jié)構(gòu)能使得蛛絲達(dá)到它的最佳利用狀態(tài)呢？文章探討了基于有限元法和ABAQUS仿真的蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞 蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu) 有限元 ABAQUS仿真

中圖分類號(hào)：TG95 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1 概述

世界上生存著許多種類的蜘蛛，而其中的大部分種類都會(huì)通過結(jié)網(wǎng)來進(jìn)行捕食。相關(guān)研究論文指出，蛛絲本身的性質(zhì)及蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)使得整張網(wǎng)經(jīng)久耐用，蛛絲比頭發(fā)絲還細(xì)，但強(qiáng)度卻超過同等粗細(xì)的鋼鐵，它的特性早就引起科研人員的關(guān)注。與蛛絲這種特性相結(jié)合的是其常見的蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)，即由一個(gè)中心伸出的若干放射狀絲線和圍繞這個(gè)中心的螺旋狀絲線構(gòu)成的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，保證了蛛網(wǎng)經(jīng)久耐用。有研究顯示，在均勻受力的情況下，整張蛛網(wǎng)能抵抗颶風(fēng)強(qiáng)度的氣流。那么我們自然會(huì)對(duì)這種結(jié)構(gòu)好奇，我們自然會(huì)提出疑問：究竟蜘蛛網(wǎng)織成怎樣的結(jié)構(gòu)才是最合適的？

2 問題的分析

通過查閱資料和分析現(xiàn)實(shí)生活中蜘蛛網(wǎng)的形狀和結(jié)構(gòu)，結(jié)合結(jié)構(gòu)力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，蜘蛛要達(dá)到捕食目的，并保持網(wǎng)的完整性，不被破壞，蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)和飛蟲撞擊的角度起到一定的作用，由于飛蟲撞擊的角度隨機(jī)性較大，又因?yàn)槲覀冊(cè)诖藭r(shí)對(duì)各種網(wǎng)進(jìn)行比較，得出何種蜘蛛網(wǎng)最為合適，所以在此飛蟲的撞擊角度不予考慮。

我們認(rèn)為昆蟲和蛛網(wǎng)的關(guān)系，在無自然因素影響下是可以模糊化模型為密度稀疏的彈性膜面與在其上施加適當(dāng)壓力。如前假設(shè)，蜘蛛網(wǎng)是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因?yàn)檫@樣的平面結(jié)構(gòu)在受到力的作用時(shí)會(huì)比不對(duì)稱的穩(wěn)定。在進(jìn)行仿真時(shí)，我們考慮到了蜘蛛的吐絲量也是關(guān)系蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的一個(gè)因素，所以，我們?cè)O(shè)定模型的面積一定。

接著，我們根據(jù)所查資料和相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，確定了候選仿真模型：三角形蜘蛛網(wǎng)、正多邊形蜘蛛網(wǎng)（以正六邊形為例）、螺線型蜘蛛網(wǎng)。對(duì)這些結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，觀察其對(duì)沖擊載荷的承載能力，并與其他結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，得出最合適的蜘蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)。

3 模型的建立

3.1 方法選取

3.1.1 有限單元法

有限單元法，是一種有效解決數(shù)學(xué)問題的解題方法。其基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的結(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的結(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計(jì)算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。

有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值，稱為拉格朗日（Lagrange）多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值，稱為哈密特（Hermite）多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo)，有對(duì)稱和不對(duì)稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對(duì)于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。

3.1.2 有限單元法求解流程

有限元運(yùn)用在實(shí)際問題求解過程中，主要有七個(gè)主要步驟，分別是：①對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散；②形成單元的剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣；③集成結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣；④引入強(qiáng)制邊界條件；⑤求解有限元求解方程，得到結(jié)點(diǎn)位移；⑥計(jì)算單元應(yīng)變和應(yīng)力；⑦進(jìn)行必要的后處理。

4 問題的求解

4.1 蜘蛛網(wǎng)模型

我們認(rèn)為昆蟲和蛛網(wǎng)的關(guān)系，在無自然因素影響下是可以模糊化模型為密度稀疏的彈性膜面與在其上施加適當(dāng)壓力。如前假設(shè)，蜘蛛網(wǎng)是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，所以，我們這里并沒有整網(wǎng)分析，而是取其同一方位的三分之一網(wǎng)進(jìn)行了受力仿真。

我們使用ABAQUS軟件平臺(tái)，建立了如下三種蛛網(wǎng)模型并進(jìn)行了求解：三角形蜘蛛網(wǎng)、正多邊形蜘蛛網(wǎng)（以正六邊形為例）、螺線型蜘蛛網(wǎng)。

4.2 計(jì)算結(jié)果

4.2.1三角形蜘蛛網(wǎng)模型

綜合數(shù)據(jù)可知，三角形模型的蛛網(wǎng)邊沿固定點(diǎn)的值為101.674、84.9822、0.25、0.30、可見其受力是很均衡的，內(nèi)部的大壓力沒有迫使外部牽拉結(jié)構(gòu)的帶來負(fù)擔(dān)，但其位移的不沿軸向分布卻說明了其結(jié)構(gòu)的不合理性。

4.2.2正多邊形蜘蛛網(wǎng)（以六邊形為例）

綜上所述，我們可以發(fā)現(xiàn)邊沿其固定點(diǎn)的應(yīng)力值為：264.082、244.286、8.8847、6.5214可見其受力是很均衡的，內(nèi)部的大壓力沒有迫使外部牽拉結(jié)構(gòu)的帶來負(fù)擔(dān)，而且其位移的基本是沿軸向分布的，說明其結(jié)構(gòu)是很合理的。

4.2.3螺線型蜘蛛網(wǎng)模型

綜上所述，我們可以發(fā)現(xiàn)邊沿其固定點(diǎn)的應(yīng)力值為：208.399、138.94、15.9089、20.6322可見其受力是很均衡的，內(nèi)部的大壓力沒有迫使外部牽拉結(jié)構(gòu)的帶來負(fù)擔(dān)，但從其位移圖中我們可以發(fā)現(xiàn)沿軸向分布的位移是有偏移軸向的趨勢的，而且有的已經(jīng)明顯的錯(cuò)位，所以，螺線型的模型應(yīng)該是介于三角形模型與正多邊型模型之間的一類模型。

4.3 結(jié)果分析（表1）

正多邊形下的蜘蛛網(wǎng)，對(duì)外界壓力的抵消即沿軸向的位移最小，外壓消弱能力最強(qiáng)，結(jié)構(gòu)最穩(wěn)定。

5 模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析

5.1 模型的優(yōu)點(diǎn)分析

（1）有限單元法的基礎(chǔ)理論比較成熟，已經(jīng)成為當(dāng)今成效最為顯著的數(shù)值分析方法。（2）有限單元法適用性強(qiáng)，試用于任何支撐條件和載荷的模型。（3）本文建立的蛛網(wǎng)模型合理，計(jì)算精確度較高。（4）模型采用了數(shù)值計(jì)算與軟件相結(jié)合的方法，使問題的解決更加嚴(yán)密。（5）基于膜與壓力的力學(xué)控制方程適用范圍較廣。（6）離散的控制方程形式規(guī)范，便于編制通用的計(jì)算機(jī)程序。（7）模型建立和求解符合實(shí)際，為一些仿生學(xué)建筑提供了理論依據(jù)。

5.2 模型的缺點(diǎn)分析

（1）由于時(shí)間的原因不能對(duì)模型進(jìn)行更深一步的計(jì)算。（2）模型計(jì)算過程中存在一些誤差，改進(jìn)相對(duì)困難。

參考文獻(xiàn)

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