1. 設(shè)函數(shù)f（x）=cos2x-4π3+2cos2x.

（1） 求f（x）的最大值，并寫出使f（x）取得最大值的x的集合；

（2） 在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f（B+C）=32，b+c=2，求a的最小值.

2. 如圖邊長為4的正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M、Q分別為PC，AD的中點(diǎn).

（1） 求證：PA∥平面MBD；

（2） 試問：在線段AB上是否存在一點(diǎn)N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點(diǎn)N的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.

3. 如圖1，相距為1千米的兩平行河岸上有村莊A和供電站C，村莊B與A，C的直線距離都是2千米，BC與河岸垂直，垂足為D.現(xiàn)要修建電纜線路，從供電站C向村莊A、B供電，修建地下電纜、水下電纜的費(fèi)用分別是2萬元/千米、4萬元/千米.

（1） 已知村莊A與B之間原來鋪設(shè)有電纜，但這些電纜需要改造才能使用，改造費(fèi)是05萬元/千米.現(xiàn)決定利用原有的電纜修建供電線路，并要求水下電纜的長度最短，試求該方案總施工費(fèi)用的最小值；

（2） 如圖2，點(diǎn)E在線段AD上，且鋪設(shè)電纜的線路為CE，EA，EB.若∠DCE=θ0≤θ≤π3，試用θ表示出總施工費(fèi)用y（萬元）的解析式，并求y的最小值.

圖1圖2

4. 已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）一個頂點(diǎn)，橢圓C的離心率為32，另有一圓O圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為a2+b2.

（1） 求橢圓C和圓O的方程；

（2） 已知M（x0，y0）是圓O上任意一點(diǎn)，過M點(diǎn)作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個公共點(diǎn)，求證：l1⊥l2.5. 已知函數(shù)f（x）=ln x，g（x）=32-ax（a為實數(shù)）.

（1） 當(dāng)a=1時，求函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；

（2） 若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.718 28…）在區(qū)間12，1上有解，求實數(shù)a的取值范圍；

（3） 證明：54n+160<∑nk=1[2f（2k+1）-f（k）-f（k+1）]<2n+1，n∈N*.（參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.693 1）

6. 已知數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且各項非負(fù)，對于正整數(shù)K，若任意的i，j（1≤i≤j≤K），aj-ai仍是{an}中的項，則稱數(shù)列{an}為“K項可減數(shù)列”.

（1） 已知數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，且數(shù)列{an-2}是“K項可減數(shù)列”，試確定K的最大值；

（2） 求證：若數(shù)列{an}是“K項可減數(shù)列”，則其前n項的和Sn=n2an（n=1，2，…，K）；

（3） 已知{an}是各項非負(fù)的遞增數(shù)列，寫出（2）的逆命題，判斷該逆命題的真假，并說明理由.