宋育紅

摘 要：桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中普遍存在約束的作用，現(xiàn)有優(yōu)化設(shè)計(jì)一般采用滿應(yīng)力法、遺傳優(yōu)化或直接實(shí)驗(yàn)法搜索等優(yōu)化方法，但其時(shí)間周期長、優(yōu)化復(fù)雜。本文主要采用復(fù)合形法，建立了桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，利用Fortran優(yōu)化程序?qū)ζ溥M(jìn)行優(yōu)化并獲得最優(yōu)解。

關(guān)鍵詞：桁架結(jié)構(gòu) 優(yōu)化設(shè)計(jì) 復(fù)合形法

一、優(yōu)化目標(biāo)及設(shè)計(jì)原則

1.優(yōu)化目標(biāo)

在工程力學(xué)教學(xué)當(dāng)中，筆者利用復(fù)合形法對桁架桿進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以求得到其最優(yōu)解。桁架桿設(shè)計(jì)的優(yōu)化可以選擇多種目標(biāo)，如尺寸最小、質(zhì)量最輕、強(qiáng)度最高等，一般應(yīng)根據(jù)不同的需要選定。筆者以桁架桿為例，以其質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)。

2.設(shè)計(jì)原則

在桁架桿設(shè)計(jì)時(shí)我們首先要求兩桿同時(shí)滿足強(qiáng)度條件，其次要滿足幾何條件約束，進(jìn)而確定目標(biāo)函數(shù)，并對其優(yōu)化。

二、復(fù)合形法優(yōu)化設(shè)計(jì)簡述

復(fù)合形法的基本思路是在n維空間的可行域中選取K個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)（通常取n+1≤K≤2n）作為初始復(fù)合形（多面體）的頂點(diǎn)。然后比較復(fù)合形各頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的大小，其中把目標(biāo)函數(shù)值最大的點(diǎn)作為壞點(diǎn)，以壞點(diǎn)之外其余各點(diǎn)的中心為映射中心，尋找壞點(diǎn)的映射點(diǎn)。一般說來，此映射點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值總是小于壞點(diǎn)的，也就是說映射點(diǎn)優(yōu)于壞點(diǎn)。這時(shí)，以映射點(diǎn)替換壞點(diǎn)與原復(fù)合形除壞點(diǎn)之外其余各點(diǎn)構(gòu)成K個(gè)頂點(diǎn)的新的復(fù)合形。如此反復(fù)迭代計(jì)算，在可行域中不斷以目標(biāo)函數(shù)值低的新點(diǎn)代替目標(biāo)函數(shù)值最大的壞點(diǎn)從而構(gòu)成新復(fù)合形，使復(fù)合形不斷向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)和收縮，直至收縮到復(fù)合形的各頂點(diǎn)與其形心非常接近、滿足迭代精度要求時(shí)為止。最后輸出復(fù)合形各頂點(diǎn)中的目標(biāo)函數(shù)值最小的頂點(diǎn)作為近似最優(yōu)點(diǎn)。

三、建立數(shù)學(xué)模型

1.已知參數(shù)

如桁架桿的結(jié)構(gòu)，已知l=2m，xB=1m，載荷ρ=100kN桁架材料的密度 ρ=7.5×10-5N/mm3，許用拉應(yīng)力[σ+ ]=150MPa，許用壓應(yīng)力[σ- ]=100MPa，yB的范圍為：0.5m≤yB≤1.5m，求桁架桿在滿足強(qiáng)度的條件下，其質(zhì)量的最小值。

2.選取設(shè)計(jì)變量

我們要使該結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最輕，則

（1）

其中：W為該結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、A1 A2分別為1桿和2桿的橫截面面積。所以其獨(dú)立參數(shù)有A1、A2、yB，所以優(yōu)化設(shè)計(jì)變量?。篨=[A1、A2、yB]T=[x1，x2，x3]T

3.建立目標(biāo)函數(shù)

將（1）式用設(shè)計(jì)標(biāo)量表示，其目標(biāo)函數(shù)為：

（2）

4.確定約束條件

（1）應(yīng)力分析。

如，

由此得

由正弦定理得：

由此得1、2桿橫截面上的正應(yīng)力分別為：

其要滿足強(qiáng)度條件則

（2） 約束條件

（3）

（4）

（5）

四、利用Fortran語言構(gòu)建優(yōu)化模型

目標(biāo)函數(shù)：

min

約束條件：

G（1）=X（1）≥0 G（2）=X（2）≥0 G（3）=X（3）-500≥0

G（4）=1500-X（3）≥0 G（5）=[X（3）+0.2]2-3X（1）+1≥0

G（6）=X（4）2-4X（2）+1≥0

根據(jù)以上的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，采用復(fù)合形法優(yōu)化算法，利用Fortran語言編寫相應(yīng)程序代碼，優(yōu)化結(jié)果采用目標(biāo)函數(shù)最小控制，最終求解出目標(biāo)函數(shù)最小時(shí)的最佳參數(shù)組合。

五、優(yōu)化結(jié)果分析

經(jīng)計(jì)算得最優(yōu)解：

fx=125.8037N

約束函數(shù)值：

G（1）=X（1）=521.0478 G（2）=X（2）=640.3725

G（3）=X（3）=800.4236 G（4）=X（4）=699.5764

G（5）=X（5）=120.4526 G（6）=X（6）=36.88132

由此得：最優(yōu)解fx=125.8037N，當(dāng)其yB=800.4236、A1=521.0478mm2、A2=640.3725mm2。

（作者單位：西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院）