薛峰 趙玉祥

江蘇的高考倒數(shù)第二題是一道帶電小球在復(fù)合場中特殊曲線運動的好題，如下：

在場強為B的水平勻強磁場中，一質(zhì)量為m、帶正電為q的小球在O點靜止釋放，小球的運動曲線如下圖所示。已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸的2倍，重力加速度為g。求

（1）小球運動到任意位置p（x，y）處的速率；

（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym；

（3）當在上述磁場中加一豎直向上場強為E（E>）的勻強電場時，小球在O點靜止釋放后獲得的最大速率vm。

參考答案：

解：將小球速度分解為水平方向和豎直方向，其對應(yīng)的是洛侖茲力在豎直方向和水平方向上的力，得：

思考一：顯然，從=到=ωy說明小球的水平分速度只與豎直距離有關(guān)，整個過程中只有重力做功說明小球的速度同樣只與豎直距離有關(guān)，而小球在最高點只有水平速度，所以由牛頓第二定律得：max=qBvy

從原點到極大值點求和：maxΔt=qBvyΔt

由初始條件得：mvm=qBym

由動能定理得：mgym=mv2m

聯(lián)立方程可得：ym=

說明：第二問與第三問本質(zhì)相同，請讀者自行整理。

思考二：從y=（1-cosωt）說明小球在y軸方向做振幅為，角頻率為ω的簡諧振動；從x=（ωt-sinωt）說明在x軸方向上，小球的運動是兩個運動的疊加，一個是振幅為，角頻率ω的簡諧振動，另一個是振動中心以速度vx==向右運動。所以完全可以從運動的獨立性入手。雖然小球初始靜止，但將其分解為沿x軸方向的速度+v和-v，且滿足：qBv=mg

從此小球的運動可視為一個速度為v沿x軸正方向勻速直線運動和一個速率為v勻速圓周運動的合成，對勻速圓周運動，有qBv=m

易得：ym=2R=

說明：通過此法同樣能得到軌跡方程。不難得出小球的最大速度vm=2v=，由向心力公式得qBvm-mg=m，解得ρ==2ym，所以不但不需要此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸的2倍這一條件，而且可以通過利用初等數(shù)學推導(dǎo)出來，為我們今后的命題提出思考。

（作者單位 江蘇省鎮(zhèn)江新區(qū)大港中學）