付志紅

眾所周知，子空間的性質(zhì)在整個(gè)線性空間 上被完全繼承下來，則子空間可以作為研究整個(gè)線性空間的一個(gè)強(qiáng)有力的工具，以幫助我們更好地、有效地認(rèn)識(shí)整個(gè)線性空間的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)。因此系統(tǒng)地研究關(guān)于子空間的判定及其運(yùn)算是非常必要的。關(guān)于子空間的交與和以及有關(guān)性質(zhì)所有高等代數(shù)教材都有詳細(xì)闡述，然而都僅限于有限個(gè)子空間的交與和，對無限個(gè)子空間的交與和沒有討論。這兩個(gè)問題是我們在學(xué)習(xí)高等代數(shù)過程中很自然會(huì)聯(lián)想到的問題，因此很有必要對其進(jìn)行討論。當(dāng)把子空間作為線性空間的子集，其并集、差集、補(bǔ)集等能否作成子空間？作成子空間的條件是什么？它們還有什么性質(zhì)等問題卻很少有教材對其進(jìn)行討論。另外，在 維線性空間 中，對于子空間交與和的維數(shù)與基的確定，本文將給出一個(gè)確定的求法和一般的表示方法，本文將通過具體實(shí)例，作詳盡論述，其目的是使我們對這一方法能更加熟練掌握。最后，進(jìn)一步研究了線性變換的不變子空間和特征子空間的性質(zhì)。

一、子空間的定義和運(yùn)算性質(zhì)

在通常的三維幾何空間中，考慮一個(gè)通過原點(diǎn)的平面。不難看出，這個(gè)平面上的所有向量對于加法和數(shù)量乘法組成一個(gè)二維的線性空間。也就是說，它一方面是三維幾何空間的一個(gè)部分，同時(shí)它對于原來的運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間。

（一）、子空間的定義

（二）、子空間的運(yùn)算性質(zhì)

1、子空間的交

2、子空間的和

結(jié)論：上例說明了子空間的和的概念不能推廣到無限多個(gè)子空間的情形。從子空間的和的定義來看，和空間的每一向量都是組成其和空間的每一子空間的某些向量作加法的結(jié)果。有限個(gè)向量相加由結(jié)合律知其結(jié)果仍是向量空間中唯一確定的向量。而無限個(gè)向量相加就不能保證其結(jié)果仍是該向量空間中向量。這也是“量變產(chǎn)生質(zhì)變”在向量空間中的體現(xiàn)。

3、子空間的并

關(guān)于子空間的并能否作成子空間，我們有如下結(jié)論：

由此可見，子空間的和與子空間的并是完全不同的兩個(gè)概念，其性質(zhì)也完全不同。

4、子空間的差與子空間的補(bǔ)

關(guān)于子空間的差與子空間的補(bǔ)，我們有如下結(jié)論：

定理5

二、子空間的分類討論

（一）、按子空間所含元素多少的劃分

1、平凡子空間

在線性空間中，零子空間和線性空間本身這兩個(gè)子空間叫做平凡子空間。

2、非平凡子空間

在線性空間中，除了零子空間和線性空間本身，其他的線性子空間叫做非平凡子空間。

3、真子空間

除線性空間 本身以外的子空間均為真子空間。

（二）、子空間的交與和的基與維數(shù)

1、維數(shù)定理

2、子空間的交與和的基與維數(shù)

三、線性變換的不變子空間與特征子空間

（一）、不變子空間

五、結(jié)束語

本文通過對無限多個(gè)子空間的交與和，子空間的并、差所進(jìn)行的討論，使我們在學(xué)習(xí)過程中常常聯(lián)想到的問題有了確切的結(jié)論，這對我們更好地理解線性空間理論應(yīng)該是有幫助的。