柳影

(廣西電力工業(yè)勘察設(shè)計(jì)研究院，廣西 南寧 530023)

電力系統(tǒng)潮流算法發(fā)展綜述

柳影

(廣西電力工業(yè)勘察設(shè)計(jì)研究院，廣西 南寧 530023)

介紹了經(jīng)典的高斯－賽德爾迭代法和牛頓法，以及牛頓法的演變方法;并介紹了優(yōu)化算法在潮流計(jì)算的應(yīng)用情況。最后總結(jié)了各種算法的特點(diǎn)及適用范圍，為電力工作者選擇合理的潮流算法提供參考。

潮流計(jì)算;牛頓法;張量法;潮流優(yōu)化算法

1 引言

電力系統(tǒng)潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行分析中最基本和最重要的計(jì)算之一，也是電力系統(tǒng)其他分析計(jì)算的基礎(chǔ)。根據(jù)給定的運(yùn)行條件及系統(tǒng)接線方式確定整個(gè)電力系統(tǒng)各部分的運(yùn)行狀態(tài)。在電力系統(tǒng)的規(guī)劃設(shè)計(jì)和運(yùn)行方式的研究中，都需要利用潮流計(jì)算來(lái)定量地分析比較供電方案或運(yùn)行方式的合理性、可靠性和經(jīng)濟(jì)性。潮流計(jì)算的任務(wù)是采用一定的方法確定系統(tǒng)中各處的電壓和功率分布。由于電壓與功率之間是非線性關(guān)系，因此潮流方程是非線性方程，從而使得潮流計(jì)算的確定性算法只能采用迭代法求解。本文不僅介紹了潮流計(jì)算的一些經(jīng)典算法，而且對(duì)新型的計(jì)算方法也作了總結(jié)。經(jīng)典算法有高斯－賽德爾迭代法及牛頓法等，近年來(lái)學(xué)者們開始應(yīng)用非線性規(guī)劃法及智能算法等優(yōu)化方法求解潮流問題，提高了收斂的可靠性。

2 潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

在工程實(shí)際中，潮流計(jì)算可歸結(jié)為已知各節(jié)點(diǎn)的注入功率，求解各節(jié)點(diǎn)的電壓向量，進(jìn)而計(jì)算各支路功率。從數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)看，潮流方程的基本表達(dá)為節(jié)點(diǎn)功率方程式。由于節(jié)點(diǎn)電壓可以表示為直角坐標(biāo)的形式:˙Vi=ei+jfi，也可以表示為極坐標(biāo)得形式:˙Vi=Viejθi，則節(jié)點(diǎn)功率方程具有兩種表達(dá)形式:直角坐標(biāo)形式及極坐標(biāo)形式，分別為［1］:

其中:n—系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù);

Pi、Qi—節(jié)點(diǎn)i的有功和無(wú)功注入;

ei、fi—直角坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部和虛部;

Gij、Bij—節(jié)點(diǎn)i和j之間的互電導(dǎo)和互電納;

Vi、θi—極坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)電壓的幅值和相角;

θij= θi－ θj—節(jié)點(diǎn)i、j之間的相角差。

潮流計(jì)算時(shí)，一般節(jié)點(diǎn)為PQ節(jié)點(diǎn)，其有功P、無(wú)功Q為給定的，節(jié)點(diǎn)電壓為待求量。另外，根據(jù)電力系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行情況，還設(shè)置PV節(jié)點(diǎn)及平衡節(jié)點(diǎn)。PV節(jié)點(diǎn)的無(wú)功Q可在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，以維持電壓幅值不變;平衡節(jié)點(diǎn)的有功P可以調(diào)節(jié)，以使得系統(tǒng)有功平衡，每個(gè)網(wǎng)絡(luò)至少有一個(gè)平衡節(jié)點(diǎn)。但是，對(duì)PV節(jié)點(diǎn)，若其無(wú)功在計(jì)算中已經(jīng)越限，則需要將其轉(zhuǎn)換為PQ節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，即PV-PQ轉(zhuǎn)換。

由式(1)、(2)可以看出，在數(shù)學(xué)上是一組多元非線性方程式的求解問題，其解法離不開迭代。因此，對(duì)于潮流方程的求解方法，首先要求能夠可靠的收斂，并給出正確的結(jié)果。隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，潮流問題方程式的變量維數(shù)越來(lái)越大(目前已經(jīng)達(dá)到幾千維甚至上萬(wàn)維)，對(duì)于這樣大規(guī)模的方程式，并不是采用任何數(shù)學(xué)方法都能保證正確的求解。長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)者們進(jìn)行了大量的研究，以保證算法收斂的同時(shí)求得準(zhǔn)確、可靠潮流解。

3 潮流計(jì)算的經(jīng)典方法

3.1 高斯－賽德爾迭代法

高斯－賽德爾迭代法開始于上世紀(jì)50年代，是一種直接迭代求解方程的算法，既可以解線性方程組，也可以解非線性方程組。高斯法求解節(jié)點(diǎn)電壓的特點(diǎn)是:在計(jì)算節(jié)點(diǎn)i第k+1次的迭代電壓時(shí)，前后所用的電壓都是第k次迭代的結(jié)果，整個(gè)一輪潮流迭代完成后，把所有計(jì)算出的電壓新值用于下一輪電壓新值的計(jì)算過程中。

該計(jì)算方法簡(jiǎn)單，占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存小，能直接利用迭代求解節(jié)點(diǎn)電壓方程，對(duì)電壓初值的選取要求不是很嚴(yán)格，但它的收斂性能較差，當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模增大時(shí)，迭代次數(shù)急劇上升。為此，文獻(xiàn)［2］在基本高斯－賽德爾迭代法基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)，推導(dǎo)新的電壓向量虛部的迭代公式，新方法減少了迭代次數(shù)，也提高了算法的適用范圍。

3.2 牛頓法

牛頓－拉夫森法是求解非線性方程式的有效方法。上世紀(jì)60年代就開始應(yīng)用于潮流計(jì)算中，該方法的核心為將非線性方程式的求解過程變?yōu)榉磸?fù)對(duì)相應(yīng)的泰勒一次展開式的求解過程，也稱為逐次線性化的過程。牛頓法的潮流求解過程大致分為以下幾個(gè)步驟:

(1)給定節(jié)點(diǎn)電壓的初值;

(2)根據(jù)節(jié)點(diǎn)功率方程，計(jì)算有功功率誤差及無(wú)功功率誤差，若滿足收斂條件則輸出潮流解;

(3)計(jì)算修正方程的系數(shù)矩陣(雅可比矩陣);

(4)求解修正方程式，得牛頓步長(zhǎng)，并修正節(jié)點(diǎn)電壓;

(5)返回(2)繼續(xù)迭代。

從求解步驟可以看出，牛頓法求解潮流問題的過程，實(shí)際上是不斷形成并求解修正方程式的過程。牛頓法的特點(diǎn)是收斂性比較好，一般潮流計(jì)算通常迭代6～7次就能收斂到非常精確的解，而且迭代次數(shù)與電力系統(tǒng)規(guī)模關(guān)系不大。

在牛頓法的初期研究中，由于計(jì)算機(jī)的水平有限，如何處理修正方程的內(nèi)存要求和計(jì)算速度有著決定性的影響，牛頓法的應(yīng)用一度受到了計(jì)算規(guī)模的限制。然而，隨著計(jì)算機(jī)水平的發(fā)展，無(wú)需再對(duì)修正方程的處理進(jìn)行苛刻的要求，因此牛頓法的適用范圍得到擴(kuò)大。目前，牛頓法已經(jīng)成為潮流計(jì)算最為常規(guī)的算法。

3.3 P-Q分解法

P-Q分解法是從牛頓法的基礎(chǔ)上演變而來(lái)。將節(jié)點(diǎn)電壓向量表示為極坐標(biāo)形式，潮流節(jié)點(diǎn)功率方程式采用式(2)表達(dá)，則可根據(jù)電力系統(tǒng)的實(shí)際物理特點(diǎn)，對(duì)牛頓法的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化。

由于高壓電力系統(tǒng)中有功功率潮流主要與各節(jié)點(diǎn)電壓相角有關(guān)，無(wú)功功率潮流則主要受各節(jié)點(diǎn)電壓幅值的影響。大量的計(jì)算實(shí)踐表明，牛頓法修正方程式中電壓幅值對(duì)有功的影響及電壓相角對(duì)無(wú)功的影響在數(shù)值上都是比較小的。因此，可以將有功功率只作為修正電壓相角的依據(jù)，而無(wú)功功率作為修正電壓幅值的依據(jù)，從而將二者的修正方程分離開來(lái)，前者為電壓相角修正方程，后者為電壓幅值修正方程，二者迭代就可以分開來(lái)進(jìn)行。P-Q分解迭代的步驟大致是:

(1)給定電壓幅值、相角的初值;

(2)計(jì)算各節(jié)點(diǎn)有功無(wú)功誤差，若滿足收斂條件則輸出潮流解;

(3)根據(jù)相角修正方程修正電壓相角;(4)根據(jù)幅值修正方程修正電壓幅值;

(5)返回(2)繼續(xù)進(jìn)行迭代。P-Q分解迭代過程中，由于把2n階的線性方程組變成了兩個(gè)n階的線性方程組，因此計(jì)算量和內(nèi)存方面相對(duì)牛頓法都有所改善。因其簡(jiǎn)單快速的特點(diǎn)而得到了廣泛的應(yīng)用。

3.4 張量法

張量法的求解思想同樣與牛頓法類似，但不同于牛頓法的基于泰勒一次展開式進(jìn)行求解，張量法求解時(shí)采用二階泰勒展開式，增加了關(guān)于步長(zhǎng)的二次項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，使得在雅可比矩陣條件數(shù)很大或接近不滿秩的情況下，其收斂性明顯好于牛頓法。張量法主要困難在于如何進(jìn)行二次項(xiàng)的計(jì)算。文獻(xiàn)［3］對(duì)直角坐標(biāo)的潮流方程，引入了兩種張量法進(jìn)行求解，但要求張量方程具有零根。文獻(xiàn)［4］在極坐標(biāo)下通過直接計(jì)算潮流方程的二次微分，從而得到步長(zhǎng)的二次項(xiàng)。該方法在潮流重負(fù)荷下明顯改進(jìn)了收斂性和計(jì)算速度。

4 潮流計(jì)算的優(yōu)化方法

4.1 非線性規(guī)劃法

非線性規(guī)劃法即采用基于非線性規(guī)劃模型的算法求解潮流問題。該類算法在數(shù)學(xué)上描述為求一個(gè)由潮流方程構(gòu)成的目標(biāo)最小化問題，如帶最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法［5］。在給定運(yùn)行條件下，若潮流問題有解，則目標(biāo)值為零;若潮流問題無(wú)解，則目標(biāo)值為一不為零的正值。因此，即使是在病態(tài)系統(tǒng)的情況下，迭代過程永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)散。但是，過去的這類算法存在模型復(fù)雜、不易編程等缺陷。

文獻(xiàn)［6］基于L1范數(shù)計(jì)算原理，建立了新穎的最小化潮流計(jì)算模型，并轉(zhuǎn)化為一個(gè)不含范數(shù)的非線性規(guī)劃模型，然后采用現(xiàn)代內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解。該方法模型直觀、編程方便、收斂性好，能夠處理在潮流問題中的添加不等式約束的擴(kuò)展潮流問題，使得潮流結(jié)果更接近實(shí)際運(yùn)行情況。

文獻(xiàn)［7］將潮流計(jì)算中的PV-PQ轉(zhuǎn)換邏輯表示為互補(bǔ)問題，構(gòu)造了潮流問題的嚴(yán)格混合互補(bǔ)模型，并轉(zhuǎn)化為目標(biāo)為常數(shù)的優(yōu)化問題，進(jìn)而結(jié)合內(nèi)點(diǎn)法與互補(bǔ)松弛進(jìn)行求解。該方法彌補(bǔ)了PV節(jié)點(diǎn)常規(guī)啟發(fā)式邏輯轉(zhuǎn)換不穩(wěn)定的缺陷，提高了結(jié)果的可靠性。

4.2 智能算法

近年來(lái)，人工智能作為一種新興的方法，也應(yīng)用到電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中。這種方法不依賴于精確的數(shù)學(xué)模型，基于對(duì)自然界和人類本身活動(dòng)的有效類比而搜索潮流結(jié)果。文獻(xiàn)［8］將潮流問題轉(zhuǎn)化為最小化問題，并滿足給定的PQ節(jié)點(diǎn)功率限制和PV節(jié)點(diǎn)電壓幅值限制等約束，基于遺傳算法的思想，設(shè)計(jì)了約束潮流遺傳算法。該方法流程簡(jiǎn)單，收斂性好，能夠求出滿意的潮流解，而且能夠求出靜態(tài)頂值點(diǎn)的潮流解。

5 總結(jié)

本文從電力系統(tǒng)潮流算法發(fā)展的角度出發(fā)，介紹了幾種主要計(jì)算方法及其特點(diǎn)。高斯－賽德爾迭代法是早期的一種直接迭代求解法，且收斂性不好，適用范圍有限;P-Q分解法收斂性好，并減少計(jì)算量及內(nèi)存要求，但是隨著計(jì)算機(jī)水平的提高，牛頓法對(duì)計(jì)算量及內(nèi)存的要求問題已不再突出，使得牛頓法在工程實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用，已成為占主導(dǎo)地位的有效算法;張量法因計(jì)及了二次項(xiàng)而修正了牛頓方向，從而在重負(fù)荷情況下改善了算法的收斂性;非線性規(guī)劃法、智能算法具有較好的魯棒性，能夠處理病態(tài)潮流問題，并能處理加入不等式約束的擴(kuò)展潮流問題，這類算法的研究具有理論及工程實(shí)際意義。

［1］ 何仰贊，溫增銀．電力系統(tǒng)分析(下冊(cè))［M］．3版．武漢:華中科技大學(xué)出版社，2002:57－64．

［2］ 涂志軍，曹曄，李偉，等．一種新型高斯賽德爾算法在電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中的應(yīng)用研究［J］．江西科技，2010，28(6):807 －809，813．

［3］ Salgado R S，Zeitune A F．Power flow solutions through tensormethods［J］．IET Generation，Transmission ＆ Distribution，2009，3(5):413 －424．

［4］ 林濟(jì)鏗，吳鵬，袁龍，等．基于張量法的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算［J］．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2011，31(34):113 －119．

［5］ Iwamoto S，Tamura Y A．Load flow calculationmethod for ill-conditioned power systems［J］．IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1981，100(4):1736 －1743．

［6］ 韋化，陽(yáng)育德．基于L1范數(shù)和現(xiàn)代內(nèi)點(diǎn)理論的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算［J］．廣西大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，22(1):31 －36．

［7］ 李保衛(wèi)，韋化，李濱，等．潮流PV-PQ轉(zhuǎn)換的混合互補(bǔ)方法［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2009，33(14):37 －40．

［8］ 張金奎，林蔭字，楊傳忠，等．基于遺傳算法的潮流多根求解方法［J］．重慶大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，23(1):56 －59．

Summary for Development of the Power Flow Com putation

LIU Ying
(Guangxi Electric Power Industry Investigation Design and Research Institute，Nanning 530023，China)

Not only classical algorithm is presented in the paper，there are Gauss-Seidel iterativemethod，Newtonmethod and its evolutions，butalso the applications of optimization algorithm for the power flow are introduced．At last，this paper summarizes the peculiarity for the various algorithms，and provides references for the electricity workers．

power flow computation;Newton method;tensormethod;optimization algorithm for power flow

TM71

B

1004－289X(2013)03－0010－03

2012－11－25

柳影(1981－)，女，重慶墊江人，碩士研究生，工程師，從事電力系統(tǒng)規(guī)劃與設(shè)計(jì)相關(guān)工作。