王孝坤

(中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所光學(xué)系統(tǒng)先進(jìn)制造技術(shù)中國科學(xué)院重點實驗室，吉林長春130033）

子孔徑拼接檢測非球面時調(diào)整誤差的補(bǔ)償

王孝坤

(中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所光學(xué)系統(tǒng)先進(jìn)制造技術(shù)中國科學(xué)院重點實驗室，吉林長春130033）

針對在子孔徑拼接測量非球面的過程中干涉儀與待測非球面相對位置存在的對準(zhǔn)誤差，提出了一種基于模式搜索迭代算法的調(diào)整誤差補(bǔ)償方法。該方法可以很好地從測量的子孔徑相位數(shù)據(jù)中消除由拼接測量位置沒有對準(zhǔn)帶來的調(diào)整誤差，實現(xiàn)多個子孔徑的精確拼接。對該方法的基本原理和實現(xiàn)步驟進(jìn)行了分析和研究，建立了子孔徑拼接測量的調(diào)整誤差補(bǔ)償模型。對口徑為230 mm×141 mm的離軸碳化硅非球面反射鏡進(jìn)行了調(diào)整誤差補(bǔ)償和相位數(shù)據(jù)拼接，得到了精確的全口徑面形分布。作為驗證，對待測非球面進(jìn)行了零位補(bǔ)償檢測，結(jié)果顯示兩種測試方法的面形PV值和RMS值的相對偏差僅為0.57%和2.74%。

子孔徑拼接干涉術(shù)；非球面；調(diào)整誤差；模式搜索算法；非共路誤差

1 引 言

子孔徑拼接干涉測量(SSI)是利用小口徑干涉儀的標(biāo)準(zhǔn)球面參考波前對大口徑非球面上各區(qū)域的相位進(jìn)行逐次測量，然后通過SSI算法獲得非球面全口徑面形信息的測量方法［1-6］。SSI技術(shù)拓寬了干涉儀測量非球面的橫向和縱向動態(tài)范圍，使干涉儀測量非球面的口徑和相對口徑都有了很大的增加。此外，由于對小塊子孔徑區(qū)域測量所利用的干涉儀CCD像元面積與全口徑干涉測量所利用的干涉儀CCD像元面積是相同的，所以SSI能夠獲得非球面面形中高頻段的信息。

使用SSI技術(shù)無需補(bǔ)償透鏡、計算全息、大口徑輔助鏡等光學(xué)輔助元件就能實現(xiàn)對大口徑非球面、離軸非球面、甚至自由曲面的檢驗，同時可以獲得面形中高頻的相位信息，這不僅提高了分辨率，而且降低了成本，節(jié)省了時間［7-13］。

由于SSI利用標(biāo)準(zhǔn)球面波檢測非球面，對于單個子孔徑相位數(shù)據(jù)的測量，需要干涉儀出射波前的曲率半徑與待測子孔徑區(qū)域的最接近球面半徑吻合，因此對拼接調(diào)整機(jī)構(gòu)的定位精度和重復(fù)精度有很高的要求。但是在拼接測量過程中，干涉儀與待測非球面實際的相對位置關(guān)系與理論的相對位置關(guān)系肯定存在偏差，而該偏差會影響最終的拼接檢測精度。為了解決該問題，本文提出了一種基于模式搜索迭代算法的調(diào)整誤差補(bǔ)償方法。

2 基本原理和流程

SSI測量非球面的示意圖如圖1，在拼接測量過程中，調(diào)整干涉儀與待測非球面的相對位置，使干涉儀標(biāo)準(zhǔn)球面波前對準(zhǔn)非球面待測區(qū)域，從而使從非球面上反射返回的光束與干涉儀的參考光束產(chǎn)生干涉，進(jìn)而測定和記錄各子孔徑的相位分布。利用模式搜索誤差補(bǔ)償方法從測量的子孔徑相位數(shù)據(jù)中消除由于拼接測量位置失準(zhǔn)帶來的調(diào)整誤差，實現(xiàn)多個子孔徑的拼接，從而精確地完成非球面全口徑面形拼接檢測。

圖1 子孔徑拼接測量非球面面形的示意圖Fig.1 Sketch of testing convex asphere by SSI

利用標(biāo)準(zhǔn)球面波檢測非球面會產(chǎn)生非共路誤差(即標(biāo)準(zhǔn)參考球面波面與待測子孔徑區(qū)域非球面波面的偏差)。對于非球面度比較小的非球面的拼接，可以采用理論位置時各子孔徑的非球面方程與參考球面方程的理論偏差或用Zemax軟件模擬子孔徑干涉測量來求解非共路誤差。從每個子孔徑的干涉相位數(shù)據(jù)中剔除該誤差，通過SSI算法實現(xiàn)拼接檢測［14-16］。但是對于偏離量比較大的非球面，尤其是離軸非球面，也采用這一方法進(jìn)行拼接就會產(chǎn)生很大的拼接誤差。

本文提出采用模式搜索算法來補(bǔ)償這一拼接誤差。該算法首先對初始位置的參數(shù)進(jìn)行迭代優(yōu)化，找出最接近實際位置的調(diào)整參數(shù)，從每個子孔徑的相位數(shù)據(jù)消除優(yōu)化參數(shù)位置的非共路誤差，再通過子孔徑拼接算法就能夠?qū)崿F(xiàn)子孔徑拼接檢測。模式搜索算法又稱為Hooke-Jeeves法，是在某點附近按一定的步長搜索函數(shù)值更小的點，且步長隨搜索過程的進(jìn)行而減小，通過該算法來搜索出最大最小正基模式。它可以處理邊界約束、線性代數(shù)、線性不等式、并且不需要函數(shù)連續(xù)或可微，而大多數(shù)傳統(tǒng)優(yōu)化方法通過使用梯度或者高階導(dǎo)數(shù)的方法來搜尋優(yōu)化點，它們一般要求函數(shù)連續(xù)可微。

一般待測非球面都是回轉(zhuǎn)對稱的，無需繞Z軸的轉(zhuǎn)動，因此對于單個子孔徑的位置調(diào)整，僅需考慮5個方向，分別是沿X軸、Y軸、Z軸的平動以及繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動。所以，調(diào)整誤差補(bǔ)償模型中共有5個優(yōu)化參量，即分別為：沿X軸方向的平移dx；沿Y軸方向的平移dy；沿Z軸方向的平移dz；繞X軸的轉(zhuǎn)動α；繞Y軸的轉(zhuǎn)動β。

圖2 調(diào)整誤差補(bǔ)償方法的流程圖Fig.2 Flow chart of the compensation ofmisalignment

為實現(xiàn)調(diào)整誤差補(bǔ)償，完成子孔徑精確拼接測量，本文的模式搜索調(diào)整誤差補(bǔ)償方法的流程如圖2所示，具體步驟如下：

(1)定義目標(biāo)函數(shù)

算法中定義子孔徑相位數(shù)據(jù)除去非共路誤差后的相位分布的RMS值為目標(biāo)函數(shù)f。

(2)選定優(yōu)化參量

調(diào)整誤差補(bǔ)償模型中共有5個優(yōu)化參數(shù)，分別是dx、dy、dz、α和β。

(3)計算理論位置調(diào)整參數(shù)值

根據(jù)子孔徑測量規(guī)劃，求解測量某一子孔徑時待測非球面與干涉儀之間的相對位置理論調(diào)整量dx0、dy0、dz0、α0和β0。

(4)坐標(biāo)變換，求解目標(biāo)函數(shù)方程

建立待測非球面的母鏡坐標(biāo)系(x，y，z)以及以某個子孔徑幾何中心為坐標(biāo)原點的直角坐標(biāo)系(x′，y′，z′)，如圖3所示，Z為光軸方向，O為待測非球面的母鏡坐標(biāo)系原點，O′為某個測量子孔徑的幾何中心。坐標(biāo)系(x′，y′，z′)相對坐標(biāo)系(x，y，z)的平移和旋轉(zhuǎn)分別為dx、dy、dz、α和β。

圖3 坐標(biāo)系定義圖Fig.3 Sketch of the coordinates

設(shè)鏡面上任意點在坐標(biāo)系(x，y，z)下的坐標(biāo)為P(x，y，z)，P的矢量為p=(x y z 1)T，其調(diào)整后在坐標(biāo)(x′，y′，z′)下的坐標(biāo)為P′(x′y′z′)，P′的矢量為：p′=(x′y′z′1)T。由剛體運(yùn)動定理可得兩個矢量之間的坐標(biāo)變換矩陣T為式(1)：

二次非球面的母鏡可以用式(2)表示：

利用空間坐標(biāo)變換矩陣(1)求解在以子孔徑區(qū)域中心為坐標(biāo)原點的新坐標(biāo)系下非球面方程表達(dá)式為：

式中：

則子孔徑的矢高方程為：

參考球面波前的矢高方程為：

令子孔徑的矢高F與參考球面波前的矢高S的差值為P：

對于偏離量不是很大的淺度非球面，非共路誤差可以近似為參考球面方程S與待測子孔徑區(qū)域非球面方程F的偏差(即為P值)。由于以子孔徑的矢高F與參考球面波前的矢高S的差值作為非共路誤差(Z軸方向)，與法向像差存在一定的偏差，對于高陡度、離軸子孔徑更明顯，因此對于偏離量較大的子孔徑，其非共路誤差值P′為：

式中，θ為子孔徑區(qū)域各點的法向角。

由于各子孔徑的相位數(shù)據(jù)值可以通過干涉儀測量直接獲得，設(shè)定某個子孔徑測量所得的相位分布為W，定義相位數(shù)據(jù)中消去非共路誤差后的相位分布為U，即U=W-P′，則目標(biāo)函數(shù)f為：

式中，N為子孔徑數(shù)據(jù)中采樣點的個數(shù)。

(5)初始化，計算基點函數(shù)值

初始化程序，將理論位置調(diào)整初值代入目標(biāo)函數(shù)，計算基點函數(shù)值f(dx0，dy0，dz0，α0，β0)。

(6)約束取值范圍，設(shè)定步長

給5個未知量約束一定的取值范圍以使優(yōu)化結(jié)果符合實際要求，并設(shè)定一定步長，按模式搜索法分別沿dx0，dy0，dz0，α0，β0按一定的步長搜索。

(7)判定結(jié)果

如果某一輪搜索失敗，即搜尋計算值大于基點函數(shù)值，則步長減半進(jìn)行重新搜索迭代。

(8)精度判斷

設(shè)定閾值，若相鄰兩次搜尋計算目標(biāo)函數(shù)值的偏差小于10-5nm，則停止搜尋，此時搜尋結(jié)果值可以認(rèn)定為實際位置的調(diào)整量。更新基點，將最終的搜尋結(jié)果帶入方程(10)，即可很好地補(bǔ)償調(diào)整誤差，精確地將非共路誤差從子孔徑數(shù)據(jù)中分離，從而很好地實現(xiàn)了全口徑拼接檢測。

3 拼接檢測實驗

為了驗證調(diào)整誤差補(bǔ)償方法數(shù)學(xué)模型的可行性，對一偏離量為64.1μm的離軸非球面進(jìn)行了拼接檢測實驗。該非球面的通光口徑為230 mm× 141 mm，頂點曲率半徑為-1 358.8 mm，二次曲面系數(shù)為-1.59，離軸量為-88.44 mm。

SSI裝置如圖4所示，待測非球面安置在四維調(diào)整機(jī)構(gòu)上，可以精確調(diào)整非球面在X軸、Z軸方向上的平動以及沿X軸和Y軸方向的傾斜，干涉儀安裝在精密升降機(jī)構(gòu)上，可以調(diào)節(jié)其在X方向上的平動，所有測試裝備都安放在氣浮防震平臺上，子孔徑劃分如圖5所示。

圖4 SSI設(shè)備圖Fig.4 Experimental setup of SSI

圖5 子孔徑分布圖Fig.5 Distribution diagram of subapertures

首先，調(diào)節(jié)好干涉儀，使其參考球面波前的曲率半徑與待測非球面中心區(qū)域(中心基準(zhǔn)子孔徑0)的最接近球面半徑吻合，用干涉儀測量該區(qū)域的相位分布圖和干涉圖，如圖6(a)所示。調(diào)整待測非球面與干涉儀之間的相對位置，使干涉儀出射波前分別對準(zhǔn)待測非球面上區(qū)域(子孔徑1)和下區(qū)域(子孔徑2)，并分別使子孔徑1和子孔徑2與基準(zhǔn)子孔徑0有一定的重疊區(qū)域，用干涉法測定這兩個區(qū)域的干涉圖和相位分布分別如圖6 (b)和圖6(c)所示。

圖6 子孔徑測量結(jié)果Fig.6 Phasemaps and interferograms of three subapertures

圖7 按理論位置拼接面形分布Fig.7 Surfacemap by SSIwith theoretic parameters

利用理論位置調(diào)整參數(shù)值消除非共路誤差后全口徑拼接的面形誤差分布如圖7所示，其PV值和RMS值分別為4.763λ和0.682λ(λ= 632.8 nm)，可以看出，由于未對調(diào)整誤差進(jìn)行尋優(yōu)補(bǔ)償，此時面形分布有很大的“拼痕”。利用模式搜索算法求解各子孔徑的最優(yōu)位置參數(shù)如表1所示。各子孔徑的迭代目標(biāo)函數(shù)值的變化如圖8所示，3個子孔徑經(jīng)過70次左右迭代就能夠收斂到最優(yōu)解。從各子孔徑中消去最優(yōu)位置的非共路誤差，并利用Fuducial標(biāo)定投影畸變將各子孔徑的CCD像素坐標(biāo)統(tǒng)一到鏡面坐標(biāo)上，對重疊區(qū)域的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和求解，求得各子孔徑相對中心基準(zhǔn)子孔徑的調(diào)整誤差，通過綜合優(yōu)化拼接算法求得拼接后的面形分布，如圖9所示，面形誤差分布沒有明顯的“拼痕”，其PV值和RMS值分別為4.087λ和0.525λ。

表1 理論位置參數(shù)和搜索最優(yōu)化參數(shù)Table 1 Initial and optimum parameters of location

圖8 迭代目標(biāo)函數(shù)值的變化圖Fig.8 Trendline of iterative objective function

圖9 拼接后全口徑面形分布圖Fig.9 Surfacemap of whole aperture after stitching

圖10 零位補(bǔ)償測量面形分布圖Fig.10 Surfacemap of null-compensation test

為了驗證和對比子孔徑拼接檢驗的準(zhǔn)確性，設(shè)計了補(bǔ)償透鏡，利用零位補(bǔ)償干涉法對該離軸非球面進(jìn)行了全口鏡面形測量，檢測結(jié)果如圖10所示，其面形誤差分布的PV值和RMS值分別為4.064λ和0.511λ。比較可得：兩種測試方法所得的面形誤差分布是一致的，其PV值和RMS值的偏差分別為0.023λ和0.014λ，PV值和RMS值的相對偏差分別僅為0.57%和2.74%。

4 結(jié) 論

基于模式搜索迭代算法，提出了一種拼接調(diào)整誤差補(bǔ)償方法，該方法能很好地消除和補(bǔ)償子孔徑拼接測量過程中由于調(diào)整機(jī)構(gòu)沒有對準(zhǔn)所帶來的誤差，從而很好地完成對非球面子孔徑拼接的檢測。對該方法的基礎(chǔ)理論和實現(xiàn)步驟進(jìn)行了分析和研究，推導(dǎo)了子孔徑拼接測量調(diào)整誤差補(bǔ)償數(shù)學(xué)模型。結(jié)合工程實例對一高陡度離軸碳化硅非球面反射鏡進(jìn)行了調(diào)整誤差補(bǔ)償和相位數(shù)據(jù)拼接，所得的全口徑面形分布沒有明顯的“拼痕”，相對理論位置數(shù)據(jù)拼接更為準(zhǔn)確。拼接檢測與零位補(bǔ)償測量全口徑面形誤差分布是一致的，兩種測試方法面形PV值和RMS值的偏差分別優(yōu)于λ/40和λ/70。

［1］ HNSEL T，NICKEL A，SCHINDLER A.Stitching interferometry of aspherical surfaces［J］.SPIE，2001，4449：265-275.

［2］ CATANZARO B，CONNELL S.Cryogenic（70K）measurement of an all-composite 2-meter diameter mirror［J］.SPIE，2001，4444：238-255.

［3］ JON F，PAUL D，PAUL E M，et al..An automated subaperture stitching interferometer workstation for spherical and aspherical surfaces［J］.SPIE，2007，5188：296-307.

［4］ TRICARD M，SHOREY A，HALLOCK B，et al..Cost-effective，subaperture approaches to finishing and testing astronomical optics［J］.SPIE，2006，6273：62730L.

［5］ MURPHY P，F(xiàn)LEIG J，F(xiàn)ORBESG.Subaperture stitching interferometry for testingmild aspheres［J］.SPIE，2006，6293：62930J.

［6］ 鞏巖，趙磊.單點金剛石機(jī)床及其在光學(xué)工程領(lǐng)域的應(yīng)用［J］.中國光學(xué)，2011，4(6)：537-545. GONG Y，ZHAO L.Single point diamond machines and their applications to optical engineering［J］.Chinese Optics，2011，4(6)：537-545.(in Chinese)

［7］ ZHAO CH Y，BURGE JH.Stitching of off-axis sub-aperture nullmeasurements of an aspheric surface［J］.SPIE，2008，7063：706316.

［8］ MARC T，PAUL D，GREG F.Sub-aperture approaches for asphere polishing and metrology［J］.SPIE，2005，5638：284-299.

［9］ 王孝坤，王麗輝，張學(xué)軍，等.子孔徑拼接法檢測非球面［J］.光學(xué)精密工程，2007，15(2)：527-532. WANG X K，WANG L H，ZHANG X J.Testing asphere by subaperture stitching interferometric method［J］.Opt.Precision Eng.，2007，15(2)：192-198.(in Chinese)

［10］ 潘君驊.光學(xué)非球面的設(shè)計、加工和檢驗［M］.北京：科學(xué)出版社，1994. PAN JH.Design，F(xiàn)abrication and Testing of Optical Aspheres［M］.Beijing：Science Press，1994.(in Chinese)

［11］ MALACARA D.Optical Shop Testing［M］.New York：John Wiley&Sons，Inc.1992.

［12］ 侯溪，伍凡.大型雙曲面次鏡面形檢測技術(shù)現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢［J］.中國光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)，2010，3(4)：310-317. HOU X，WU F.Status and trends of surface measurement technologies for large hyperboloidal secondary mirrors［J］. Chinese J.Opt.Appl.Opt.，2010，3(4)：310-317.(in Chinese)

［13］ 韓昌元.近代高分辨地球成像商業(yè)衛(wèi)星［J］.中國光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)，2010，3(3)：201-208. HAN CH Y.Recent earth imaging commercial satelliteswith high resolutions［J］.Chinese J.Opt.Appl.Opt.，2010，3 (3)：201-208.(in Chinese)

［14］ WANG X K，WANG L H.Measurement of large aspheric surfaces byannular subaperture stitching interferometry［J］. Chinese Optics Letters，2007，11(5)：645-647.

［15］ WANG X K，ZHENG LG，ZHANGB Z，etal..Subaperture stitching interferometry for testing ofa large hyperboloid［J］. Infrared and Laser Eng.，2009，38(1)：88-93.

［16］ WANG X K，ZHENG L G，ZHANG B ZH，et al..Test of an off-axis asphere by subaperture stitching interferometry［J］. SPIE，2009，7283：72832J.

Compensation ofm isalignment error on testing aspheric surface by subaperture stitching interferometry

WANG Xiao-kun
(Key Laboratory of Optical System Advanced Manufacturing Technology，Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China)
*Corresponding author，E-mail：jimwxk@sohu.com

For the purpose to decrease the misalignment error from a testing aspheric surface by Subaperture Stitching Interferometry(SSI)，a translated error compensationmethod is proposed to subtract themisalignment error from each phase detum and to stitchmulti-subapertures precisely.The basic principle and process of the method are researched，and a compensationmode is established based on themode search algorithm.The experiment is carried on for an off-axis SiC asphericmirrorwith a clear aperture of230mm×141mm，the phase data of the whole aperture are stitched precisely and the figure error is compensated by eliminating the misalignment error.For the comparison and validation，the asphere mirror is also tested by null compensation method，and the relative errors of PV and RMS are 0.57%and 2.74%，respectively.

Subaperture Stitching Interferometry(SSI)；aspheric surface；misalignment error；mode search algorithm；non-common path error

TQ171.65；O436.1

A

10.3788/CO.20130601.0088

1674-2915(2013)01-0088-08

2012-09-14；

2012-11-13

國家863高技術(shù)研究發(fā)展計劃資助項目(No.08663NJ090)；國家自然科學(xué)基金重點項目(No.61036015)

王孝坤(1980—)，男，江蘇丹陽人，博士，副研究員，碩士生導(dǎo)師，2003年于徐州師范大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，2008年于中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所獲得博士學(xué)位，主要從事先進(jìn)光學(xué)制造技術(shù)等方面的研究。E-mail：jimwxk@sohu.com