谷愛玲，李仲飛, 申曙光

(1. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275；2. 廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006；3. 中山大學(xué)金融工程與風(fēng)險管理研究中心，廣東 廣州 510275)

1952年文獻(xiàn)[1]提出了均值-方差投資組合選擇理論，之后此理論得到后人的不斷應(yīng)用及推廣[2-5]?，F(xiàn)在均值-方差準(zhǔn)則已經(jīng)成為現(xiàn)代投資理論的基礎(chǔ)。自從保險公司被允許向金融市場投資以來，保險公司的最優(yōu)投資問題成為學(xué)者們研究的焦點[6-10]。鑒于均值-方差準(zhǔn)則的優(yōu)點，部分學(xué)者在此準(zhǔn)則下研究了保險公司的最優(yōu)投資問題。如文獻(xiàn)[11-14]：文獻(xiàn)[11]依據(jù)最大值原理給出了保險公司的最優(yōu)投資策略；文獻(xiàn)[12]在粘性解的意義下給出了最優(yōu)的投資策略；文獻(xiàn)[13]根據(jù)鞅方法給出了保險公司的最優(yōu)投資策略，其中保險公司的索賠過程由一維Lévy過程描述，保險公司只投資于一個無風(fēng)險資產(chǎn)和一個風(fēng)險資產(chǎn)，風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程由一般的布朗運動描述；文獻(xiàn)[14]利用隨機(jī)控制的方法得到均值-方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資策略，其中保險公司的索賠過程由一維Lévy過程描述，金融市場由一個無風(fēng)險資產(chǎn)和一個風(fēng)險資產(chǎn)組成，風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程由一維的Lévy過程驅(qū)動。然而上述文獻(xiàn)中保險公司的盈余過程只用一個變量表示，相當(dāng)于保險公司只經(jīng)營一種保險業(yè)務(wù)。事實上，保險公司包括多個業(yè)務(wù)部門，保險公司的盈余由各個業(yè)務(wù)部門的業(yè)績決定。因此，采用多變量描述保險公司的風(fēng)險模型顯得更為合理。本文采用兩個變量描述保險公司的風(fēng)險模型 (可以理解為保險公司含有兩個業(yè)務(wù)部門)，分別在基準(zhǔn)準(zhǔn)則和均值-方差準(zhǔn)則下討論保險公司的最優(yōu)投資問題，推廣了文獻(xiàn)[14]的部分結(jié)果。

為了更好的描述保險公司的盈余過程，很多學(xué)者已經(jīng)采用多變量來描述保險公司的風(fēng)險模型。具體參見文獻(xiàn)[15-19]，其中多數(shù)文獻(xiàn)[15-18]研究了保險公司的破產(chǎn)概率問題，只有文獻(xiàn)[18-19 ]涉及到了保險公司的最優(yōu)投資問題。文獻(xiàn)[18]考慮了具有兩個業(yè)務(wù)部門的保險公司的最優(yōu)投資問題，其中金融市場由兩個幾何布朗運動描述的風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成，每個業(yè)務(wù)部門投資一個風(fēng)險資產(chǎn)。在投資策略為常數(shù)的假設(shè)下，文獻(xiàn)[18]以最小化破產(chǎn)概率為目標(biāo)得到最優(yōu)的常數(shù)投資策略；文獻(xiàn)[19]研究了具有n個業(yè)務(wù)部門的保險公司的最優(yōu)投資問題，每個業(yè)務(wù)部門投資一個風(fēng)險資產(chǎn)，用兩個不同的n維Lévy過程分別描述n個業(yè)務(wù)部門的索賠之間的相關(guān)性和n個風(fēng)險資產(chǎn)價格跳動之間的相關(guān)性。文獻(xiàn)[19]以最大化保險公司終端財富的負(fù)指數(shù)效用為目標(biāo)，得到了最優(yōu)投資策略的半解析解，且最優(yōu)投資策略是與初始盈余無關(guān)的常數(shù)。文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[19]雖然以多變量描述保險公司的風(fēng)險過程，且考慮了每個業(yè)務(wù)部門之間索賠的相關(guān)性，然而，他們得到的最優(yōu)投資策略均為常數(shù)且與保險公司的索賠過程無絲毫關(guān)系，這顯然與事實不符，之所以得到這樣的結(jié)果與他們采用的投資準(zhǔn)則有關(guān)。因此，為了制定更為有效合理的投資策略，必須選擇合適的投資準(zhǔn)則。于是，本文選用均值-方差作為投資準(zhǔn)則，并且得到了與初始盈余以及保險公司的索賠相關(guān)的最優(yōu)投資策略。

本文借鑒文獻(xiàn)[19]中的保險公司的風(fēng)險模型，研究了具有兩個業(yè)務(wù)部門的保險公司的最優(yōu)投資問題。不同于文獻(xiàn)[19]，文中的金融市場不僅由兩個風(fēng)險資產(chǎn)組成，而且還包括一個無風(fēng)險資產(chǎn)，這樣保險公司可以將錢存入銀行或向銀行借款，更符合現(xiàn)實；而且文中的投資由專門的業(yè)務(wù)部門負(fù)責(zé)管理，這樣可以在降低保險公司面臨的風(fēng)險的基礎(chǔ)上，更好的利用公司的總盈余為公司帶來更高利潤。文中以兩個相關(guān)的布朗運動分別表示兩業(yè)務(wù)部門的額外保費收入，用二維的Lévy過程刻畫兩業(yè)務(wù)部門的索賠過程，以描述兩個索賠過程在索賠次數(shù)及強(qiáng)度上的相關(guān)性。當(dāng)Lévy測度取特殊值時，保險公司的風(fēng)險模型就可轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)[18]中的風(fēng)險模型。文中兩個風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程是由帶跳的幾何布朗運動描述。由于某些風(fēng)險資產(chǎn)(如股票)價格的跌漲與某一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象， 政策條款的出臺，政治事件的發(fā)生密切相關(guān)。這就引發(fā)了風(fēng)險資產(chǎn)之間也存在一定的相關(guān)性。我們分別用兩個相關(guān)的布朗運動和一個二維的Lévy過程刻畫兩風(fēng)險資產(chǎn)價格的波動和跳，以描述兩風(fēng)險資產(chǎn)之間的相關(guān)性。本文分別采用基準(zhǔn)準(zhǔn)則和均值-方差準(zhǔn)則建立了兩個相應(yīng)的優(yōu)化問題。利用動態(tài)規(guī)劃方法，我們得到第一個優(yōu)化問題的最優(yōu)投資策略和最優(yōu)值函數(shù)的解析式；結(jié)合第一個優(yōu)化問題的結(jié)果，利用對偶定理得到第二個優(yōu)化問題的最優(yōu)投資策略和有效前沿。我們發(fā)現(xiàn)：在只有一個業(yè)務(wù)部門且風(fēng)險資產(chǎn)只有一個的情況下，我們的最優(yōu)投資策略與文獻(xiàn)[14]在某種情況下的投資策略一致。

1 基本假設(shè)

設(shè)(Ω,F,{Ft}0≤t≤T,P)是賦流完備的概率空間，其中Ft表示到時刻t為止所獲得的信息總和，時刻t的決策基于信息流Ft，T是有限正數(shù)，代表投資期的長度。假設(shè)文中所有隨機(jī)過程均為此賦流概率空間上的適應(yīng)過程。假設(shè)保險公司有兩個業(yè)務(wù)部門，兩個業(yè)務(wù)部門的索賠風(fēng)險是相關(guān)的且索賠過程由Lévy過程驅(qū)動(參見文獻(xiàn)[19])。于是，第i個業(yè)務(wù)部門的盈余過程可描述為

Xi(t)=xi+cit+σiBi(t)-

(1)

假設(shè)允許保險公司將其盈余投資于金融市場且金融市場由一個無風(fēng)險資產(chǎn)(如債券)和兩個風(fēng)險資產(chǎn) (如股票) 組成。無風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程滿足

dS0(t)=r0S0(t)dt,S0(0)=s0,t∈[0,T]

(2)

其中，r0>0是常數(shù)，表示無風(fēng)險利率；風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程由Lévy過程描述

i=1,2,t∈[0,T]

(3)

(4)

2 基準(zhǔn)準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資

這一節(jié)，尋求最優(yōu)的投資策略使得保險公司的終端盈余盡可能達(dá)到某一個基準(zhǔn)值(M>0)。如用距離的平方來刻畫終端財富與M的偏差，則形成下列的優(yōu)化問題

(5)

因此，在初始狀態(tài)(t,x)下的最優(yōu)值函數(shù)可以表示為

(6)

其中，Et,x[·]表示在X(t)=x下的條件期望。我們的目標(biāo)是尋求優(yōu)化問題(6)的最優(yōu)投資策略π*以及最優(yōu)值函數(shù)V(t,x)。

接下來，我們利用動態(tài)規(guī)劃方法給出優(yōu)化問題(6)的Hamilton-Jacobi-Bellman(簡稱HJB)方程。 為方便，對?W(t,x)∈C1,2定義變分算子

π2(t)z2)1{‖z‖<1}]vS(dz)+

(7)

滿足邊界條件W(T,x)=(x-M)2。

為方便表述，記

(8)

(9)

W(t,x)=P(t)x2+Q(t)x+R(t)

其中P(t)、Q(t)和R(t)是關(guān)于t的確定性連續(xù)函數(shù)，滿足邊界條件P(T)=1,Q(T)=-2M,R(T)=M2。根據(jù)W(t,x)的表達(dá)式，我們得到下列等式

將上式代入HJB方程，簡化得

(10)

對(10)式左端大括號內(nèi)π1(t)和π2(t)求導(dǎo)，根據(jù)一階條件得

于是，

下面具體求解P(t)、Q(t)和R(t)。將π1(t,x)和π2(t,x)代入(10)式，有

Ptx2+Qtx+Rt+(2P(t)x+Q(t))(c+xr0)+

令上式中x2和x的系數(shù)以及常數(shù)項分別為零，得

Pt+P(t)(2r0-A)=0,P(T)=1;

Qt+Q(t)(r0-A)+2P(t)c=0,Q(T)=-2M;

求解上面三個一階線性微分方程得

P(t)=e-(2r0-A)(t-T);

故

定理 2的證明與文獻(xiàn)[20]中的定理8.1類似，從略。

3 均值-方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資

本節(jié)我們建立均值-方差模型。在定理2的基礎(chǔ)上借助對偶理論，我們得到均值-方差問題的最優(yōu)投資策略以及有效前沿，并分析了兩風(fēng)險資產(chǎn)的相關(guān)性對有效前沿的影響。

3.1 模型的建立與求解

首先，我們建立均值-方差模型。用方差來度量保險公司的風(fēng)險，在終端財富期望達(dá)到某一定值M>0的情形下，選擇最優(yōu)的投資策略使終端財富的方差最小，即

(11)

問題(11)是一個條件極值問題，不妨令其值函數(shù)為J(x0)。我們通過拉格朗日乘子法，將問題(11)轉(zhuǎn)化為無條件極值問題。 引入拉格朗日乘子λ∈R，定義拉格朗日函數(shù)

(12)

利用對偶理論，有

(13)

下面尋求最優(yōu)的投資策略π*和拉格朗日乘子λ*，使得J(x0)=Jπ*(x0,λ*)。

(14)

Jπ*(x0,λ)關(guān)于λ是一個凹函數(shù)，故上式對λ求導(dǎo)，得到最大值點λ*

(15)

概括上述的分析過程，可得到如下定理

定理3 均值-方差問題 (11) 的有效前沿為

(16)

相應(yīng)的最優(yōu)投資策略為

(17)

注4 定理3表明： 投資在風(fēng)險資產(chǎn)1 (或2) 上的金額不僅與風(fēng)險資產(chǎn)1(或2)的收益狀態(tài)有關(guān)而且與資產(chǎn)2 (或1) 的收益情況緊密聯(lián)系，這主要是資產(chǎn)的相關(guān)性決定的。

注5 當(dāng)業(yè)務(wù)部門只有一個且金融市場只包含一個風(fēng)險資產(chǎn)和一個無風(fēng)險資產(chǎn)時，定理3 可退化為文獻(xiàn)[14]中的定理4.2，其中參數(shù)α=0,λ(t)是常數(shù)。

推論1 若保險公司投資于同一個風(fēng)險資產(chǎn) (假設(shè)為風(fēng)險資產(chǎn)1)，則均值-方差問題(11)的有效前沿為

相應(yīng)的最優(yōu)投資策略為

3.2 結(jié)果分析

不失一般性，本節(jié)以t=0時刻為例分析兩支股票的相關(guān)性對均值-方差問題(11) 的最優(yōu)投資策略及有效前沿的影響。

由最優(yōu)投資策略的解析形式 (17) 知， 時刻t=0 時的最優(yōu)投資為

可見，保險公司根據(jù)兩風(fēng)險資產(chǎn)收益率的比較而選擇不同的投資形式。具體情況如下：

第二支股票的賣空金額不得超過

其中

其中

4 結(jié)束語

本文研究了具有兩個業(yè)務(wù)部門的保險公司的最優(yōu)投資問題，其中兩業(yè)務(wù)部門的索賠之間及所投資的風(fēng)險資產(chǎn)之間都存在一定的相關(guān)性。這一問題切合實際。如保險公司包括財產(chǎn)保險業(yè)務(wù)和人身保險業(yè)務(wù)，當(dāng)一場車禍發(fā)生時，會同時發(fā)生財產(chǎn)保險的索賠及醫(yī)療費用的償付等。本文借鑒文獻(xiàn)[19]中的風(fēng)險相關(guān)性，用兩維的Lévy 測度描述兩業(yè)務(wù)部門的索賠過程。金融市場由一個無風(fēng)險資產(chǎn)和兩個風(fēng)險資產(chǎn)組成，且風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程是用二維的Lévy 過程表示跳的幾何布朗運動描述。分別依據(jù)基準(zhǔn)準(zhǔn)則和均值-方差準(zhǔn)則，我們得到了最優(yōu)投資策略以及相應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)的解析形式。進(jìn)一步，我們具體分析了均值-方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資策略，發(fā)現(xiàn)投資某一資產(chǎn)上最優(yōu)投資策略與兩個風(fēng)險資產(chǎn)的參數(shù)密切相關(guān)。同時，證實了投資于不同的風(fēng)險資產(chǎn)比投資于同一風(fēng)險資產(chǎn)更有利于降低風(fēng)險；對于具有正相關(guān)的的兩個風(fēng)險資產(chǎn)，保險公司應(yīng)該投資于價格的跳動及波動均有相關(guān)性的風(fēng)險資產(chǎn)，這樣更有利于降低保險公司在終端時刻面臨的風(fēng)險。

本文的不足之處是只考慮了含兩個業(yè)務(wù)部門的保險公司的最優(yōu)投資問題，沒有考慮保險公司的再保險策略。事實上，由于粘性解的產(chǎn)生，同時考慮保險公司的再保險和投資問題比較難處理。但這可作為我們以后的研究方向。

參考文獻(xiàn)：

[1] MARKOWITZ H. Portfolio selection [J]. Journal of Finance, 1952, 7: 77-91.

[2] LI D, NG W L. Optimal dynamic portfolio selection: multiperiod mean-variance formulation [J]. Mathematical Finance, 2000, 10: 387-406.

[3] ZHOU X Y, LI D. Continuous-time mean-variance portfolio selection: a stochastic LQ framework [J]. Applied Mathematics and Optimization, 2000, 42: 19-33.

[4] LIM A E B, ZHOU X Y. Mean-variance portfolio selection with random parameters in a complete market [J]. Mathematics of Operations Research, 2002, 27: 101-120.

[5] ZHOU X Y, YIN G. Markowitz mean-variance portfolio selection with regime switching: a continuous time model [J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 2003, 42: 1466-1482.

[6] TAKSAR M, MAKUSSEN C. Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance portfolios [J]. Finance Stochastics, 2003, 7: 97-121.

[7] PROMISLOW D S, YOUNG V R. Minimizing probability of ruin when claims flow Brownian motion with drift [J]. North American Actuarial Journal, 2005, 9: 109-128.

[8] LUO S L. Ruin minimization for insurers with borrowing constraints [J]. North American Actuarial Journal, 2008, 12: 143-174.

[9] 曾燕, 李仲飛. 線性約束下保險公司的最優(yōu)投資策略 [J]. 運籌學(xué)學(xué)報, 2010, 14(2): 106-118.

[10] YANG H L, ZHANG L H. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2005, 37: 615-634.

[11] ZENG Y, LI Z F, LIU J J. Optimal strategies of benchmark and mean-variance portfolio selection problems for insurers [J]. Journal of Industrial and Management Optimization, 2010, 6: 483-496.

[12] BAI L H, ZHANG H. Dynamic mean-variance problem with constrained risk control for the insurers [J]. Mathematical Methods of Operations Research, 2008, 68: 181-205.

[13] WANG Z W, XIA J M, ZHANG L H. Optimal investment for an insurer: the martingale approach [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2007, 40: 322-334.

[14] DELONG K, GERRARD R. Mean-variance portfolio selection for a non-life insurance company [J]. Math Meth Oper Res, 2007, 66: 339-367.

[15] YUEN K C, GUO J Y, WU X Y. On the first time of ruin in the bivariate compound Poisson model [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2006, 38: 298-308.

[16] COLLAMORE J F. Importance sampling techniques for the multidimensional ruin problem for general Markov additive sequences of random vectors [J]. The Annals of Applied Probability, 2002, 12: 382-421.

[17] HULT H, LINDSKOG F. Heavy-tailed insurance portfolios: buffer capital and ruin probabilities [R]. School of ORIE, Cornell University, Technical Report No.1441, 2006.

[18] 張明善, 姚珣, 趙武,等. 二元風(fēng)險模型下的保險公司最優(yōu)投資策略 [J]. 管理工程學(xué)報, 2011, 25: 228-231.

[20] FLEMING W H, SONER H M. Controlled markov processes and viscosity solutions [M]. Berlin，New York: Springer, 1993.