王 謙 岳殿武，2 閆秋娜

(1.大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116026；2.東南大學(xué)移動(dòng)通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096)

引 言

隨著對(duì)無線通信業(yè)務(wù)需求的日益增加，人們對(duì)傳輸速率等指標(biāo)提出了更高的要求.理論研究表明多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output， UMIMO)多天線無線通信系統(tǒng)和傳統(tǒng)單發(fā)單收單天線系統(tǒng)相比可顯著提高系統(tǒng)的信道容量，因而MIMO技術(shù)成為當(dāng)今無線通信領(lǐng)域的熱門話題[1].

根據(jù)發(fā)射端對(duì)信道狀態(tài)信息(Channel State Information,CSI)的掌握程度不同，MIMO信道容量存在很大差異.發(fā)射端獲得CSI的程度大致分為三類：1)完全獲知CSI；2)部分獲知CSI；3)完全未知CSI.理論研究表明，在獲得不同程度CSI情況下，發(fā)射端對(duì)發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣的構(gòu)造方式存在很大差異，相應(yīng)的信道容量也有很大區(qū)別[1].部分獲知CSI是指發(fā)射端已知關(guān)于信道的統(tǒng)計(jì)信息，如關(guān)于信道的協(xié)方差信息.因?yàn)樾诺谰仃嚨南嚓P(guān)性關(guān)于時(shí)間相對(duì)穩(wěn)定，所以進(jìn)行協(xié)方差反饋可以極大地減少額外開支，且系統(tǒng)相對(duì)便于實(shí)現(xiàn).完全獲知CSI系統(tǒng)性能最好，但實(shí)踐難度最大；而完全未知CSI 時(shí)，理論比較容易展開，但實(shí)際性能要比部分獲知CSI情況差很大[1-2].因此，這里將著重探討最重要的部分獲知CSI情況.

在無同信道干擾情況下，發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣完全決定于MIMO信道的統(tǒng)計(jì)特性[3-4].在瑞利衰落下，文獻(xiàn)[3-4]將信道容量建立為矩陣變量的優(yōu)化問題.其中文獻(xiàn)[3]考慮了存在接收相關(guān)的MIMO信道，而文獻(xiàn)[4]則將MIMO信道模型推廣到既存在接收相關(guān)又存在發(fā)射相關(guān)的MIMO信道情況.此外，文獻(xiàn)[3-4]還給出了利用協(xié)方差反饋所得最優(yōu)發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣所具有的特征，以及在此情況下波束成型技術(shù)可以獲得最優(yōu)性能的充分必要條件.對(duì)于任意給定發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣，文獻(xiàn)[5]則推導(dǎo)出遍歷信道容量的閉式表達(dá)式.在賴斯信道下，MIMO信道容量取決于均值和協(xié)方差的反饋信息.由于在該信道下的分析難度較大，已知的研究或者對(duì)信道模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化[6]，或者對(duì)發(fā)射信號(hào)進(jìn)行了限制[7].其中文獻(xiàn)[6]針對(duì)多輸入單輸出系統(tǒng)提出一種利用均值與協(xié)方差信息反饋的信道容量?jī)?yōu)化方案；而文獻(xiàn)[7]則針對(duì)MIMO系統(tǒng)給出小信噪比下發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣的表達(dá)形式.通過利用遍歷容量的二階近似，文獻(xiàn)[8]對(duì)容量的最優(yōu)化問題進(jìn)行了深一步探討.

在現(xiàn)代通信系統(tǒng)特別是蜂窩移動(dòng)通信系統(tǒng)中，為了提高頻譜利用率，相距足夠遠(yuǎn)的通信鏈路常采用相同的載頻，這將不可避免地在通信過程中引入嚴(yán)重影響通信質(zhì)量的同信道干擾[9].當(dāng)存在同信道干擾時(shí)，相關(guān)結(jié)論還鮮有報(bào)導(dǎo)，所以，將探討部分獲知CSI情況下具有同信道干擾的MIMO遍歷信道容量最優(yōu)化問題.特別地通過已知的協(xié)方差信息，利用大數(shù)定理和非線性規(guī)劃理論中的梯度映射算法，提出一種發(fā)射信號(hào)協(xié)方差矩陣的近似最優(yōu)構(gòu)造方式，并通過仿真分析給出一些相關(guān)性質(zhì).

1 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)具有M根發(fā)射天線和N根接收天線的MIMO系統(tǒng)，則發(fā)射端與接收端之間的信道可以用N×M的信道矩陣H表示.令其衰落統(tǒng)計(jì)為瑞利分布，發(fā)射端相關(guān)矩陣為Ωt，接收端相關(guān)矩陣為Ωr.現(xiàn)假設(shè)接收端的相關(guān)矩陣為單位對(duì)角矩陣，即Ωr=IN.這表示接收天線元素之間是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的.該假設(shè)適用于接收天線距離較大的上行鏈路，即接收端為基站的情況.假設(shè)外界同信道干擾源個(gè)數(shù)為L(zhǎng)，第i個(gè)干擾源具有Mi根干擾天線，其至接收端的信道矩陣為Hi，而矩陣Hi的內(nèi)部元素服從獨(dú)立同分布的瑞利衰落，這里i=1，2，…，L.則在接收端，N維接收信號(hào)向量y可以表示為

(1)

式中：ρ和ηi分別表示發(fā)射信噪比和第i個(gè)干擾源的干擾噪聲比； 向量n表示高斯白噪聲向量，它的協(xié)方差矩陣為IN；x和xi分別表示發(fā)射信號(hào)和第i個(gè)干擾源的干擾信號(hào)，二者均為零均值的高斯向量，具有的協(xié)方差矩陣分別為S和Si，i=1，…，L.最后假設(shè)Si=IMi/Mi，其中IM表示M階的單位對(duì)角矩陣.由文獻(xiàn)[10]可知，這是一種容量下界的情況.

假設(shè)接收端可以獲得準(zhǔn)確的CSI，而發(fā)射端僅獲知信道發(fā)射端的互相關(guān)矩陣Ωt以及干擾功率ηi，i=1，…，L，根據(jù)信息論理論，條件互信息量可以表示為[1]

(2)

式中

(3)

所以遍歷信道容量表示為[1]

I=E(IH，Hi，1≤i≤L)

(4)

式中E(·)表示統(tǒng)計(jì)平均.

2 遍歷容量的近似最優(yōu)化

首先考慮對(duì)同信道干擾成分的等效.當(dāng)干擾天線數(shù)目很大時(shí)，因?yàn)榫仃嘓i的元素服從獨(dú)立同分布的瑞利衰落，所以由文獻(xiàn)[1]的結(jié)論可以得到下列關(guān)系

(5)

將式(5)代入式(3)，即得到

(6)

(7)

(8)

(9)

并將式(8)和(9)帶入式(7)，可得到

(10)

(11)

令Λs=diag(s1，…，sM)，Λt=diag(t1，…，tM).同時(shí)為了便于書寫，令s=(s1，…，sM)T，t=(t1，…，tM)T.遍歷信道容量的最優(yōu)化問題就化為了以下問題：

s.t.s1+…+sM=1，

si≥0，i=1，…，M.

(12)

令滿足式(12)限制條件的所有元素的集合為Δ.

對(duì)于式(12)，至今最優(yōu)解向量s仍然無法利用閉式表達(dá)[4]，所以與文獻(xiàn)[11]的分析思路相似，將利用梯度映射算法，通過迭代實(shí)現(xiàn)遍歷信道容量的優(yōu)化.

首先，定義下列符號(hào)，以引出遍歷容量的閉式表達(dá)式.令

(13)

利用文獻(xiàn)[5]的結(jié)論，當(dāng)M≤N時(shí)，遍歷容量表達(dá)式為

(14)

式中：Φ1(k)的(i,j)位置的元素

{Φ1(k)}i，j=

(15)

(16)

(17)

至于M>N的情況，將在附錄中給出表達(dá)式.

梯度映射算法常用于求解帶有約束條件的函數(shù)最優(yōu)值問題，該算法是最速下降法在約束條件下的延伸[15].在上文背景下，其步驟如下：

1) 設(shè)定最大迭代次數(shù)kmax和起始點(diǎn)s(0)=(s1(0)，…，sM(0))T，使其滿足s(0)∈Δ，此時(shí)令k=0.

2) 計(jì)算遍歷容量表達(dá)式I在點(diǎn)(s1(k)，…，sM(k))處的梯度g.則g可以表示為

(18)

3) 選擇合適的γk，并令

s′(k)=s(k)+γkg(k).

(19)

5) 選擇合適的αk，并令

(20)

6) 令k=k+1，檢查k是否達(dá)到了最大迭代次數(shù)kmax，如果達(dá)到kmax則退出迭代；如果未達(dá)到kmax，則檢查s(k+1)-s(k)中最大元素的取值δ，如果δ大于預(yù)設(shè)值ε，則回到第2步；如果δ≤ε，則退出迭代.

在進(jìn)行上述算法的過程中，主要涉及如下4方面內(nèi)容：

1) 初值的選擇和對(duì)向量的排序問題；

2) 導(dǎo)數(shù)的求解；

4) 如何選擇合適的步長(zhǎng)αk.

下面對(duì)以上問題逐個(gè)進(jìn)行解決.

2.1 初始值的選擇和對(duì)向量元素的排序

2.2 導(dǎo)數(shù)的求解

為了便于分析，分別考慮式(14)的分子和分母部分.

對(duì)于分母部分，令

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

對(duì)于分子部分，令

F2(k)=det(Φ1(k))，

(27)

{F2(k，r，m)}i，j=

(29)

(30)

(31)

I1(n，u，b)= (-1)n-1bnebuEi(-bu)+

(32)

(33)

(34)

2.3 映射

應(yīng)用文獻(xiàn)[11]可以得到

(35)

(36)

不難看出，式(36)是μ的單調(diào)遞減函數(shù)，而μ的取值可以利用二分法[16]獲得.

2.4 步長(zhǎng)αk的確定

利用Armijo法則[15]可獲得步長(zhǎng)αk.在算法迭代過程中，令γk=1，β是取值在0.1到0.5之間的常數(shù)，σ是取值在0到1之間的常數(shù)，并令αk=βmk其中mk的取值即為最小的使不等式(37)成立的非負(fù)整數(shù).

I(s(k+1))-I(s(k))

(37)

3 仿真結(jié)果

首先觀察本文方法的容量性能，并與完全獲知CSI、完全未知CSI兩種典型系統(tǒng)容量進(jìn)行對(duì)比.為便于說明，分別簡(jiǎn)稱以上兩種系統(tǒng)為Ⅰ系統(tǒng)和Ⅱ系統(tǒng)，而本文方法對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)簡(jiǎn)稱為Ⅲ系統(tǒng).Ⅰ系統(tǒng)容量通過廣義注水算法(Ceneralized Water Filling,GWF)獲得[11]；Ⅱ系統(tǒng)容量通過信號(hào)協(xié)方差矩陣取單位對(duì)角矩陣獲得[1].

圖1比較三種系統(tǒng)的遍歷容量.圖中每個(gè)系統(tǒng)含有2根發(fā)射天線和2根接收天線，發(fā)射信噪比為10 dB，r=0.9，共有2個(gè)等功率干擾源，每個(gè)干擾源帶有2根干擾天線.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，Ⅲ系統(tǒng)的容量始終介于Ⅰ系統(tǒng)和Ⅱ系統(tǒng)容量之間.

圖1 三種系統(tǒng)容量比較

為了考察Ⅲ系統(tǒng)的實(shí)用性，我們從信噪比、干擾源天線數(shù)以及相關(guān)系數(shù)三方面進(jìn)行仿真.為了便于比較，定義Ⅲ系統(tǒng)的容量為CGP，I系統(tǒng)的容量為CGWF，Ⅱ系統(tǒng)的容量為CNoCSI，并定義容量比x1=CGP/CGWF，容量比x2=CNoCSI/CGP.容量比x1表示Ⅲ系統(tǒng)容量與Ⅰ系統(tǒng)容量接近程度；而容量比x2表示Ⅱ系統(tǒng)容量與Ⅲ系統(tǒng)容量的接近程度.

圖2，3和4分別比較信噪比，干擾天線數(shù)目以及相關(guān)系數(shù)r對(duì)x1的影響.仿真過程假設(shè)收發(fā)天線數(shù)相等，均為2.圖2中令干擾天線數(shù)目為2，r=0.1.圖3中信噪比為20 dB，r=0.1，并且橫軸的SIR表示信號(hào)總功率與總干擾功率的比值.圖4中信噪比取20 dB，干擾天線個(gè)數(shù)為2.由仿真曲線可以看出:信噪比的取值越大以及干擾天線數(shù)目越少，Ⅲ系統(tǒng)容量與I系統(tǒng)容量越接近；而相關(guān)系數(shù)對(duì)性能的影響則相對(duì)復(fù)雜，通過曲線可以看出：在低信干比即強(qiáng)干擾處，r的取值越大，兩系統(tǒng)的容量性能越接近；當(dāng)信干比取值較大即干擾較弱時(shí)，結(jié)論恰好相反.由此可得，在強(qiáng)干擾和強(qiáng)相關(guān)以及在弱干擾和弱相關(guān)情況下，Ⅲ系統(tǒng)容量將接近I系統(tǒng)容量.

圖2 Ⅲ系統(tǒng)與Ⅰ系統(tǒng)容量比隨信噪比變化情況

圖3 Ⅲ系統(tǒng)與Ⅰ系統(tǒng)容量比隨干擾天線數(shù)目變化情況

圖4 Ⅲ系統(tǒng)與Ⅰ系統(tǒng)容量比隨相關(guān)系數(shù)變化情況

我們也分別觀察了信噪比、干擾天線數(shù)目以及相關(guān)系數(shù)r對(duì)x2的影響，相應(yīng)的關(guān)于容量比x2的仿真結(jié)果分別類似圖2，3和4.這些仿真結(jié)果可以總結(jié)為，在強(qiáng)干擾和很強(qiáng)的相關(guān)特性時(shí)，x2的取值較小，Ⅲ系統(tǒng)容量相比II系統(tǒng)容量明顯提高.

綜上可以得出，在強(qiáng)干擾以及信道矩陣具有很強(qiáng)相關(guān)性時(shí)，我們所考慮的協(xié)方差反饋系統(tǒng)具有很高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

圖5 Ⅲ系統(tǒng)容量隨信道矩陣相關(guān)系數(shù)r的變化情況

下面通過Monte-Carlo仿真觀察Ⅲ系統(tǒng)容量隨信道矩陣相關(guān)系數(shù)r的變化情況，圖5考慮2發(fā)2收的MIMO系統(tǒng)，發(fā)射信噪比為20 dB，系統(tǒng)帶有3個(gè)干擾源，每個(gè)干擾源裝備2根天線.由仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)SIR大于一個(gè)取值后，容量取值將隨r的增加而減小，當(dāng)SIR小于這個(gè)取值時(shí)，結(jié)論恰好相反.

在實(shí)際通信鏈路中，干擾信道往往具有發(fā)射相關(guān)性，干擾信號(hào)協(xié)方差矩陣Si取值也往往與本文的假設(shè)不同，由文獻(xiàn)[10]可知，該遍歷容量性能將優(yōu)于此前討論的情況.為了便于討論，定義IV系統(tǒng)如下：所有干擾信道的發(fā)射相關(guān)矩陣為指數(shù)模型并且相關(guān)系數(shù)ri都相等，Si為利用天線數(shù)歸一化的單位對(duì)角矩陣.

圖6的仿真曲線是利用3發(fā)3收系統(tǒng)得到，系統(tǒng)帶有1個(gè)干擾源，干擾天線數(shù)為4，發(fā)射信噪比為20 dB，r和ri的取值如圖所示.注：(a，b)=(r=a，ri=b).

圖6 Ⅲ系統(tǒng)容量與IV系統(tǒng)容量的比較

由仿真結(jié)果圖6可以看出:本文模型Ⅲ是相同信道模型下的容量下界，然而與更為一般的IV系統(tǒng)相比，容量的差別很小，尤其當(dāng)信噪比很大時(shí)，兩種模型可以相互等效.

4 結(jié) 論

在帶有同信道干擾和協(xié)方差矩陣反饋情況下，提出了優(yōu)化MIMO系統(tǒng)信道容量的傳輸方案.通過仿真發(fā)現(xiàn)在強(qiáng)干擾以及信道矩陣具有很強(qiáng)相關(guān)性的條件下文中所提出的方案可以接近最優(yōu)傳輸方案.

帶有同信道干擾的MIMO系統(tǒng)信道容量問題，理論研究難度很大，但卻十分有實(shí)踐意義.值得注意的是，目前涌現(xiàn)的理論相關(guān)的干擾對(duì)齊技術(shù)已在通信學(xué)界得到廣泛關(guān)注[14].

附錄A

由文獻(xiàn)[5]，當(dāng)M>N時(shí)，遍歷容量的表達(dá)式可以寫成如下形式：

(A1)

式中：

(A2)

{Φ2(k)}i，j=

(A3)

經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，式(A1)的分母部分與正文中式(14)具有相同的結(jié)構(gòu)，所以不再重復(fù)關(guān)于分母部分的求導(dǎo)問題.

討論式(A1)分子部分的求導(dǎo)問題.與正文討論問題的方法類似，首先令

G2(k)=det(Φ2(k))，

(A4)

式中：

{G2(k，r，m)}i，j=

(A5)

式(A5)包含的2個(gè)積分式可以參考正文中式(29)～(33)進(jìn)行化簡(jiǎn).

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