王 燦 蘇衛(wèi)民 顧 紅 邵 華

(南京理工大學(xué)電光學(xué)院，江蘇 南京 210094)

引 言

合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar，SAR)雖然具有全天候全天時(shí)成像、高分辨和穿透性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，但是在SAR成像過程中，分辨單元的幅度受隨機(jī)相位的影響產(chǎn)生類似于噪聲的相干斑，相干斑嚴(yán)重影響了SAR圖像的質(zhì)量[1]，使得人們對(duì)圖像目標(biāo)的探測、分析和解譯能力降低.所以，相干斑抑制是SAR圖像處理的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，引起了大家的廣泛關(guān)注.

在過去的十幾年里，很多相干斑抑制的方法被提出.傳統(tǒng)的方法分為兩類：多視處理和空域?yàn)V波處理.多視處理方法簡單，但卻犧牲了空間的分辨率.濾波處理方法根據(jù)像素周圍局部統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行自適應(yīng)空域?yàn)V波，能取得比較好的相干斑抑制效果，但是處理結(jié)果嚴(yán)重依賴濾波器的類型、方向和大小，因此很難較好的保留紋理和邊緣信息.

近幾年，隨著多分辨分析濾波技術(shù)的發(fā)展，基于小波變換理論的閾值去噪方法在SAR圖像相干斑抑制中得到應(yīng)用[2-4].這些抑制方法相對(duì)傳統(tǒng)空域方法，能較好的實(shí)現(xiàn)區(qū)域平滑和紋理保留的折中，但是通用閾值去噪方法沒有考慮小波系數(shù)之間的相關(guān)性，所有小波系數(shù)統(tǒng)一被閾值處理，有過扼殺小波系數(shù)的傾向，圖像細(xì)節(jié)不能很好的保留.M.S.Crouse等人提出的基于空間域像素統(tǒng)計(jì)模型的去噪方法[5-8]，可以有效抑制SAR相干斑，但是對(duì)于大面積圖像，基于空間域模型的去噪方法受到限制.

2005年，Donoho提出的形態(tài)學(xué)成分分析方法MCA[9]通過不同的基對(duì)圖像稀疏表示可以把圖像的分段光滑部分和紋理部分分離出來.MCA方法主要應(yīng)用于圖像修復(fù)和圖像分離[10-11].在文獻(xiàn)[9]中，MCA首次被用于相干斑抑制，但是因?yàn)樗豢紤]到圖像的平滑部分和紋理部分，在抑制噪聲的同時(shí)圖像的邊緣沒有得到很好的保留.本文基于一個(gè)新的超完備字典利用MCA思想進(jìn)行相干斑抑制.首先，把圖像分為分段光滑部分，紋理部分，邊緣部分；然后，根據(jù)MCA思想，用一個(gè)包含脊小波(curvelet)的超完備的字典對(duì)圖像進(jìn)行稀疏表示，把圖像的分段光滑部分、紋理部分、邊緣部分分離出來；最后利用分離出來的部分恢復(fù)圖像，從而可以有效抑制噪聲.同時(shí)因?yàn)閳D像的特征信息被稀疏表示分離出來，這種方法可以很好的保留圖像的特征信息.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了本文算法的有效性.此外，本文給出了迭代算法中迭代步長c的上界，保證了迭代算法的收斂性.

1 SAR相干斑特性分析

SAR圖像相干斑被認(rèn)為是一種乘積噪聲,有

Y(k，l)=F(k，l)X(k，l)，

(1)

式中：Y∈RN×N表示觀測圖像強(qiáng)度；X∈RN×N表示無噪聲圖像強(qiáng)度；F∈RN×N表示相干斑噪聲強(qiáng)度，k，l表示第k行，l列.對(duì)于L視的強(qiáng)度數(shù)據(jù)，F(xiàn)的概率密度函數(shù)服從均值為1方差為1/L的伽馬分布，即

(2)

式中Γ(·)表示伽馬函數(shù).對(duì)式(1)兩邊進(jìn)行取對(duì)數(shù)變換有

(3)

(4)

(5)

(6)

式中ψ(k，t)=(d/dt)k+1lnΓ(t)是第k階polygamma函數(shù).通過對(duì)數(shù)變換及式(2)～(6)可知，乘性相干斑噪聲抑制問題可以轉(zhuǎn)化為加性高斯噪聲抑制問題.

2 基于MCA的SAR相干斑抑制

2.1 MCA

(7)

(8)

(9)

(10)

式中Φp，Φt，Φe依次記為可以稀疏表示平滑部分，紋理部分和邊緣部分的基.在本文中，選擇Daubechies3小波表示平滑部分的基Φp，離散余弦表示紋理部分的基Φt，curvelet小波表示邊緣部分的基Φe，變換域的系數(shù)為αp，αt，αe，并且這些系數(shù)是稀疏的.所以，利用稀疏表示把圖像的平滑部分，紋理部分和邊緣部分分離就稱為(MCA)[12]

(11)

2.2 迭代收縮算法SAR相干斑抑制

式(11)的求解是一個(gè)復(fù)雜的過程，所幸近幾年來，已經(jīng)出現(xiàn)了很多算法，常用的有連續(xù)子空間最優(yōu)化算法、快速迭代軟閾值算法和共軛梯度法[12-13].本文使用的是快速迭代收縮算法中的可分離代理函數(shù)法[14]，這種算法是由Daubechies 2004年提出的.為了表示方便，設(shè)

Φ=[Φp，Φt，Φe]；

(12)

α=[αp，αt，αe].

(13)

暫時(shí)忽略TV項(xiàng).式(11)表示為

(14)

根據(jù)Daubechies的理論，添加下面一項(xiàng)為

(15)

式中，參數(shù)c的選擇必須保證函數(shù)dist是嚴(yán)格凸函數(shù)，也就是需要它的Hessian矩陣是正定的，即

cI-ΦTΦ>0，

(16)

式中，I表示單位矩陣.c必須滿足條件

(17)

式中λmax(·)表示最大特征值.結(jié)合式(14)和(15)，新的目標(biāo)函數(shù)表示為

(18)

(19)

(20)

則式(19)再次簡化為

(21)

至此，式(18)的最優(yōu)化問題最終簡化為酉形式的最優(yōu)化問題[15].酉形式的最優(yōu)化問題求解分為兩步，首先計(jì)算

(22)

利用收縮因子限制υ0的元素?cái)?shù)目從而獲得估計(jì)值，其中收縮因子為

(23)

收縮因子把比較小的值映射到零，其他的值也向零收縮.最終得到α的最優(yōu)估計(jì)值為

αopt=Sλ/c(υ0)

(24)

所以α的迭代公式為

(25)

把TV項(xiàng)考慮進(jìn)去，分解的迭代公式如下：

(26)

式中：H是非抽樣Haar小波字典;Sγ表示以γ為閾值的收縮因子.與收縮去噪算法類似，利用冗余Haar小波收縮因子估計(jì)TV修正項(xiàng).

根據(jù)上述討論，基于MCA的SAR圖像相干斑抑制算法的主要處理步驟如下：

(27)

設(shè)置初始圖像冗余部分為

(28)

(29)

3) 更新圖像冗余：

(30)

4) 轉(zhuǎn)到第(2)步，直到滿足收斂準(zhǔn)則.

5) 最終輸出迭代估計(jì)稀疏系數(shù)為

(31)

6) 得到去噪后的圖像：

(32)

2.3 字典的選擇

選擇合適的字典是本算法的一個(gè)關(guān)鍵.字典必須能稀疏表示圖像的平滑部分、紋理部分和邊緣部分，它依賴于圖像的特征.根據(jù)多分辨分析的思想，小波變換的過程是圖像的分解過程，把圖像分了低頻部分和高頻部分，而非零系數(shù)主要集中在圖像的低頻部分，也就是圖像的平滑部分，所以選擇Daubechies3小波變換稀疏表示圖像的平滑部分.

離散余弦變換(Discrete Cosine Transform,DCT)的基是余弦函數(shù)，余弦函數(shù)有周期振蕩特性，因?yàn)榧y理也具有周期變化的特點(diǎn)，所以本文利用DCT對(duì)圖像的紋理部分稀疏表示.

Donoho于1999年提出了Curvelet變換并且構(gòu)造了Curvelet的緊框架，對(duì)于具有光滑奇異性曲線的目標(biāo)函數(shù)，Curvelet提供了穩(wěn)定的、高效的和近乎最優(yōu)的表示.Curvelet變換的最大特點(diǎn)是各向異性，也就是Curvelet是一種具有方向性的基原子，可以對(duì)圖像多尺度多方向?yàn)V波，因此具有更強(qiáng)的表達(dá)圖像中沿邊緣信息的能力，所以本文選擇Curvelet稀疏表示圖像的邊緣部分.

2.4 參數(shù)c的邊界討論

(33)

即

(34)

在迭代算法中，固定的迭代步長引起迭代精度和迭代速度之間的矛盾.針對(duì)這個(gè)矛盾，本文選擇遞增幾何序列{ck}，它能同時(shí)提高算法性能和增加算法收斂速度.

2.5 閾值的選擇

相干斑抑制過程中，閾值的選擇尤為重要，它的選擇直接影響到去噪效果.如果閾值太小，閾值處理后的小波系數(shù)中包含過多的噪聲分量；如果閾值太大，將會(huì)丟失信號(hào)的一部分信息.針對(duì)這個(gè)矛盾，本文首先給出一個(gè)大的初始值λ/c，然后在每次迭代時(shí)逐次減少λ/c，直到減少到最小值，即

(35)

(a) 原始圖像 (b) Lee濾波后的圖像 (c) 小波閾值濾波

(d) 基于MCA平滑+紋理部分 (e) 本文方法 圖1 真實(shí)SAR圖像的濾波效果比較

3 原始數(shù)據(jù)的相干斑抑制實(shí)驗(yàn)

在本節(jié)，為了驗(yàn)證本文提出相干斑抑制算法的有效性，我們對(duì)實(shí)測機(jī)載條帶SAR圖像進(jìn)行處理.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用的是機(jī)載雷達(dá)X波段SAR成像的圖像數(shù)據(jù)，圖像是單視，大小為1 024×1 024像素，圖像的分辨率為1 m×1 m，圖像區(qū)域包括草地、農(nóng)田、公路.分別利用Lee濾波，小波閾值去噪和基于MCA平滑加紋理算法和本文算法對(duì)SAR圖像進(jìn)行去噪處理.其中Lee濾波算法中用到的鄰域窗口大小為5×5像素，小波域閾值去噪的閾值選擇為局部適應(yīng)閾值.

圖1是SAR圖像經(jīng)過幾種去噪算法后的效果圖.圖1(a)是原始SAR圖像，圖1(b)～(f)分別給出Lee、小波域軟閾值法、MCA方法小波加DCT和本文算法濾波后的圖像.可以看出Lee濾波器對(duì)噪聲起到一定的抑制作用，但是帶來圖像的分辨率降低.小波域軟閾值濾波效果好于Lee，但因?yàn)樾〔ㄓ蜍涢撝捣▽?duì)紋理、邊緣像素與噪聲像素統(tǒng)一處理，所以不可避免地破壞了一些紋理和邊緣結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[7]中的方法較小波域軟閾值法保留了圖像的紋理信息，但是部分邊緣信息丟失.本文方法利用curvelet小波稀疏表示SAR圖像的邊緣部分，提高了圖像變換域的稀疏度，因此不僅起到了相干斑抑制的作用，而且很好的保留了圖像中的紋理、邊緣等有用信息.如圖1方框中的局部放大圖圖2所示，因?yàn)樵糞AR圖像中相干斑的存在，圖2(a)中微弱的周期信號(hào)不容易觀測到，利用已有算法對(duì)SAR圖像相干斑抑制后的圖像如圖2(b)～(d)所示，因?yàn)閳D像的細(xì)節(jié)丟失，周期信號(hào)也丟失，而經(jīng)過本文算法處理過的SAR圖像在抑制相干斑的同時(shí)，保留了圖像的細(xì)節(jié)信息，微弱的周期信號(hào)也可以清楚的觀測到，如圖2(e)所示.

(a) 原始圖像 (b) Lee濾波后的圖像 (c) 小波閾值濾波

(d) 基于MCA平滑+紋理部分 (e) 本文方法 圖2 真實(shí)SAR圖像的濾波效果的放大圖

表1列出通過不同算法濾波后圖像的等效視數(shù)和比值圖像的均值，由表1可知，本文方法在等效視數(shù)上是最高的，說明本文方法能有效地抑制同質(zhì)區(qū)域的相干斑，并且由于我們使用超完備字典對(duì)SAR圖像的有用信息進(jìn)行了稀疏表示，所以在圖像保持程度上也是最好的.

表1 不同算法的等效視數(shù)和比值圖像均值

4 結(jié) 論

利用curvelet能夠?qū)D像邊緣信息稀疏表示的特點(diǎn)，本文提出了一種基于形態(tài)學(xué)成分分析的SAR圖像相干斑抑制方法.該方法根據(jù)形態(tài)學(xué)成分分析把圖像分成平滑部分、紋理部分和邊緣部分，然后利用一個(gè)超完備字典中的不同基，通過迭代算法對(duì)圖像的平滑部分、紋理部分和邊緣部分分別進(jìn)行稀疏表示，從而保留了圖像的有用信息，抑制了相干斑.實(shí)驗(yàn)證明：與小波域等SAR圖像相干斑抑制方法比較，本文提出的算法在抑制相干斑的同時(shí)，提高了圖像邊緣等細(xì)節(jié)特征的保持能力，是一種穩(wěn)定，有效的處理方法.另外，本文還給出了迭代算法步長的上界，保證了算法的收斂性.

[1] GOODMAN J W.Some fundamental properties of speckle[J].JOSA.1976，66(11):1145-1150．

[2] 陳 曦，張 紅，王 超.基于AOS非線性擴(kuò)散的SAR圖像去噪研究[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào).2004，19(004):405-408．

CHEN Xi，ZHANG Hong，WANG Chao.A study of SAR images denoising based on AOS nonlinear diffusion[J].Chinese Journal of Radio Science，2004，19(004):405-408.(in Chinese)

[3] GAGNON L，JOUAN A.Speckle filtering of SAR images:A comparative study between complex-wavelet based and standard filters[C]∥Processing of The International Society for Optical Engineering. San Diego，1997．

[4] DONOHO D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory，1995，41(3):613-627．

[5] VEGA M，MATEOS J，MOLINA R，et al.Bayesian TV denoising of SAR images[C]∥IEEE International Conference on Image Processing. Brussels，2011：165-168．

[6] PARRILLI S，PODERICO M，ANGELINO C V，et al.A Nonlocal SAR Image Denoising Algorithm Based on LLMMSE Wavelet Shrinkage[J].IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2012，50(2):606-616．

[7] 吳 艷，王 霞，廖桂生.基于小波域隱馬爾可夫混合模型的 SAR 圖像降斑算法[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào).2007，22(2):244-250．

WU Yan，WANG Xia，LIAO Guisheng.SAR images despeckling based on wavelet and hidden Markov mixture model[J].Chinese Journal of Radio Science，2007，22(2):244-250.(in Chinese)

[8] CROUSE M S，NOWAK R D，BARANIUK R G.Wavelet-based statistical signal processing using hidden Markov models[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1998，46(4):886-902．

[9] ELAD M，STARCK J L，QUERRE P，et al.Simultaneous cartoon and texture image inpainting using morphological component analysis(MCA)[J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2005，19(3):340-358．

[10] BOBIN J，STARCK J L，F(xiàn)ADILI J M，et al.Morphological component analysis:An adaptive thresholding strategy[J].IEEE Transactions on Image Processing，2007，16(11):2675-2681．

[11] STARCK J L，ELAD M，DONOHO D L.Image decomposition via the combination of sparse representations and a variational approach[J].IEEE Transactions on Image Processing，2005，14(10):1570-1582．

[12] BECK A，TEBOULLE M.A fast iterative shrinkage-thresholding algorithm for linear inverse problems[J].SIAM Journal on Imaging Sciences.2009，2(1):183-202．

[13] PATEL V M，EASLEY G R，CHELLAPPA R.Component-based restoration of speckled images[C]∥ IEEE International Conference on Image Processing.Brussels，2011：2797-2800．

[14] DAUBECHIES I，DEFRISE M，DE MOL C.An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint[J].Communications on pure and applied mathematics，2004，57(11):1413-1457．

[15] ZIBULEVSKY M，ELAD M.L1-L2 optimization in signal and image processing[J].IEEE Signal Processing Magazine，2010，27(3):76-88．

[16] 徐 豐，金亞秋.多方位高分辨率SAR的三維目標(biāo)自動(dòng)重建(二)多方位重建[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2008,23(1):23-33．

XU Feng，JIN Yaqiu.Automatic reconstruction of 3D objects from multi-aspect part Ⅱ:Multi-aspect reconstruction[J].Chinese Journal of Radio Science.2008,23(1):23-33.