李其昌，王廣龍，高鳳岐，盧江雷，張姍姍，王 磊

(1.軍械工程學(xué)院，河北 石家莊050003;2.上海市計(jì)量測(cè)試研究院，上海200233;3.中國(guó)科學(xué)院 微電子所，北京100029)

0 引 言

微懸臂梁是MEMS 中常見(jiàn)的微結(jié)構(gòu)之一［1］，近年來(lái)，因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、靈敏度高［2］，應(yīng)用范圍不斷拓展，如在微力檢測(cè)［3］、加速度、振 動(dòng) 檢測(cè)［4］、生化學(xué)檢 測(cè)［5，6］、環(huán) 境檢測(cè)［7］、紅外輻射熱探測(cè)［8］等場(chǎng)合都有重要應(yīng)用。為改善傳統(tǒng)微懸臂梁的測(cè)量性能，其改進(jìn)研究方興未艾。其中，為提高靈敏度，同時(shí)減小測(cè)量范圍和測(cè)量帶寬的損失，人們提出了引入應(yīng)力集中區(qū)域(stress concentration region，SCR)［9］。

微懸臂梁結(jié)構(gòu)的靈敏度、測(cè)量范圍和測(cè)量帶寬均與最大應(yīng)力、變形位移和模態(tài)特征有直接關(guān)聯(lián)。研究微懸臂梁結(jié)構(gòu)在引入SCR 之后的應(yīng)力特征、形變特征和模態(tài)特征能夠很好地反映其靈敏度和測(cè)量帶寬等性能特性。本文對(duì)微懸臂梁結(jié)構(gòu)增加SCR 之后的測(cè)量性能，尤其是其動(dòng)靜態(tài)靈敏度與測(cè)量范圍、帶寬之間的關(guān)系進(jìn)行了系統(tǒng)的模擬仿真實(shí)驗(yàn)，能夠從引入SCR 這一設(shè)計(jì)思路，為各種不同應(yīng)用場(chǎng)合和使用目的的微懸臂梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供參考。

1 研究基礎(chǔ)與理論分析

應(yīng)力集中現(xiàn)象是指物體中應(yīng)力梯度局部增高的現(xiàn)象，一般出現(xiàn)在物體形狀急劇變化的位置［10］，適量的應(yīng)力集中對(duì)于提高微懸臂梁在激勵(lì)作用下的靈敏度有很大的提高作用。

微懸臂梁通常有2 種工作模式［11］:靜態(tài)模式，檢測(cè)外場(chǎng)作用或自身內(nèi)應(yīng)力變化導(dǎo)致的靜態(tài)彎曲變形或應(yīng)力特征;動(dòng)態(tài)模式，檢測(cè)由于彈性系數(shù)、附加質(zhì)量、阻尼系數(shù)的改變而導(dǎo)致的振動(dòng)特性的變化，如振幅、頻率、品質(zhì)因子等。

文獻(xiàn)［12］仿真分析了影響壓阻微懸臂梁靈敏度的主要因素，其考察對(duì)象僅限于一般矩形結(jié)構(gòu)微梁;文獻(xiàn)［6］考察了不同梯形梁結(jié)構(gòu)的靈敏度特征，考察對(duì)象僅圍繞梁本身的形狀變化進(jìn)行分析;文獻(xiàn)［13］對(duì)于電容式微懸臂梁的動(dòng)態(tài)特性與其結(jié)構(gòu)尺寸的非線(xiàn)性關(guān)系進(jìn)行了建模與仿真，對(duì)工程應(yīng)用有較好的指導(dǎo)作用，但并未涉及SCR 對(duì)微梁動(dòng)態(tài)特性的影響;文獻(xiàn)［9］分析了一些條縫結(jié)構(gòu)SCR 對(duì)壓阻式微懸臂梁靈敏度的影響，未涉及其他SCR結(jié)構(gòu)的影響;文獻(xiàn)［14］通過(guò)引入多種結(jié)構(gòu)SCR 以提高壓阻式懸臂梁的靜態(tài)測(cè)量靈敏度，但對(duì)SCR 的體積形態(tài)位置等參數(shù)控制不夠合理，同時(shí)缺少動(dòng)態(tài)工作模式分析。

本文使用分析多因素問(wèn)題常用的控制變量法，利用有限元仿真分析引入不同類(lèi)型SCR 后微懸臂梁的動(dòng)靜態(tài)特性，考察不同SCR 對(duì)微懸臂梁測(cè)量性能的影響。仿真過(guò)程假設(shè)微懸臂梁材料線(xiàn)性且變形微小，結(jié)構(gòu)剛度不發(fā)生變化。仿真結(jié)果給出了引入不同類(lèi)型或尺寸的SCR 之后梁的動(dòng)靜態(tài)特性參數(shù)，通過(guò)微懸臂梁安全系數(shù)、最大變形位移、最大應(yīng)力和各階模態(tài)頻率及其偏移量等特征來(lái)分析不同結(jié)構(gòu)微懸臂梁的測(cè)量性能。

對(duì)于靜態(tài)工作模式下的微懸臂梁，主要考察靈敏度和最大載荷測(cè)量范圍的變化關(guān)系，其靈敏度S靜為

對(duì)于同一靜載荷變化量Δp，S靜與位移變化量Δμ 呈正比，其載荷測(cè)量范圍p靜FS為

對(duì)于同一微懸臂梁，其靈敏度S靜不變，測(cè)量范圍p靜FS與最大位移變化量ΔUmax呈正比，其最大位移變化量ΔUmax與梁安全系數(shù)n 的關(guān)系為

在同一載荷Δp，相同靈敏度S靜下梁的安全系數(shù)n 正比于ΔUmax，即測(cè)量范圍p靜FS正比于安全系數(shù)n。

對(duì)于動(dòng)態(tài)工作模式下的微懸臂梁，主要考察靈敏度和最大動(dòng)態(tài)載荷測(cè)量頻率帶寬。文獻(xiàn)［15］分析了共振工作狀態(tài)下微懸臂梁的靈敏度與加載不同載荷類(lèi)型的關(guān)系，證明了不同類(lèi)型載荷靈敏度之間存在確定的數(shù)值關(guān)系，故本文僅考慮均勻分布微小質(zhì)量載荷下其靈敏度S動(dòng)的變化。

對(duì)于同一微小質(zhì)量載荷Δm，S動(dòng)與頻率偏移量Δf 呈正比，其頻率測(cè)量帶寬 f動(dòng)FS為

式中 i，j 為梁所工作的頻率區(qū)域兩端的模態(tài)等級(jí)，Δfij是工作頻率區(qū)域兩端模態(tài)頻率之差。對(duì)于工作在一階模態(tài)頻率內(nèi)時(shí)，f動(dòng)FS即一階模態(tài)頻率值。

綜上所述，一般情況下靜態(tài)工作模式時(shí)靜態(tài)靈敏度與應(yīng)力(如壓阻式)或位移(如電容式)呈正比，相同載荷下的安全系數(shù)與其靜態(tài)測(cè)量范圍p靜FS呈正比;動(dòng)態(tài)工作模式時(shí)其頻率偏移量與靈敏度呈正比;其工作頻率范圍內(nèi)相鄰共振頻率之間的間隔與測(cè)量帶寬f動(dòng)FS呈正比。

2 試驗(yàn)方法設(shè)計(jì)

對(duì)于不同結(jié)構(gòu)形式的SCR 微懸臂梁結(jié)構(gòu)直接推導(dǎo)其應(yīng)力、位移及模態(tài)公式較為復(fù)雜，且對(duì)于復(fù)雜SCR 形式往往十分困難。借助計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算能力，利用有限元方法模擬不同SCR 微懸臂梁的動(dòng)靜態(tài)特征能極大地提高運(yùn)算效率。

為保證仿真結(jié)果的科學(xué)性，本文同一組實(shí)驗(yàn)所選取的仿真參數(shù)保持不變。有限元網(wǎng)格均為自由網(wǎng)格，均對(duì)SCR周?chē)M(jìn)行局部細(xì)劃，所加載荷的類(lèi)型、位置、方向、大小均完全一致。選取硅材料微懸臂梁結(jié)構(gòu)，其輪廓尺寸為400 mm×100 mm ×10 mm。硅材料的屈服強(qiáng)度為1.2 ×108Pa，質(zhì)量密度為2330 kg/m3，彈性模量為1.124 ×1011Pa，泊松比為0.28。為使得微懸臂梁產(chǎn)生微位移，靜態(tài)測(cè)試時(shí)另一端切面施加定值靜態(tài)末端外力9.81 N 載荷，模擬梁的應(yīng)力、位移特性，計(jì)算其安全系數(shù)，如圖1(a)所示;共振模式測(cè)試時(shí)整個(gè)懸臂梁法線(xiàn)方向上施加加速度9.81 m/s2，分別模擬加載相同均勻分布的微小質(zhì)量前后微懸臂梁的各階模態(tài)頻率與偏移量的大小。為簡(jiǎn)化模型，假設(shè)增加微懸臂梁模型厚度1 mm，如圖1(b)所示。微懸臂梁通常工作于一階共振模態(tài)，重點(diǎn)分析該模態(tài)。

圖1 仿真微懸臂梁的載荷形式Fig 1 Load form of simulated micro-cantilever

研究帶有 50 mm × 50 mm 正方形(A 型)、50 mm ×50 mm菱形(B 型)、雙 25 mm × 50 mm 半邊矩形(C 型)、內(nèi)切圓50 mm六邊形(D 型)、直徑 50 mm 圓形(E 型)SCR 微懸臂梁的靜態(tài)、共振性能。目的是找到較為理想的SCR 形狀，既提高靈敏度又對(duì)測(cè)量帶寬的限制較小，避免引入SCR時(shí)的形狀選擇的盲目性。

為了解不同尺寸比例的SCR 對(duì)梁結(jié)構(gòu)的測(cè)量性能產(chǎn)生的影響，設(shè)計(jì)不同尺寸矩形SCR，并模擬了其性能參數(shù)。SCR 尺寸型號(hào)有 50 × 50 矩形(A 型)、50 × 100 矩形(A1型)、50 ×200 矩形(A2 型)。

當(dāng)SCR 所處位置不同時(shí)，對(duì)梁的測(cè)量性能也將產(chǎn)生不同的影響。不同位置以SCR 與固定端的距離D 劃分為四類(lèi):50 × 200-D25 矩形(A21 型)，50 × 200-D75 矩形(A2型)，50 × 200-D125 矩形(A22 型)，50 × 200-D175 矩形(A23 型)。

對(duì)于總體積相同的SCR，其體積分布方式不同也會(huì)對(duì)梁結(jié)構(gòu)性能產(chǎn)生不同影響。將SCR 分成1 塊、2 塊、4 塊，標(biāo)記為:50 ×200-D25-50 ×1 矩形(A21 型)，50 ×200-D25-25 ×2 矩形(A211 型)，50 × 200-D25-12.5 × 4 矩形(A212型)。圖2 所示為本文設(shè)計(jì)的SCR 微懸臂梁結(jié)構(gòu)類(lèi)型。

3 結(jié)果與討論

3.1 SCR 形狀對(duì)微梁動(dòng)靜態(tài)性能的影響

外力載荷下，A～E 型SCR 微懸臂梁的最大應(yīng)力、位移、應(yīng)變及安全系數(shù)改變情況仿真結(jié)果如表1 所示。

圖2 各型SCR 微懸臂梁結(jié)構(gòu)Fig 2 Various types of SCR micro-cantilever structures

表1 不同SCR 形狀微懸臂梁的靜態(tài)性能Tab 1 Static performance of different SCR shape micro-cantilever

由表1 可見(jiàn)SCR 的引入雖降低了微梁的安全系數(shù)n，縮小了靜態(tài)測(cè)量范圍，但是SCR 對(duì)于微梁最大應(yīng)力、位移、應(yīng)變的提高也相當(dāng)顯著。對(duì)于不同形狀的SCR，A 型與C型性能基本一致，相比于D 型、E 型提高更為明顯;B 型提高最大，但考慮其安全系數(shù)過(guò)低，測(cè)量范圍窄，也不是較好的選擇。綜合考慮A、C 型SCR 對(duì)梁的靜態(tài)測(cè)量靈敏度提高較為明顯，且測(cè)量范圍的減小也可控，在此僅選取A 型做后續(xù)研究。

3.2 SCR 尺寸位置對(duì)微梁靜態(tài)性能的影響

表2 所示為不同尺寸位置矩形SCR 對(duì)微懸臂梁靜態(tài)性能的影響。由類(lèi)型A～A2 可知隨著SCR 尺寸的增大，微懸臂梁的最大應(yīng)力、最大應(yīng)變和安全系數(shù)變化幅度很小(均小于2%)，而最大位移增加明顯(A2 型比A 型增加約20.4%)。這一結(jié)論在通過(guò)檢測(cè)微懸臂梁最大位移來(lái)測(cè)量被測(cè)對(duì)象的應(yīng)用場(chǎng)合有較大參考意義。對(duì)此類(lèi)應(yīng)用，在一定限度內(nèi)增加SCR 尺寸可以顯著增加其測(cè)量靈敏度。

表2 不同尺寸位置SCR 對(duì)微梁靜態(tài)性能的影響Tab 2 Influence of different sizes ＆ location of SCR on static performance of micro-cantilever

由類(lèi)型A21～A23 可知，隨著SCR 與固定端的距離增加，微懸臂梁的應(yīng)力、位移、應(yīng)變逐漸降低，靈敏度下降;其安全系數(shù)逐漸增大，說(shuō)明測(cè)量范圍增加。在設(shè)計(jì)靜態(tài)工作狀態(tài)下的微懸臂梁SCR 位置時(shí)應(yīng)綜合考慮上述特性，盡量使得在滿(mǎn)足測(cè)量范圍要求的前提下將SCR 靠近固定端布置，以提高靈敏度。

3.3 SCR 尺寸位置對(duì)微梁動(dòng)態(tài)性能的影響

不同尺寸SCR 使得微懸臂梁的模態(tài)特性發(fā)生變化。如圖3 所示，與A 型相比，A2 型一階、二階模態(tài)形式變化不明顯，但之后的高階模態(tài)振型變化明顯。因此，當(dāng)振動(dòng)工作方式僅測(cè)量低階模態(tài)時(shí)，引入相同形狀不同尺寸SCR 對(duì)測(cè)量結(jié)果影響不大，但高階模態(tài)進(jìn)行檢測(cè)時(shí)應(yīng)考慮不同尺寸對(duì)模態(tài)振型的影響。

圖3 A，A2 型 SCR 微梁前4 階模態(tài)振型Fig 3 Modal vibration shape of fore-4-order A ＆A2 SCR micro-cantilever

增加微小質(zhì)量前后不同位置SCR 對(duì)模態(tài)1 頻率的影響數(shù)據(jù)如表3 所示。

表3 增加微小質(zhì)量對(duì)模態(tài)1 頻率的影響Tab 3 Influence of adding small mass on modal 1 frequency

考慮表3 的結(jié)果，可以看出隨著SCR 與固定端距離的增加，模態(tài)1 頻率明顯增大，當(dāng)增加微小質(zhì)量后，模態(tài)1 頻率偏移量明顯增大，動(dòng)態(tài)頻移靈敏度增大。為獲得較高的動(dòng)態(tài)頻移靈敏度，在SCR 微懸臂梁設(shè)計(jì)過(guò)程中可盡量將SCR 向自由端布置。

圖4 所示為不同SCR 尺寸與位置微懸臂梁的模態(tài)1共振頻率變化趨勢(shì)。

圖4 不同尺寸位置SCR 微梁共振頻率趨勢(shì)Fig 4 SCR micro-cantilever resonance frequency of different sizes ＆ location

由圖4 結(jié)果可以得到下面2 個(gè)結(jié)論:1)矩形SCR 的引入，引起微梁剛性的降低，一般會(huì)減小微懸臂梁的彈性系數(shù)和共振頻率;但SCR 遠(yuǎn)離微懸臂梁的固定端布置時(shí)，由于微梁剛度的降低小于有效質(zhì)量的減小，因此，振動(dòng)頻率反而可能會(huì)高于原始微懸臂梁結(jié)構(gòu)。2)增大SCR 結(jié)構(gòu)尺寸，由于剛度和有效彈性系數(shù)的減小，微懸臂梁的共振頻率一般會(huì)降低;但當(dāng)矩形SCR 的長(zhǎng)度Ls 約大于0.5L(即200 mm)時(shí)，由于有效質(zhì)量的減小開(kāi)始逐漸大于彈性系數(shù)的減小，因此，SCR 微懸臂梁的共振頻率反而開(kāi)始增大。

3.4 SCR 分布方式對(duì)微梁動(dòng)靜態(tài)性能的影響

表4 所示為不同SCR 分布方式下的動(dòng)靜態(tài)性能。由表4 可知分塊式的SCR 分布方式明顯降低了微懸臂梁的測(cè)量靈敏度，如A212 與A21 相比最大應(yīng)力降低了約27%，最大位移降低了約17%;但對(duì)于測(cè)量范圍的提高也十分明顯，安全系數(shù)增加了約37%。

表4 不同SCR 分布方式下的動(dòng)靜態(tài)性能Tab 4 Dynamic and static performance of diffrent SCR distribution methods

對(duì)于動(dòng)態(tài)工作模式的微懸臂梁，分塊分布式SCR 微懸臂梁的共振頻率明顯增大，測(cè)量頻率帶寬增加。分塊式的SCR 微懸臂梁對(duì)靈敏度的提高較少，但測(cè)量范圍、頻率帶寬較大。在工程設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)綜合考慮分塊式SCR 微懸臂梁將會(huì)增大工藝難度，增加制造成本。

4 結(jié)束語(yǔ)

由仿真結(jié)果可知，對(duì)于靜態(tài)工作模式下的微懸臂梁，在傳統(tǒng)的微懸臂梁上引入了SCR 可以獲得較高的測(cè)量靈敏度，這導(dǎo)致微懸臂梁測(cè)量范圍的減小。A，C 型SCR 對(duì)梁的靜態(tài)測(cè)量靈敏度提高較為明顯，且測(cè)量范圍的減小也可控，對(duì)A 型SCR 進(jìn)行分塊設(shè)計(jì)將進(jìn)一步提高測(cè)量靈敏度;隨著SCR 尺寸的增大，微懸臂梁的靈敏度也將進(jìn)一步提高，但過(guò)大的SCR 將嚴(yán)重降低測(cè)量范圍，通常SCR 尺寸長(zhǎng)度不超過(guò)梁長(zhǎng)度的1/2;隨著SCR 與固定端的距離增加，微懸臂梁的靈敏度下降，測(cè)量范圍增加，因而，SCR 應(yīng)盡量靠近固定端布置。對(duì)于動(dòng)態(tài)工作模式下的微懸臂梁，隨著SCR 與固定端距離的增加，模態(tài)1 頻率偏移量明顯增大，動(dòng)態(tài)靈敏度反而提高。

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