黃 勇， 江利中， 李雁斌

（上海無(wú)線(xiàn)電設(shè)備研究所，上海200090）

0 引言

小行星探測(cè)為研究太陽(yáng)系形成、行星演化、地球和生命的起源等提供重要線(xiàn)索，同時(shí)對(duì)掌握小天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律、避免小天體碰撞地球也具有重要的意義。為更深入的探測(cè)小行星，探測(cè)器需要在小行星的表面著陸。保證探測(cè)器垂直、安全地著陸，不僅需要選擇盡量平整的著陸點(diǎn)，降落時(shí)的姿態(tài)控制則更為重要。探測(cè)器姿態(tài)控制的前提是姿態(tài)測(cè)量，即獲取探測(cè)器的實(shí)時(shí)姿態(tài)［1］。

隨著空間事業(yè)的發(fā)展，現(xiàn)代航天器的姿態(tài)敏感器很多，主要測(cè)量原理有光學(xué)原理、力學(xué)慣性原理、無(wú)線(xiàn)電測(cè)量原理以及地球磁場(chǎng)原理［1］。常用的姿態(tài)敏感器有太陽(yáng)敏感器［2］、紅外地球敏感器（紅外地平儀）、射頻敏感器、慣性敏感器（陀螺）、加速度計(jì)、磁強(qiáng)計(jì)和星敏感器等。也有聯(lián)合利用它們以獲取更好的性能，如由低精度的慣性陀螺、加速度計(jì)、磁強(qiáng)計(jì)組成的低成本姿態(tài)測(cè)量系統(tǒng)［3］。

根據(jù)小行星探測(cè)器任務(wù)的需求，其上安裝有一部搜捕測(cè)量雷達(dá)，因此可以利用此雷達(dá)獲得的相對(duì)距離或相對(duì)速度信息測(cè)量探測(cè)器的姿態(tài)。這樣不僅可以減少額外的載荷，而且可以獲得常用姿態(tài)敏感器無(wú)法獲得的相對(duì)于小行星局部表面姿態(tài)。如太陽(yáng)敏感器測(cè)得的是相對(duì)于太陽(yáng)的姿態(tài)，并不能獲得相對(duì)于小行星局部表面的姿態(tài)等。

1 應(yīng)用場(chǎng)景

假設(shè)探測(cè)器上雷達(dá)測(cè)量得到與行星表面三個(gè)方向的相對(duì)距離為r1、r2、r3，相對(duì)速度為v1、v2、v3，具體如圖1所示。其中，r1、r2、r3相對(duì)于探測(cè)器垂直方向等間隔均勻分布，他們之間有固定的夾角θ，三個(gè)方向距離、速度信息測(cè)量可以通過(guò)相控陣?yán)走_(dá)或常規(guī)雷達(dá)分時(shí)測(cè)量實(shí)現(xiàn)。

探測(cè)器在著陸前，一般要在距離小行星表面一定距離處以較低速度下降或懸停，以調(diào)整探測(cè)器的姿態(tài)。此時(shí)可以利用雷達(dá)測(cè)量的三個(gè)方向的距離信息獲取探測(cè)器的姿態(tài)，然后控制姿態(tài)使探測(cè)器垂直于小行星表面并降落。為了實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整探測(cè)器的姿態(tài)，在探測(cè)器下降時(shí)可以通過(guò)測(cè)量三個(gè)方向的速度信息來(lái)獲取姿態(tài)信息。這樣，可以修正由于行星表面較大起伏距離測(cè)姿帶來(lái)的誤差。

圖1 探測(cè)器雷達(dá)測(cè)姿應(yīng)用場(chǎng)景示意圖

2 姿態(tài)測(cè)量算法

2.1 利用距離信息獲取姿態(tài)

為便于分析，建立實(shí)際場(chǎng)景對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。圖1可以簡(jiǎn)化為圖2所示的距離變量之間的角度關(guān)系。

圖2 探測(cè)器雷達(dá)測(cè)姿簡(jiǎn)化示意圖

在測(cè)量三個(gè)方向的距離信息時(shí)，探測(cè)器與小行星表面實(shí)際垂直距離無(wú)法直接獲得，假設(shè)為r；測(cè)得的三個(gè)方向的距離分別為r1、r2、r3，它們與行星表面垂直方向的夾角分別為θ1、θ2、θ3，如圖3所示。

根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系可知

圖3 四面體內(nèi)的角度關(guān)系圖

式中：r、θ1、θ2和θ3為未知量；r1、r2和r3為雷達(dá)天線(xiàn)測(cè)得的相對(duì)于行星表面的距離信息。式（1）的方程組中有四個(gè)方程，且只有四個(gè)未知數(shù)，所以根據(jù)式（1）可以計(jì)算出θ1、θ2和θ3，即得到探測(cè)器相對(duì)于行星表面的姿態(tài)信息。通過(guò)安裝在探測(cè)器三軸上的噴氣推力或動(dòng)量飛輪控制θ1、θ2和θ3，即可實(shí)現(xiàn) 探 測(cè) 器 姿 態(tài) 的 控 制［4］。當(dāng)θ1＝θ2＝θ3時(shí)，探測(cè)器垂直于行星的表面。

要求得θ1、θ2和θ3，首先得求出式（1）中的關(guān)系式f（θ1，θ2，θ3），即θ1、θ2和θ3之間的關(guān)系式，具體的推導(dǎo)關(guān)系如下。

如圖3所示，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝θ，θ為三個(gè)方向波束之間的固定夾角，OP 為垂直于面ABC 的直線(xiàn)，與OA、OB、OC 的夾角分別為θ1、θ2和θ3。則OA、OB、OC 的長(zhǎng)度l1、l2和l3分別為

根據(jù)余弦定理，可以求出另外三邊AB、AC 和BC的長(zhǎng)度lAB、lAC和lBC。

根據(jù)四面體體積計(jì)算公式，由l1、l2、l3和θ計(jì)算得到的四面體OABC 的體積為

其中：

另外，根據(jù)面ABC 及過(guò)O 點(diǎn)的高lOP＝r，也可以計(jì)算四面體OABC 的體積，為

其中：

其中：

由式（4）和式（6），可得

由式（2）和式（7），可得

由于實(shí)際應(yīng)用中θ1、θ2和θ3均小于θ，而θ＜180°，所以根據(jù)式（9）即可計(jì)算得到姿態(tài)角θ1、θ2和θ3。調(diào)整θ1、θ2和θ3的大小就可以調(diào)整探測(cè)器的姿態(tài)，當(dāng)保持θ1＝θ2＝θ3降落時(shí)，即可保證探測(cè)器垂直于小行星表面降落。

2.2 利用速度信息獲取姿態(tài)

利用距離信息獲取探測(cè)器姿態(tài)時(shí)，如果小行星表面有較大起伏，則獲取的姿態(tài)存在較大的誤差。當(dāng)探測(cè)器下降時(shí)，可以利用速度測(cè)量信息獲取姿態(tài)來(lái)確認(rèn)和校正距離信息獲取的探測(cè)器姿態(tài)。類(lèi)似于前一節(jié)中利用距離信息獲取姿態(tài)，根據(jù)幾何關(guān)系，則有

式中：v、θ1、θ2和θ3為未知量；v1、v2和v3為雷達(dá)測(cè)得的相對(duì)于行星表面三個(gè)方向的速度信息。不失一般性，假設(shè)lOP＝1，則有

將式（11）代入式（3），即可得

式中：D1、D2和D3均可由已知量計(jì)算得

將式（11）代入式（4），將式（12）和lOP＝1代入式（5），可得

其中：

根據(jù)式（11）和式（14）即可得到姿態(tài)測(cè)量方程

式中：v1、v2和v3是雷達(dá)測(cè)得的相對(duì)速度信息；D4、D5均 可 由v1、v2、v3和 已 知 量θ 求 得。由 距離測(cè)量信息獲取姿態(tài)信息后，著陸時(shí)探測(cè)器已調(diào)整至垂直或近似垂直于小行星表面下降，此時(shí)根據(jù)速度信息獲取的姿態(tài)角θ1、θ2和θ3與小行星表面的起伏無(wú)關(guān)，可以避免利用距離測(cè)量信息獲取姿態(tài)時(shí)由于小行星表面起伏帶來(lái)的較大誤差。

3 仿真結(jié)果分析

仿真中，以估計(jì)的均方根誤差（RMSE）來(lái)衡量算法的性能，RMSE的計(jì)算如下：

式中：Mc為蒙特卡羅試驗(yàn)次數(shù)，仿真中Mc＝10 000；＾θi，n為算法估計(jì)的姿態(tài)角；θi為對(duì)應(yīng)的姿態(tài)角真值。仿真中，測(cè)量噪聲假設(shè)為加性高斯噪聲。

（1）距離信息獲取姿態(tài)

探測(cè)器懸停于小行星表面r＝20m 處，探測(cè)器姿態(tài)角θ1、θ2和θ3分 別 設(shè) 置 為θ1＝30°，θ2＝35°，θ3＝41.7°。當(dāng)雷達(dá)距離測(cè)量誤差為Δr＝0m～0.2m 變化時(shí)，仿真得到的姿態(tài)角θ1、θ2和θ3估計(jì)結(jié)果如圖4所示。

圖4 距離獲取的姿態(tài)角θ1、θ2、θ3 隨測(cè)距誤差變化圖

從圖4仿真結(jié)果可以看出，探測(cè)器姿態(tài)角估計(jì)精度隨距離測(cè)量誤差的增大而增大。在探測(cè)器測(cè)距誤差為2m 時(shí)，姿態(tài)角θ1、θ2和θ3的估計(jì)精度分別為1.821°、1.776°、1.534°。實(shí)際應(yīng)用中，雷達(dá)的近距測(cè)距精度不超過(guò)2 m，所以利用距離信息獲取的姿態(tài)信息可以滿(mǎn)足實(shí)際應(yīng)用的需求。

（2）速度信息獲取姿態(tài)

設(shè)探測(cè)器下降速度為v＝1m／s，探測(cè)器姿態(tài)角θ1、θ2和θ3分別設(shè)置為θ1＝30°，θ2＝35°，θ3＝41.7°。當(dāng)雷達(dá)速度測(cè)量誤差為Δv＝0m／s～0.1 m／s變化時(shí)，仿真得到的姿態(tài)估計(jì)結(jié)果θ1、θ2和θ3如圖5所示。

仿真中，為降低測(cè)量噪聲對(duì)結(jié)果的影響，雷達(dá)測(cè)量10次取均值后得到v1、v2和v3測(cè)量值，然后再估計(jì)探測(cè)器的姿態(tài)。從圖5仿真結(jié)果可以看出，探測(cè)器姿態(tài)角估計(jì)精度隨速度測(cè)量誤差的增大而增大。在測(cè)速誤差為0.1m／s時(shí)，θ1、θ2和θ3的估計(jì)誤差在2.58°左右。一般星載雷達(dá)測(cè)速的誤差可以滿(mǎn)足小于0.1 m／s，所以本算法在實(shí)際應(yīng)用中姿態(tài)角估計(jì)誤差應(yīng)小于2.58°，可以滿(mǎn)足探測(cè)器在小行星表面垂直降落的要求。

為了分析速度信息獲取探測(cè)器姿態(tài)算法的穩(wěn)定性，通過(guò)仿真驗(yàn)證探測(cè)器下降速度對(duì)姿態(tài)測(cè)量結(jié)果的影響。假設(shè)探測(cè)姿態(tài)角θ1、θ2和θ3分別仍設(shè)置為θ1＝30°，θ2＝35°，θ3＝41.7°，雷達(dá)測(cè)速誤差設(shè)置為Δv＝0.05m／s。當(dāng)探測(cè)器下降速度v＝0.1m／s～10 m／s變化時(shí)，仿真得到的姿態(tài)估計(jì)結(jié)果θ1、θ2和θ3如圖6所示。

圖6 速度信息獲取姿態(tài)角θ1、θ2、θ3 隨探測(cè)器下降速度變化圖

從圖6的仿真結(jié)果可以看出，探測(cè)器下降速度越快，利用速度信息估計(jì)姿態(tài)角的精度越高，在v＝10 m／s時(shí)，姿態(tài)角估計(jì)誤差為0.126°。當(dāng)下降速度比較小時(shí)，估計(jì)性能比較差，此時(shí)短時(shí)間內(nèi)距離變化較小，可以采用距離信息估計(jì)探測(cè)器的姿態(tài)。

4 結(jié)論

本文利用雷達(dá)測(cè)得的距離和速度信息估計(jì)小行星探測(cè)器著陸姿態(tài)角。在探測(cè)器降落或懸停時(shí)，實(shí)時(shí)計(jì)算探測(cè)器姿態(tài)角，并動(dòng)態(tài)控制探測(cè)器姿態(tài)。仿真結(jié)果表明，本文提出的探測(cè)器姿態(tài)角測(cè)量算法精度較高，能滿(mǎn)足探測(cè)器垂直、安全著陸的要求。

［1］ 海濤，徐嫣，高翔.飛行器三軸姿態(tài)測(cè)量方法［J］.廣西大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，29：60-62.

［2］ 袁信，俞濟(jì)祥，陳哲.導(dǎo)航系統(tǒng)［M］.北京：航空工業(yè)出版社，1993：15-47.

［3］ 劉海穎，王惠南.低成本姿態(tài)測(cè)量系統(tǒng)研究［J］.南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，31（2）：233-237.

［4］ 劉延柱.航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1995.