覃浩，楊洪耕

（四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都 610065）

工業(yè)電弧爐工業(yè)感應(yīng)爐以及變頻調(diào)速裝置在電力系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，使得系統(tǒng)中間諧波問題日益嚴(yán)重[1-2]。間諧波因其頻率與基頻的異步性，會導(dǎo)致信號峰值和有效值發(fā)生周期性波動，從而引發(fā)信號閃變[3]。大量實驗和研究表明，當(dāng)間諧波頻率越是接近諧波頻率時，信號的包絡(luò)線波動愈是嚴(yán)重。因此，如何有效地判定間諧波是否存在以及精確地檢測出其頻率、幅值以及相位是分析閃變和間諧波對應(yīng)關(guān)系的重點。

快速傅里葉算法（fast Fourier transform，F(xiàn)FT）是目前電力系統(tǒng)諧波與間諧波分析最常用的工具，但這種算法需要在同步采樣的情況下才能得到準(zhǔn)確的信號參數(shù)，否則就會在頻域產(chǎn)生柵欄效應(yīng)和頻譜泄漏現(xiàn)象，從而影響測量精度。在解決非同步采樣的問題上，現(xiàn)有的同步鎖相環(huán)技術(shù)（phase locked loop，PLL）[4]或時域插值技術(shù)[5]已可使采樣頻率同步跟蹤信號基頻，此時由基波與諧波引起的檢測誤差已接近于零。但對于含有間諧波的信號而言，由于間諧波的頻率無法預(yù)知，采樣很難做到對間諧波同步，則頻譜泄漏現(xiàn)象依然存在。加窗插值傅里葉算法[6-8]能夠在非同步采樣的情況下有效減小柵欄效應(yīng)和頻譜泄漏引起的誤差。這些方法首先通過選用旁瓣較小的窗函數(shù)來減小頻譜泄漏引起的誤差，再對計算結(jié)果使用插值修正算法以減小柵欄效應(yīng)引起的誤差。但是，當(dāng)信號中兩個頻率分量主瓣發(fā)生重疊時，上述方法和以往的加窗插值方法都無法區(qū)分這兩個分量。

本文在IEC61000-4-7[9]推薦的采樣窗口長度下，提出一種基于頻譜向量分解[10]的電力系統(tǒng)諧波/間諧波檢測法。仿真算例的結(jié)果表明，該方法簡單易行，計算精度滿足工程需求。在短窗口前提下，為電力系統(tǒng)諧波和間諧波頻譜校正提供了新的思路。

1 頻率成分間的主瓣干擾

設(shè)某信號中含有兩個頻率成分，即

式中：fh為諧波頻率；fi為間諧波頻率。若fh為基波50Hz，fi為53Hz的間諧波（|fh-fi|=3Hz）。單頻信號y1（t）與y2（t）加海寧窗（HanningWindow）的離散時間傅里葉變換（discrete time Fourier transform，DTFT）結(jié)果在圖1中分別為Y1（f）和Y2（f）。這兩個頻率成分合成的原信號的DTFT為Y（f）。

圖1 兩相鄰頻率成分主瓣干擾Fig.1 M ain lobe interference between two closed frequency com ponents

觀察圖1中的3條DTFT曲線，可以看出曲線Y1（f）與Y2（f）完全被Y（f）所覆蓋。信號的DFT結(jié)果如圖1中的柱狀圖形所示，傳統(tǒng)的插值傅里葉變換法使用信號DFT后在頻域內(nèi)的峰值譜線進(jìn)行頻率分量的參數(shù)校正。在這兩個頻率成分發(fā)生主瓣干擾的情況下，利用以往方法所得的結(jié)果既不是fh也不是fi，而是一個完全錯誤的頻率分量。

2 發(fā)生主瓣干擾兩頻率分量的判斷

根據(jù)向量共線原則[11]，在復(fù)頻域中某個單頻信號的相鄰譜線相位差為π，也就說在復(fù)平面所有譜線都共線。若考慮到其他頻率分量的影響，并利用幅值最大的兩條譜線作為判定依據(jù)，得

式中，θk為最大譜線的相位角。在實際計算中，由于誤差的存在，Δθ不可能剛好為0，只要Δθ小于允許誤差ε即可。若Δθ＜ε，就可以判斷該信號只有一個頻率成分；反之則在這個頻域范圍內(nèi)則有兩個發(fā)生主瓣干擾的頻率分量，就要使用本文提到的頻域分量分解法繼續(xù)進(jìn)行分析。

3 頻域向量分解法

設(shè)有兩個發(fā)生主瓣干擾的單頻率成分a（t）與b（t），其疊加信號為c（t）。海寧窗DFT結(jié)果分別為A（f）、B（f）、C（f）。海寧窗的主瓣內(nèi)有3～4條譜線。取C（f）中幅值最大的3條，設(shè)為C1、C2、C3，其對應(yīng)相位為θ1、θ2、θ3。設(shè)A（f）與B（f）對應(yīng)3條復(fù)數(shù)譜線為A1、A2、A3與B1、B2、B3，其在復(fù)頻域中疊加關(guān)系見圖2。

圖2 頻域向量分解法原理Fig.2 Principleof frequency domain vector analysis

由于A（f）與B（f）都是單頻信號的頻譜函數(shù)，根據(jù)前文提到的相位共線原則，譜線A1、A2、A3必過坐標(biāo)原點O共線；B1、B2、B3也過坐標(biāo)原點并共線。過O做一條垂直于直線B1B2B3的軸線x，與坐標(biāo)軸Re夾角為α1，與直線A1A2A3夾角為β1，此時C1、C2、C3在Re上的投影為V1、V2、V3，則

C1、C2、C3是A1與B1、A2與B2、A3與B3矢量疊加的結(jié)果，由平行四邊形法則可知，V1、V2、V3同樣是A1、A2、A3在x軸上的投影，則

由于A1、A2、A3是單頻率成分頻域上的譜線，由單頻率成分的幅值判定方法[11]為

式中：f為真實頻率；ΔK為校正頻率；Δf為頻率分辨率。根據(jù)Hanning窗幅值校正公式，可以得

式中:ΔKA為對應(yīng)于主瓣3條幅值最大譜線中最左邊譜線Lleft與最大譜線Lmax的左校正量；ΔKB為對應(yīng)最右邊譜線Lright與最大譜線Lmax的右校正量。當(dāng)信號為單頻率信號時滿足

將式（3）、式（4）、式（6）～式（8）合并，可以得

式中，C1、C2、C3與θ1、θ2、θ3都為已知數(shù)，要求α1。為了減少計算時間，本文采用查表插值法來計算α1，同理可以計算出α2，則此時有

由式（3）和式（4）可得

式中，i=1，2，3。同理可求得B1、B2、B3。A2、B2對應(yīng)的相角分別為

至此，本方法已把這兩個頻率分量完全分離開，再分別單獨對它們進(jìn)行頻率、幅值校正即可[11]。

4 算例分析

設(shè)含有間諧波的電力系統(tǒng)電壓信號為

式中，信號中各頻率成分的總數(shù)M=8，基波頻率為50.1Hz。具體參數(shù)如表1所示。

對其采樣，采樣頻率為1 000Hz，采樣10個周期。分別采用文獻(xiàn)[7]的奇數(shù)頻點插值法（方法一）與本文方法（方法二）做比較。信號在這兩種方法下DFT的幅值頻譜圖如圖3所示。通過兩種方法的分析計算比較，其結(jié)果如表2～表4所示。

表1 信號參數(shù)Tab.1 Signalparaments

圖3 仿真信號幅值頻譜Fig.3 Amplitude spectra of thesimulation signal

表2 頻率的相對誤差Tab.2 Relativeerrors in calculating frequency

表3 幅值的相對誤差Tab.3 Relativeerrors in calculating amplitude

表4 相位的相對誤差Tab.4 Relative errors in calculating phase

方法一通過對信號DFT計算結(jié)果的相位進(jìn)行研究，利用相位旋轉(zhuǎn)使得旁瓣各譜線相位相反，在插值過程實現(xiàn)泄漏抵消，能夠有效地抑制各頻域分量旁瓣的影響。但在信號發(fā)生主瓣干擾時，它只能測出發(fā)生了主瓣干擾的諧波與間諧波中幅值較大的諧波分量，相對較小的間諧波分量則被完全淹沒。同時，由于間諧波對諧波分量的譜線干擾，使得對較大分量的參數(shù)校正也受到了極大的影響。以本算例來說明，信號中存在頻率為50.1Hz諧波與53.2 Hz間諧波兩個頻率分量，直接使用奇數(shù)頻點插值法校正后被算作了一個幅值為0.98（p.u.）的50.063 4Hz的基波分量，而間諧波分量則未被檢測出來。

4 結(jié)論

（1）在非同步采樣條件下，加窗插值FFT算法能夠有效抑制各頻率分量間的相互干擾，但卻很難檢測出發(fā)生了主瓣干擾的兩個分量。

（2）本文分析了發(fā)生主瓣干擾兩頻率分量在頻譜上重疊干涉情況，提出一種基于頻譜向量分解的檢測方法。在IEC61000-4-7所推薦的10個采樣周期的條件下，本方法能有效地分辨并計算出發(fā)生主瓣干擾的兩頻率分量的信號參數(shù)。仿真結(jié)果證明，該方法簡單易行，有較高的測量精度。

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