代數(shù)式b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式.

根據(jù)b2-4ac的值的符號(hào)，可以確定一元二次方程根的情況. 反過(guò)來(lái)，也可由一元二次方程根的情況來(lái)確定b2-4ac的值的符號(hào). 即有：

b2-4ac>0？圳方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

b2-4ac=0？圳方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，

b2-4ac<0？圳方程沒(méi)有實(shí)根，

b2-4ac≥0？圳方程有兩個(gè)實(shí)根.

例1 關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+

2mx+m+2=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

【解析】根據(jù)已知條件應(yīng)滿足b2-4ac>0，m-1≠0.即（2m）2-4（m-1）（m+2）>0，m-1≠0.

解得-4m+8>0，m≠1. ∴m<2且m≠1.

變式一 關(guān)于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

【解析】有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，就說(shuō)明此方程是一元二次方程，則有

（2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，m-1≠0.

即-4m+8≥0，m≠1. ∴m≤2且m≠1.

變式二 關(guān)于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

【分析】題目只講有實(shí)數(shù)根，有可能有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)方程為一元一次方程；也有可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)方程為一元二次方程. 因此，本題應(yīng)分兩種情況解答.

解：關(guān)于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根，

①若此方程為一元一次方程，則a-5=0，a=5；

②若此方程為一元二次方程，則（-4）2-4×（a-5）×（-1）≥0，a-5≠0.

解得a≥1，且a≠5.

綜上所述，a的取值范圍為a≥1.

例2 已知關(guān)于x的方程x2-2（k+1）x+4k=0.

（1） 求證：無(wú)論k取何值時(shí)方程總有實(shí)數(shù)根；

（2） 若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a=4，另兩邊b、c的長(zhǎng)恰好是方程x2-2（k+1）x+4k=0的兩個(gè)根. 求△ABC的周長(zhǎng).

【分析】（1） 要證明無(wú)論k取何值時(shí)方程總有實(shí)數(shù)根，只要證明b2-4ac≥0即可.

（2） 因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，有可能a=b=4，即方程x2-2（k+1）x+4k=0有一根為4，將x=4代入方程求出k的值，再通過(guò)解方程，求出方程的兩個(gè)根；有可能b=c，說(shuō)明此方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即b2-4ac=0，這樣可求出k的值，再通過(guò)解方程，求出方程的根.需要注意的是兩種情況都要考慮兩邊之和是否大于第三邊.

解：（1） ∵b2-4ac=4（k+1）2-4·4k=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，

∴無(wú)論k取何值時(shí)方程總有實(shí)數(shù)根.

（2） ∵△ABC是等腰三角形，a=4，∴分兩種情況討論：

①若a=b=4，則16-8（k+1）+4k=0，解得k=2，∴x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2.

∴a=b=4，c=2，此時(shí)b+c>a，∴△ABC的周長(zhǎng)=4+4+2=10；

②若b=c，∴方程x2-2（k+1）x+4k=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，∴b2-4ac=4（k-1）2=0，∴k=1，∴x2-4x+4=0，解得x1=x2=2，∴a=4，b=c=2，此時(shí)b+c=a，不符合題意，舍去.

綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為10.