數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的兩大支柱. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，是鍛煉數(shù)學(xué)能力、形成數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁. 數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)知識(shí)中抽象概括出來的對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí). 數(shù)學(xué)思想在《二次函數(shù)》這一章中有較多的應(yīng)用，本文對(duì)有關(guān)應(yīng)用歸納如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

一、 方程思想

通過列方程（組）求解數(shù)學(xué)問題的一種解題策略，我們稱之為方程思想. 在本章中許多問題都可以通過列、解方程（組）解決，其中方程思想體現(xiàn)最多的是利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

例1 已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)是（1，-4），且經(jīng)過點(diǎn)（3，0），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

【分析】為了拓寬同學(xué)們的視野，我們分別采用一般式、頂點(diǎn)式及交點(diǎn)式三種方法求二次函數(shù)解析式.

【解法1】設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c，根據(jù)題意，a+b+c=-4，9a+3b+c=0，-■=1.

解得a=1，b=-2，c=-3.

所以二次函數(shù)解析式為：y=x2-2x-3.

【解法2】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為（1，-4），所以設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-1）2-4，把（3，0）代入上式，得a（3-1）2-4=0，解得a=1，則二次函數(shù)解析式為：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

【解法3】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為（1，-4），且經(jīng)過點(diǎn)（3，0），可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），所以設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-3）·（x+1），把（1，-4）代入解析式，解得a=1，則二次函數(shù)解析式為：y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3.

【點(diǎn)評(píng)】方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，解法1是設(shè)一般式求解，即利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式來列方程組；解法2是利用頂點(diǎn)式求解；解法3利用拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，得到交點(diǎn)式解析式，然后把點(diǎn)（1，-4）代入所設(shè)的解析式，從而得解. 顯然解法2是本題的最佳解法.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)無形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微 ”，數(shù)形結(jié)合思想就是充分利用數(shù)量關(guān)系和圖形的結(jié)合，尋求解題思路，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，從而達(dá)到以形助數(shù)、以數(shù)解形的效果.

例2 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c<0；④2c<3b；⑤a+b>m（am+b）（m≠1），其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）.

A. 2個(gè) B. 3個(gè)

C. 4個(gè) D. 5個(gè)

【分析】觀察拋物線的位置走向、關(guān)鍵點(diǎn)的位置坐標(biāo)以及解析式中各系數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而作出判斷.

解：觀察圖象可知，拋物線開口向下，得a<0，因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸x=-■=1，所以b=-2a>0，因?yàn)閽佄锞€與y軸的交點(diǎn)在y軸的上方，可得c>0，則abc<0，即①錯(cuò)誤. 根據(jù)圖象與拋物線的對(duì)稱性可知，當(dāng)x=-1時(shí)，y<0，當(dāng)x=2時(shí)，y>0，從而可得a-b+c<0，4a+2b+c>0，即②③錯(cuò)誤. 根據(jù)以上的判斷，a-b+c<0，b=-2a，把a(bǔ)=-■代入a-b+c<0得，-■-b+c<0，從而可得2c<3b，即④正確. 根據(jù)圖象可得，當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值=a+b+c，當(dāng)x=m≠1時(shí)，y=am2+bm+c，從而可得a+b+c>am2+bm+c，化簡(jiǎn)得a+b>am2+bm，a+b>m（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)），即⑤正確.所以應(yīng)選A.

【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)中的字母系數(shù)有著密切關(guān)系，利用二次函數(shù)的圖象信息，將數(shù)與形有效地結(jié)合與轉(zhuǎn)化，根據(jù)圖象信息轉(zhuǎn)化為方程或不等式再求解，從而較好地實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)、以數(shù)解形的效果，這也是近幾年中考的熱點(diǎn).

三、 函數(shù)模型思想

函數(shù)模型思想意在把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡(jiǎn)化、抽象為數(shù)量間關(guān)系，即用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象. 生活中的許多問題，如最大利潤(rùn)、最小成本、方案最優(yōu)化等，常常需要建立函數(shù)模型解決.

例3 某賓館客房部有60個(gè)房間供游客居住.當(dāng)每個(gè)房間的收費(fèi)定為每天200元時(shí)，房間可以住滿；當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑.對(duì)游客入住的房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用.設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)增加x元，求：

（1） 房間每天的入住量y（間）關(guān)于x（元）的函數(shù)解析式；

（2） 該賓館每天的利潤(rùn)W（元）關(guān)于x（元）的函數(shù)解析式；當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天多少元時(shí)，W取得最大值.

【分析】每天的入住量=總房間數(shù)-每天的定價(jià)增加量÷10，每天的房間收費(fèi)=每間定價(jià)×每天入住量，每天的利潤(rùn)=每天的房間收費(fèi)-各種費(fèi)用總和.

解：（1） y=60-■x；

（2） W=（200+x）60-■-20×60-■，即W=-■x2+42x+10 800=-■（x-210）2+15 210. 當(dāng)x=210時(shí)，W有最大值15 210，此時(shí)，x+200=410，即當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天410元時(shí)，W有最大值是15 210元.

【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)是能夠刻畫現(xiàn)實(shí)生活中某些情境的數(shù)學(xué)模型. 一般先根據(jù)題意把實(shí)際問題中的條件轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)條件，再確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)解析式去解決實(shí)際問題. 求解過程中關(guān)鍵要求出自變量的取值范圍，再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

四、 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是將未知問題或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比等途徑，轉(zhuǎn)化為我們已解決或易于解決的問題.簡(jiǎn)單地說，就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，通過轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單.

例4 利用函數(shù)圖象判斷方程2x2-x-1=0有沒有實(shí)數(shù)解，若有，求出它的解（精確到十分位）.

【分析】求一元二次方程的近似解可以轉(zhuǎn)化為用函數(shù)圖象解方程，這里介紹兩種方法：一是看函數(shù)y=2x2-x-1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；二是看二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如看函數(shù)y=2x2與y=x+1的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【解法1】設(shè)y=2x2-x-1，則方程2x2-x-1=0的解就是該函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 同學(xué)們不妨在平面直角坐標(biāo)中畫出函數(shù)y=2x2-x-1的圖象，設(shè)其與x軸交點(diǎn)為A、B，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)x1、x2就是方程的解.由圖象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.

【解法2】在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=2x2與y=x+1的圖象，得到兩函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2就是方程的解.由圖象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.

【點(diǎn)評(píng)】轉(zhuǎn)化思想就是換一種方式去思考，使問題朝著有利于解決的方向去發(fā)展.本例把求一元二次方程的近似解轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)圖象解方程，從而達(dá)到化抽象為具體、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的效果. 轉(zhuǎn)化思想在本章中有很多的應(yīng)用，如通過平移二次函數(shù)圖象把復(fù)雜的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，如通過觀察二次函數(shù)的圖象巧妙地求解一元二次不等式問題以及一元二次方程的有無實(shí)數(shù)解問題，如把實(shí)際問題中的求最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的求最值問題等等.學(xué)好用好轉(zhuǎn)化思想，有如順?biāo)浦?，能大幅提升解題能力.

五、 分類思想

當(dāng)問題包含多種可能情況，不能一概而論時(shí)，必須按可能出現(xiàn)的所有情況來分別求解，這種方法稱之為分類討論思想. 分類必須遵循以下兩條原則：（1） 每一次分類要按照同一種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（2） 不重復(fù)，不遺漏.

例5 如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），若△OMN的面積為S，直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4），求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

【分析】當(dāng)0≤t≤4時(shí)，隨著直線l的平移，點(diǎn)N在線段OC上，點(diǎn)M可能在線段OA上，也有可能在線段AB上，因此計(jì)算△OMN的面積時(shí)要進(jìn)行分類討論.

解：當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)M在線段OA上，ON=t，MN=■t，S=■ON·MN=■t2；

當(dāng)2≤t≤4時(shí)，點(diǎn)M在線段AB上，ON=t，MN=2■，S=■ON·MN=■t.

例6 若函數(shù)y=（a-1）x2-2ax+a與x軸總有交點(diǎn)，求a的取值范圍.

【分析】由于題設(shè)中未說明函數(shù)的次數(shù)，也未說明圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因此題設(shè)中的函數(shù)可能是二次函數(shù)也可能是一次函數(shù).

解：當(dāng)a-1=0時(shí)，即當(dāng)a=1時(shí)，原函數(shù)是一次函數(shù)y=-2x+1，顯然與x軸有一個(gè)交點(diǎn). 當(dāng)a-1≠0時(shí)，解得a≠1，原函數(shù)為二次函數(shù)，由函數(shù)與x軸總有交點(diǎn)，可得：Δ=4a2-4（a-1）a≥0， 最終得a≥0且a≠1. 綜上可得，a的取值范圍為a≥0.

【點(diǎn)評(píng)】在二次函數(shù)這一章節(jié)中，分類思想的應(yīng)用有很多，我們要認(rèn)真審題，找出各種可能的情況，通過對(duì)各種情況的分析，全面、透徹地解答問題. 在對(duì)問題的分類討論時(shí)，要克服思維的片面性，防止漏解、錯(cuò)解.