古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，一切立體圖形最美是球，一切平面圖形最美是圓. 而圓的學(xué)習(xí)，不僅要熟練掌握基礎(chǔ)知識，更要重視思想的學(xué)習(xí). 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，也是將理論知識轉(zhuǎn)化為實踐技能的橋梁. 本文就帶領(lǐng)同學(xué)們到“圓”的世界里挖掘蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)略它美麗的風(fēng)采.

一、 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最基本最重要的思想之一，它的實質(zhì)是揭示問題的聯(lián)系. 通常要同學(xué)們把未知轉(zhuǎn)化成已知，將題目中不確定的關(guān)系轉(zhuǎn)化成確定的關(guān)系，將一般情況轉(zhuǎn)化成特殊情況來處理.

1. 圓中弧長和弦長的相互轉(zhuǎn)化

例1 如圖1，BC是⊙O的直徑，BD與EC是弦，BD=EC，說明AB=AC.

【分析】同學(xué)們的思路很清晰，會利用等角對等邊，把說明邊相等的問題轉(zhuǎn)化成說明角相等的問題. 如圖2，一部分同學(xué)通過說明三角形全等，實現(xiàn)∠B=∠C. 這種方法很好，利用了圓的半徑處處相等的隱含條件構(gòu)造全等三角形實現(xiàn)角度轉(zhuǎn)化. 還有一部分同學(xué)會利用同圓中弧和這條弧所對的弦的關(guān)系，把弦相等的問題轉(zhuǎn)化成弧相等. 即通過BD=EC說明■=■，進(jìn)一步說明■=■，從而實現(xiàn)∠B=∠C.

比較兩種方法，利用圓中弧和弦的相互轉(zhuǎn)化是解決圓中線段問題的有效手段.

練習(xí)：如圖3，CD是△ABC外角∠MCA的平分線，CD與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D.

（1） 若∠BCA=60°，說明△ABD是等邊三角形；（2） 設(shè)點(diǎn)F為■上一點(diǎn)，且■=■，DF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)E，說明AC·AF=DF·FE.

【分析】第二小題中要利用■=■，說明∠CDB=∠FDA，進(jìn)一步得∠CDA=∠FDB，從而得∠FAE=∠CDA，為相似創(chuàng)造條件，得到AC·AF=DC·FE. 其次利用同弧所對的圓周角相等，對圓周角轉(zhuǎn)化后得到∠DBA=∠DAB，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為■=■，得到■=■，從而得到DC=DF.

2. 圓中同弧所對圓周角、圓心角的轉(zhuǎn)化

例2 如圖4，AD是△ABC外接圓的直徑，AD=6 cm，∠DAC=∠ABC，求AC的長.

【分析】連接DC，如圖5，利用同弧■，就可以得到∠ABC與∠ADC相等，在Rt△ACD中實現(xiàn)求AC的目標(biāo). 所以同學(xué)們在圓中要善于觀察同弧所對的圓周角. 必要時構(gòu)造同弧所對的圓周角轉(zhuǎn)化已知角度.

練習(xí)：如圖6，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD.

（1） P是■上一點(diǎn)（不與C、D重合），說明：∠CPD=∠COB；

（2） 點(diǎn)P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時，∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系？

【分析】（1） 如圖6，連接OD，由垂徑定理可知，■=■，得到∠COB=■∠COD，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，可知∠CPD=■∠COD，故∠CPD=∠COB.

（2） 由于∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB，故∠CP′D+∠COB=180°.

二、 分類討論思想

分類討論在圓中也經(jīng)常運(yùn)用到，分類時必須遵循三條原則：（1） 分類標(biāo)準(zhǔn)必須統(tǒng)一；（2） 任何兩種情況不能重復(fù)；（3） 每一種情況都不能遺漏.

例3 A、B、C、D都在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O半徑為13，求以A、B、D、C為頂點(diǎn)的梯形的面積.

【分析】由于圓是軸對稱圖形，僅僅已知弦長，在圓中的位置是不確定的，所以要分兩種情況進(jìn)行討論. 如圖7，分CD在優(yōu)弧■和劣弧■上. 利用垂徑定理，我們可以分別求得梯形ABDC的高.

練習(xí)：（2012·江蘇南京）如圖8，A、B為⊙O上的兩個定點(diǎn)，P是⊙O上的動點(diǎn)（P不與A、B重合），我們稱∠APB為⊙O上關(guān)于A、B的滑動角.

（1） 已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角.

①若AB為⊙O的直徑，則∠APB=______；

②若⊙O半徑為1，AB=■，求∠APB的度數(shù).

（2） 已知O2為⊙O1外一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心作一個圓與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB為⊙O1上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O2于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）①∵AB為圓O的直徑，

∴∠APB=90°. 故答案為：90°.

②如圖9，連接OA、OB、AB，∵圓O半徑為1，AB=■，∴OA2+OB2=AB2，

∴∠AOB=90°，

若點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上，則∠AP1B=■∠AOB=45°；

若點(diǎn)P在劣弧AB上，則∠AP2B=180°-∠AP1B=135°. ∴∠APB的度數(shù)為45°或135°.

（2） 同學(xué)們要探究∠APB與∠MAN、∠ANB的關(guān)系，就要考慮點(diǎn)P、M、N在圓中的位置，三個不定點(diǎn)要去研究，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是一個難點(diǎn). 如圖10，要綜合考慮點(diǎn)P在優(yōu)弧■或劣弧■上，點(diǎn)M、N在優(yōu)弧■或劣弧■上，從而對∠APB、∠MAN、∠ANB進(jìn)行分類討論. 所以，我們進(jìn)行如下討論：

第一種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間.

如圖①，∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠MAN-∠ANB.

第二種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間.

如圖②，∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB.

第三種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間.

如圖③，∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°-∠ANB），

∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°.

第四種情況：點(diǎn)P在⊙O2內(nèi)，如圖④，∠APB=∠MAN+∠ANB.

三、 類比思想

類比思想在探究題中經(jīng)常用到. 它能夠解決一些看似復(fù)雜困難的問題. 從遷移過程看，有些類比十分明顯、直接，比較簡單，而有些類比需建立在抽象分析的基礎(chǔ)上才能實現(xiàn).

例4 如圖11，⊙O1與⊙O2相交于A、B，P為⊙O1優(yōu)弧■上一點(diǎn)，PA、PB、PO1分別交⊙O2于C、D、E三點(diǎn).

（1） 寫出CD與PE位置關(guān)系.

（2） 點(diǎn)P為劣弧■上一點(diǎn)時，（1）中結(jié)論是否成立？畫出圖形.

【分析】（1） 如圖12，易得∠PBA=∠ACD，由同弧所對圓周角相等得∠PBA=∠PMA，從而得到∠PMA=∠ACD，由于∠PMA+∠APM=90°，故∠PCD+∠APM=90°，也就是∠CNE=90°，即CD⊥PE.

這類題型由于點(diǎn)的位置不同，圖形肯定會發(fā)生變化，但類比問題（1），有很多本質(zhì)沒有變：如圖13，直線PA交⊙O2于點(diǎn)D，直線PB交⊙O2于點(diǎn)C，直線PO1交⊙O2于點(diǎn)E. 所以，上一題的結(jié)論依然成立. 一般情況下這種題的說明思路也是一樣的.

（2） 如圖14，由同弧所對圓周角相等得∠BCD=∠BAP，∠HPB=∠HAB，所以又得∠CPE=∠HAB，由于HP是直徑，所以∠HAB+∠BAP=90°，所以∠PCD+∠CPE=90°，故CD⊥PE.

深入挖掘圓中的數(shù)學(xué)思想，掌握和深化數(shù)學(xué)思想，對于提升數(shù)學(xué)能力有著長遠(yuǎn)的意義. 掌握數(shù)學(xué)思想方法，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是會印入你的邏輯思維中.