二次函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和實(shí)際生活問(wèn)題的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用非常廣泛.學(xué)習(xí)二次函數(shù)使我們?cè)诹私饬艘淮魏瘮?shù)、反比例函數(shù)之后，對(duì)函數(shù)有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí). 二次函數(shù)是初中階段研究的最后一個(gè)具體函數(shù)，也是最重要的，在歷年的中考題中占有較大比例.同時(shí)，二次函數(shù)和以前學(xué)過(guò)的一元二次方程有著密切的聯(lián)系，學(xué)習(xí)二次函數(shù)將為方程的解法提供新的途徑，并使我們深刻地理解“數(shù)形結(jié)合”的重要思想，更是我們今后高中解一元二次不等式的基礎(chǔ). 要努力學(xué)好二次函數(shù)，先要深刻理解二次函數(shù)的相關(guān)概念.

一、 二次函數(shù)的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)且a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，而b、c可以為零. 二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，也就是說(shuō)自變量x可以取一切實(shí)數(shù). 我們把這個(gè)解析式叫做二次函數(shù)的一般式.

例1 判斷下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)？哪些不是二次函數(shù)？若是二次函數(shù)，指出a、b、c的值.

（1） y=3（x-1）2-1；（2） s=3-2t2；（3） y=（x+3）2-x2；（4） s=10πr2；（5） y=22+2x；（6） y=x4+2x2+1.

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的概念我們可把上面的式子都化成形如y=ax2+bx+c的式子，從而知（3）和（5）不含x的二次項(xiàng)，故不是二次函數(shù)；（6）含x的四次項(xiàng)，故也不是二次函數(shù)；（1）是二次函數(shù)，其中a=3、b=-6、c=2；（2）是二次函數(shù)，其中a=-2、b=0，c=3；（4）是二次函數(shù)，其中a=10π、b=0、c=0.

例2 （1） 如果函數(shù)y=xk2-3k+2+kx+1是二次函數(shù)，則k的值是______；

（2） 如果函數(shù)y=（k-3）xk2-3k+2+kx+1是二次函數(shù)，則k的值是______.

【解析】此題著重強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)的特征：自變量的最高次數(shù)為2次，且二次項(xiàng)系數(shù)不為0，所以（1）中k2-3k+2=2，k=0或3，而（2）中，k-3≠0，k的值只能為0.

例3 用30 m長(zhǎng)的護(hù)欄，靠墻圍成一個(gè)矩形花壇，寫(xiě)出花壇面積y（m2）與矩形邊長(zhǎng)x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍.

【解析】一般二次函數(shù)自變量x的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但具體到實(shí)際問(wèn)題，自變量的取值范圍是使實(shí)際問(wèn)題有意義的值. y=15x-■x2（0

二、 二次函數(shù)的另外兩種表示方法

（1） 頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a、h、k為常數(shù)，a≠0），其中點(diǎn)（h，k）為二次函數(shù)圖象（拋物線）的頂點(diǎn).

（2） 交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2），其中a≠0，x1、x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2-4ac≥0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a（x-h）2+k的形式，其中h=-■，k=■.

例4 根據(jù)下列條件求二次函數(shù)的表達(dá)式：

（1） 二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（0，-2），（1，2），（-1，3）三點(diǎn)；

（2） 二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1=-3，x2=1，且與y軸交點(diǎn)為（0，-2）；

（3） 二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是-3，■，且圖象過(guò)點(diǎn)2，■.

【解析】（1） 設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，把（0，-2），（1，2），（-1，3）三點(diǎn)坐標(biāo)代入得：c=-2，a+b+c=2，a-b+c=3. 解得a=■，b=-■，c=-2，從而解析式為y=■x2-■x-2；

（2） 已知交點(diǎn)坐標(biāo)（-3，0）和（1，0），故設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+3）（x-1），再把x=0、y=-2代入上式，得a=■，所以解析式為y=■（x+3）（x-1）；

（3） 已知頂點(diǎn)坐標(biāo)-3，■，設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+3）2+■，再把x=2、y=■代入上式，得a=■，所以解析式為y=■（x+3）2+■.

【小結(jié)】根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便. 一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：

1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；

3. 已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用交點(diǎn)式；

4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.

三、 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的結(jié)構(gòu)特征及a、b、c的意義

（1） 等號(hào)左邊是應(yīng)變量y，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.

（2） a、b、c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下；a的大小決定開(kāi)口的大小，a大，開(kāi)口小， 反之a(chǎn)小，開(kāi)口大. 在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置，即對(duì)稱(chēng)軸h=-■. c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置，即拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）. 總之，只要a、b、c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.

例5 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）.

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

【解析】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

由圖象知h=-■=2，故a、b異號(hào)，且4a+b=0；當(dāng)y=-2時(shí)，由對(duì)稱(chēng)知x的值有兩個(gè)；所以②③正確，故選B.

總之，二次函數(shù)的相關(guān)概念有很多，我們要在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上來(lái)研究二次函數(shù)，只有這樣才能迅速、便捷地解答二次函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，鍛煉我們的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望與信心.