在處理圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本質(zhì)，會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. 下面就圓的重要概念加以分析.

一、 弦、弧的概念

例1 如圖1，圖中有______條弦，______條直徑，圓中以A為端點(diǎn)的弧中，優(yōu)弧有______條，劣弧有______條.

【分析】弦是指連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線段. 圖中圓上共有四個(gè)點(diǎn)，連接任意兩點(diǎn)均可形成一條弦，所以共有6條弦：弦AB、AC、AD、BC、BD、CD. 我們把經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑. 這6條弦中有1條弦AB經(jīng)過(guò)圓心，故圓中只有1條直徑.可見：直徑是弦，但弦不一定是直徑. 弧是指圓上任意兩點(diǎn)間的部分. 圓上A、B兩點(diǎn)之間可形成兩條弧，因?yàn)锳B是直徑，所以它們是兩條等弧，我們把這兩條弧都叫作半圓. 不難發(fā)現(xiàn)：半圓是弧，但弧不一定是半圓. 圓上A、C兩點(diǎn)和A、D兩點(diǎn)之間也都形成兩條弧，其中弧ADC、弧ACD大于半圓稱之為優(yōu)弧，弧AC、弧AD小于半圓，稱之為劣弧. 而半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧. 所以圓中以A為端點(diǎn)的6條弧中，優(yōu)弧有2條，劣弧有2條，半圓有2個(gè).

例2 下列結(jié)論正確的有：______. （填序號(hào)）

①長(zhǎng)度相等的兩條弧是等?。虎谕粭l弦所對(duì)的兩條弧是等??；③面積相等的兩個(gè)圓是等圓；④周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是同心圓.

【分析】等弧是指在同圓或等圓中，能夠相互重合的弧. 長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定在同圓或等圓中，也不一定能夠重合，只能說(shuō)明弧長(zhǎng)的值相等，故①是錯(cuò)誤的. 圓中任意一條弦都對(duì)兩條弧，直徑所對(duì)的兩條弧是等弧，但非直徑的弦所對(duì)的兩條弧，一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，不能重合，不是等弧，故②是錯(cuò)誤的. 等圓是指能夠互相重合的兩個(gè)圓. 當(dāng)兩個(gè)圓面積相等時(shí)，其半徑一定也相等，必然能夠重合，故③是正確的. 等弧、等圓的共同特征是“能夠互相重合”. 同心圓是指圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓. 當(dāng)兩圓周長(zhǎng)相等時(shí)，只能判斷出半徑相等，其圓心不一定相同，故④是錯(cuò)誤的.

二、 圓周角的概念

例3 在下列各圖中，圖______中的角是圓周角. （填序號(hào)）

【分析】頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. 我們?cè)谂袛嘁粋€(gè)角是否為圓周角時(shí)只要抓住這個(gè)角是否同時(shí)滿足圓周角的這兩個(gè)特征. 圖①、圖③中的角的頂點(diǎn)分別在圓外和圓內(nèi)，圖④中的角只有一邊和圓相交，圖⑤中的角兩邊都不和圓相交，故都不是圓周角. 圖②中的角滿足圓周角的兩個(gè)特征，是圓周角.

三、 外接圓、外心、內(nèi)接三角形的概念

例4 下列命題中正確的是（ ）.

A. 三點(diǎn)確定一個(gè)圓

B. 三角形有且只有一個(gè)外接圓

C. 三角形的外心是這個(gè)三角形任意兩角的角平分線的交點(diǎn)

D. 圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形

【分析】關(guān)于“三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的問(wèn)題，當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，無(wú)法確定一個(gè)點(diǎn)（圓心），使它到已知三點(diǎn)的距離相等，所以只有不在同一直線上的三點(diǎn)才能確定一個(gè)圓. 故A是錯(cuò)誤的.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能并且只能確定一個(gè)圓，故B是正確的. 三角形的外心是指外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以三角形的外心是這個(gè)三角形任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故C是錯(cuò)誤的. 圓的內(nèi)接三角形是指三角形在圓的內(nèi)部，且它的三個(gè)頂點(diǎn)都在已知圓上，所以已知圓內(nèi)可以作無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形，故D是錯(cuò)誤的.

四、 點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

例5 如圖2，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，AB=13，CD⊥AB于D，以點(diǎn)C為圓心，5 cm為半徑作⊙C，試判斷A、D、B三點(diǎn)與⊙C的位置關(guān)系.

【分析】這個(gè)問(wèn)題是已知三個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定圓，要判斷定圓與三個(gè)定點(diǎn)的位置關(guān)系. 此時(shí)我們只要求A、D、B三點(diǎn)到圓心C的距離d，再分別與半徑（r=5）的大小進(jìn)行比較，就能方便地確定. 若點(diǎn)在圓內(nèi)？圳dr. 所以只要求出線段AC、DC、BC的長(zhǎng)度即可.

由勾股定理得：BC=■=5，又∵S△ABC=■BC·AC=■CD·AB，

∴CD=■=■=■.

∵AC=12>5，∴點(diǎn)A在⊙C外.

∵CD=■<5，∴點(diǎn)D在⊙C內(nèi). ∵BC=5，

∴點(diǎn)B在⊙C上.

例6 如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與AB有何位置關(guān)系？為什么？

【分析】圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系決定了直線與圓的位置關(guān)系. 題中給出的條件是一個(gè)已知三邊大小的定三角形和一個(gè)定圓心、半徑r可以變化的動(dòng)圓C，問(wèn)題是要判斷動(dòng)圓C和定線段AB的位置關(guān)系. 如何思考這個(gè)問(wèn)題？我們能觀察到：隨著半徑r的由小變大，⊙C必然會(huì)和AB相切. 若設(shè)切點(diǎn)為D，則CD⊥AB，此時(shí)求出CD的長(zhǎng)，則半徑r就可知. 相切的位置關(guān)系知道了，相離、相交的位置關(guān)系就迎刃而解了. 這種方法我們不妨把它叫作“以靜制動(dòng)”的方法.

如圖4，作CD⊥AB于點(diǎn)D. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴BC=■=■=4（cm），

又∵S△ABC=■BC·AC=■CD·AB，

∴CD=■=■=2.4（cm）.

∴當(dāng)0r，⊙C與AB相離；當(dāng)r=2.4 cm時(shí)，d=r，⊙C與AB相切；當(dāng)r>2.4 cm時(shí)，d

例7 （2012·江蘇常州）已知兩圓半徑分別為7、3，圓心距為4，則這兩圓的位置關(guān)系為（ ）.

A. 外離B. 內(nèi)切C. 相交D. 內(nèi)含

【解析】本題已知兩圓半徑大小和圓心距的大小，只要對(duì)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法清楚就易解此題. 根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定：外離？圳d>R+r；外切？圳d=R+r；相交？圳R-r