祖定利

（承德石油高等?？茖W(xué)校 社科與數(shù)理部，河北 承德 067000）

數(shù)學(xué)是產(chǎn)生較早的一門科學(xué)，最初的數(shù)學(xué)經(jīng)歷了長期的實(shí)踐檢驗(yàn)和豐富發(fā)展后才形成今天我們所見到的數(shù)學(xué)。最初的數(shù)學(xué)，是人類對(duì)自然現(xiàn)象一種經(jīng)驗(yàn)性的描述，隨后發(fā)展為一個(gè)邏輯嚴(yán)密的思想體系，而后又在各個(gè)方向開枝散葉，形成了龐大的數(shù)學(xué)體系。在數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的過程中，數(shù)學(xué)的許多特征也表現(xiàn)出來：數(shù)學(xué)的概念和方法具有很高的抽象性，數(shù)學(xué)的體系具有極強(qiáng)的邏輯嚴(yán)密性。這樣兩個(gè)基本的特征決定了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。

1 現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法與物理學(xué)的第一次融合

19世紀(jì)是數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的世紀(jì)。數(shù)學(xué)中三個(gè)最重要的分支——分析、幾何、代數(shù)都有了長足的發(fā)展。在幾何學(xué)方面，從歐氏幾何過渡到黎曼幾何、再到非黎曼幾何,幾何學(xué)的發(fā)展并不是沒有原因的,實(shí)際上是由于傳統(tǒng)歐氏幾何不能滿足物理學(xué)日益發(fā)展的需要，進(jìn)而要求有新的數(shù)學(xué)工具的產(chǎn)生。幾何學(xué)在物理學(xué)強(qiáng)烈內(nèi)在需求的推動(dòng)下，得到了蓬勃發(fā)展，與此同時(shí)帶來了物理學(xué)上最具影響力之一的愛因斯坦廣義相對(duì)論的誕生。

希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得用邏輯方法整理幾何知識(shí)，建立起一個(gè)比較完整的幾何體系，這個(gè)幾何體系被看作嚴(yán)格性的典范。這就是我們通常所說的歐氏幾何。它表征的是平直空間，在愛因斯坦狹義相對(duì)論中，由于光速恒定，以它為基礎(chǔ)定義的坐標(biāo)和時(shí)間具有均勻和各向同性

的性質(zhì)，因此狹義相對(duì)論所依附的四維時(shí)空是一個(gè)具有平直性的偽歐是空間。因此歐氏幾何對(duì)狹義相對(duì)論的貢獻(xiàn)是巨大的，但隨著狹義相對(duì)論的發(fā)展和更加完善，產(chǎn)生了廣義相對(duì)論，然而在有引力場的情況下，光速依賴于坐標(biāo)，空間的幾何性質(zhì)發(fā)生了變化，不再是平直的了。所以要建立新的引力理論，就需要找到一種新的數(shù)學(xué)工具。1912年，愛因斯坦在數(shù)學(xué)家格羅斯曼的幫助下，找到了黎曼幾何，愛因斯坦用黎曼幾何來描述存在引力場的時(shí)間和空間寫出了正確的引力場方程，奠定了廣義相對(duì)論的理論基礎(chǔ)。愛因斯坦說：“我特別強(qiáng)調(diào)剛才所講的這種幾何學(xué)的觀點(diǎn)，因?yàn)橐菦]有它，我就不能建立相對(duì)論，要是沒有它，下面的考慮就不可能，在相對(duì)于一個(gè)慣性系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系中，由于洛倫茲收縮剛體的排列定律不符合歐幾里得規(guī)則，因此如果我們承認(rèn)非慣性系也有同等地位，我們就必須放棄歐幾里得幾何。”

這樣以來數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系就更加密切了，盡管數(shù)學(xué)喜歡純粹并遠(yuǎn)離其他科學(xué)，但其他科學(xué)尤其是物理學(xué)卻離不開數(shù)學(xué)。

總之，事物的發(fā)展形式是復(fù)雜而多樣的，有的事物的發(fā)展具有周期性特點(diǎn)，而有的事物不具有，具有周期性特點(diǎn)的事物的發(fā)展服從否定之否定規(guī)律，而不具有周期性特點(diǎn)的事物的發(fā)展則不遵循這個(gè)規(guī)律，這表明它并不是普遍適用的。這就要求人們在探討事物發(fā)展變化時(shí)，從實(shí)際出發(fā)，對(duì)事物的發(fā)展作認(rèn)真、細(xì)致的分析，而不要貼標(biāo)簽，更不要用它來為錯(cuò)誤的理論辯護(hù)。

2 現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法與物理學(xué)的第二次融合

現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法中的群論在物理學(xué)中的應(yīng)用也是不可忽視的，眾所周知，我們周圍的世界處在對(duì)稱和不對(duì)稱的矛盾同一之中，對(duì)客觀世界對(duì)稱性的研究，能幫助人們更深刻地認(rèn)識(shí)各種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，欣賞客觀世界的自然美。群論是研究系統(tǒng)對(duì)稱性的十分有效的數(shù)學(xué)工具，在群論方法建立之初，伽羅瓦（Galois）就根據(jù)代數(shù)方程根的置換對(duì)稱性證明了五次以上代數(shù)方程不能通過有限次加減乘除和開方運(yùn)算求得方程根的精確解，第一次顯示了群論方法在研究系統(tǒng)對(duì)稱性中的巨大潛力。

1890年費(fèi)德羅夫(Federov)和1891年熊夫利（Schoenflies）相繼用群論方法系統(tǒng)地解決了晶體分類問題，證明了具有周期性排列的規(guī)則空間點(diǎn)系共有230種，這是群論在物理中晶體分類問題中的一個(gè)杰出貢獻(xiàn)。

20世紀(jì)初物理學(xué)革命的另一項(xiàng)偉大的成就就是量子理論的建立，這與群論的發(fā)展是分不開的。隨著人類對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)逐步深入到微觀領(lǐng)域，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律呈現(xiàn)出新的特征，實(shí)驗(yàn)和理論研究變得更加困難，量子理論建立后，對(duì)稱性的內(nèi)容更豐富了，更加迫切的需要深入研究微觀系統(tǒng)的對(duì)稱性質(zhì)。用群論的方法研究量子系統(tǒng)的對(duì)稱性，可以得到系統(tǒng)的各種定量或定性的重要性質(zhì)，這些性質(zhì)直接來自系統(tǒng)的對(duì)稱性，與系統(tǒng)的具體細(xì)節(jié)無關(guān)。反之、對(duì)這些性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，可以鑒別系統(tǒng)是否具有此種對(duì)稱性，可以幫助探索系統(tǒng)的基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此、在對(duì)微觀世界的深入探索中，近代物理理論和群論理論共同得到了迅速的發(fā)展，群論方法已經(jīng)深入到物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)對(duì)物理的作用過去認(rèn)為，歸結(jié)起來是說數(shù)學(xué)是物理的語言，如廣義相對(duì)論中黎曼幾何的作用就是一種語言，但是在量子力學(xué)中，數(shù)學(xué)所起了魔術(shù)般的神秘作用，無論如何也不能認(rèn)為數(shù)學(xué)只是語言了。翻開量子力學(xué)教科書，首先看到的是光的干涉，電子的散射實(shí)驗(yàn)的說明，然后表明光子，電子等的離子狀態(tài)可以用波動(dòng)函數(shù)，即屬于某個(gè)Hilbert空間的向量來表示并導(dǎo)出若干狀態(tài)的波動(dòng)函數(shù)的迭加原理。迭加原理認(rèn)為，狀態(tài)A若是狀態(tài)B與C的迭加，則A的波動(dòng)函數(shù)就是B的波動(dòng)函數(shù)與C的波動(dòng)函數(shù)的線性組合，它是量子力學(xué)的基本原理。量子力學(xué)中首先把復(fù)雜至極的物理環(huán)境用唯一的波動(dòng)函數(shù)（向量）來表示，從而進(jìn)行簡單化，數(shù)學(xué)化的處理，這就是數(shù)學(xué)藝術(shù)美體現(xiàn)。

3 結(jié)束語

在當(dāng)今科學(xué)的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系越來越緊密，尤其體現(xiàn)在19紀(jì)末20世紀(jì)初相對(duì)論和量子理論的建立中，它不僅使人們對(duì)物質(zhì)世界的認(rèn)識(shí)深入到新的層次和領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)了宏觀低速領(lǐng)域所不曾發(fā)現(xiàn)的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而且揭示了時(shí)間、空間、物質(zhì)、運(yùn)動(dòng)之間的有機(jī)聯(lián)系，揭示了波動(dòng)性和粒子性、連續(xù)性和間斷性、必然性和偶然性之間的辨證關(guān)系，結(jié)束了機(jī)械論自然觀對(duì)物理學(xué)的長期統(tǒng)治，豐富和發(fā)展了辯證唯物主義。[1]

[1]鮑耀三，張純成.簡明自然科學(xué)史[M].河南：河南大學(xué)出版社，1988.9：260-261.

[2]張奠宙，王善平.陳省身傳[M].南開：南開大學(xué)出版社,2004.8.

[3]李浙生.數(shù)學(xué)科學(xué)與辯證法[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，1995.11：91-102.

[4]MichaelAtiyah.物理對(duì)幾何的影響[J].數(shù)學(xué)譯林,1991,(2)：125-128.

[5]小平邦彥.數(shù)學(xué)的印象[J].數(shù)學(xué)譯林,1991，（2）：129-132.