祖定利

（承德石油高等?？茖W(xué)校 社科與數(shù)理部，河北 承德 067000）

數(shù)學(xué)是產(chǎn)生較早的一門科學(xué)，最初的數(shù)學(xué)經(jīng)歷了長期的實踐檢驗和豐富發(fā)展后才形成今天我們所見到的數(shù)學(xué)。最初的數(shù)學(xué)，是人類對自然現(xiàn)象一種經(jīng)驗性的描述，隨后發(fā)展為一個邏輯嚴密的思想體系，而后又在各個方向開枝散葉，形成了龐大的數(shù)學(xué)體系。在數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的過程中，數(shù)學(xué)的許多特征也表現(xiàn)出來：數(shù)學(xué)的概念和方法具有很高的抽象性，數(shù)學(xué)的體系具有極強的邏輯嚴密性。這樣兩個基本的特征決定了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。

1 現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法與物理學(xué)的第一次融合

19世紀是數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的世紀。數(shù)學(xué)中三個最重要的分支——分析、幾何、代數(shù)都有了長足的發(fā)展。在幾何學(xué)方面，從歐氏幾何過渡到黎曼幾何、再到非黎曼幾何,幾何學(xué)的發(fā)展并不是沒有原因的,實際上是由于傳統(tǒng)歐氏幾何不能滿足物理學(xué)日益發(fā)展的需要，進而要求有新的數(shù)學(xué)工具的產(chǎn)生。幾何學(xué)在物理學(xué)強烈內(nèi)在需求的推動下，得到了蓬勃發(fā)展，與此同時帶來了物理學(xué)上最具影響力之一的愛因斯坦廣義相對論的誕生。

希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得用邏輯方法整理幾何知識，建立起一個比較完整的幾何體系，這個幾何體系被看作嚴格性的典范。這就是我們通常所說的歐氏幾何。它表征的是平直空間，在愛因斯坦狹義相對論中，由于光速恒定，以它為基礎(chǔ)定義的坐標和時間具有均勻和各向同性

的性質(zhì)，因此狹義相對論所依附的四維時空是一個具有平直性的偽歐是空間。因此歐氏幾何對狹義相對論的貢獻是巨大的，但隨著狹義相對論的發(fā)展和更加完善，產(chǎn)生了廣義相對論，然而在有引力場的情況下，光速依賴于坐標，空間的幾何性質(zhì)發(fā)生了變化，不再是平直的了。所以要建立新的引力理論，就需要找到一種新的數(shù)學(xué)工具。1912年，愛因斯坦在數(shù)學(xué)家格羅斯曼的幫助下，找到了黎曼幾何，愛因斯坦用黎曼幾何來描述存在引力場的時間和空間寫出了正確的引力場方程，奠定了廣義相對論的理論基礎(chǔ)。愛因斯坦說：“我特別強調(diào)剛才所講的這種幾何學(xué)的觀點，因為要是沒有它，我就不能建立相對論，要是沒有它，下面的考慮就不可能，在相對于一個慣性系統(tǒng)轉(zhuǎn)動的參考系中，由于洛倫茲收縮剛體的排列定律不符合歐幾里得規(guī)則，因此如果我們承認非慣性系也有同等地位，我們就必須放棄歐幾里得幾何?！?/p>

這樣以來數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系就更加密切了，盡管數(shù)學(xué)喜歡純粹并遠離其他科學(xué)，但其他科學(xué)尤其是物理學(xué)卻離不開數(shù)學(xué)。

總之，事物的發(fā)展形式是復(fù)雜而多樣的，有的事物的發(fā)展具有周期性特點，而有的事物不具有，具有周期性特點的事物的發(fā)展服從否定之否定規(guī)律，而不具有周期性特點的事物的發(fā)展則不遵循這個規(guī)律，這表明它并不是普遍適用的。這就要求人們在探討事物發(fā)展變化時，從實際出發(fā)，對事物的發(fā)展作認真、細致的分析，而不要貼標簽，更不要用它來為錯誤的理論辯護。

2 現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法與物理學(xué)的第二次融合

現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法中的群論在物理學(xué)中的應(yīng)用也是不可忽視的，眾所周知，我們周圍的世界處在對稱和不對稱的矛盾同一之中，對客觀世界對稱性的研究，能幫助人們更深刻地認識各種物質(zhì)的運動規(guī)律，欣賞客觀世界的自然美。群論是研究系統(tǒng)對稱性的十分有效的數(shù)學(xué)工具，在群論方法建立之初，伽羅瓦（Galois）就根據(jù)代數(shù)方程根的置換對稱性證明了五次以上代數(shù)方程不能通過有限次加減乘除和開方運算求得方程根的精確解，第一次顯示了群論方法在研究系統(tǒng)對稱性中的巨大潛力。

1890年費德羅夫(Federov)和1891年熊夫利（Schoenflies）相繼用群論方法系統(tǒng)地解決了晶體分類問題，證明了具有周期性排列的規(guī)則空間點系共有230種，這是群論在物理中晶體分類問題中的一個杰出貢獻。

20世紀初物理學(xué)革命的另一項偉大的成就就是量子理論的建立，這與群論的發(fā)展是分不開的。隨著人類對客觀世界的認識逐步深入到微觀領(lǐng)域，物質(zhì)運動規(guī)律呈現(xiàn)出新的特征，實驗和理論研究變得更加困難，量子理論建立后，對稱性的內(nèi)容更豐富了，更加迫切的需要深入研究微觀系統(tǒng)的對稱性質(zhì)。用群論的方法研究量子系統(tǒng)的對稱性，可以得到系統(tǒng)的各種定量或定性的重要性質(zhì)，這些性質(zhì)直接來自系統(tǒng)的對稱性，與系統(tǒng)的具體細節(jié)無關(guān)。反之、對這些性質(zhì)的實驗檢驗，可以鑒別系統(tǒng)是否具有此種對稱性，可以幫助探索系統(tǒng)的基本運動規(guī)律，因此、在對微觀世界的深入探索中，近代物理理論和群論理論共同得到了迅速的發(fā)展，群論方法已經(jīng)深入到物理學(xué)的各個領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)對物理的作用過去認為，歸結(jié)起來是說數(shù)學(xué)是物理的語言，如廣義相對論中黎曼幾何的作用就是一種語言，但是在量子力學(xué)中，數(shù)學(xué)所起了魔術(shù)般的神秘作用，無論如何也不能認為數(shù)學(xué)只是語言了。翻開量子力學(xué)教科書，首先看到的是光的干涉，電子的散射實驗的說明，然后表明光子，電子等的離子狀態(tài)可以用波動函數(shù)，即屬于某個Hilbert空間的向量來表示并導(dǎo)出若干狀態(tài)的波動函數(shù)的迭加原理。迭加原理認為，狀態(tài)A若是狀態(tài)B與C的迭加，則A的波動函數(shù)就是B的波動函數(shù)與C的波動函數(shù)的線性組合，它是量子力學(xué)的基本原理。量子力學(xué)中首先把復(fù)雜至極的物理環(huán)境用唯一的波動函數(shù)（向量）來表示，從而進行簡單化，數(shù)學(xué)化的處理，這就是數(shù)學(xué)藝術(shù)美體現(xiàn)。

3 結(jié)束語

在當(dāng)今科學(xué)的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系越來越緊密，尤其體現(xiàn)在19紀末20世紀初相對論和量子理論的建立中，它不僅使人們對物質(zhì)世界的認識深入到新的層次和領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)了宏觀低速領(lǐng)域所不曾發(fā)現(xiàn)的物質(zhì)運動規(guī)律，而且揭示了時間、空間、物質(zhì)、運動之間的有機聯(lián)系，揭示了波動性和粒子性、連續(xù)性和間斷性、必然性和偶然性之間的辨證關(guān)系，結(jié)束了機械論自然觀對物理學(xué)的長期統(tǒng)治，豐富和發(fā)展了辯證唯物主義。[1]

[1]鮑耀三，張純成.簡明自然科學(xué)史[M].河南：河南大學(xué)出版社，1988.9：260-261.

[2]張奠宙，王善平.陳省身傳[M].南開：南開大學(xué)出版社,2004.8.

[3]李浙生.數(shù)學(xué)科學(xué)與辯證法[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，1995.11：91-102.

[4]MichaelAtiyah.物理對幾何的影響[J].數(shù)學(xué)譯林,1991,(2)：125-128.

[5]小平邦彥.數(shù)學(xué)的印象[J].數(shù)學(xué)譯林,1991，（2）：129-132.