喬聯(lián)寶，朱華桂

（南京大學 工程管理學院，南京 210093）

在現(xiàn)實生活中，應急服務設施的選址具有廣泛的應用，如警察巡邏車、消防站救護車輛以及醫(yī)院急救車輛的選址問題.早期的應急服務設施主要應用覆蓋模型來確定應急服務設施點的位置，即只要在給定的時間（或者距離）范圍內，服務點能夠對需求點提供服務即可.如Toregas等［1］較早對應急服務設施的集合覆蓋問題進行了研究，Current和Morton［2］考察了兩種類型警報器的集合覆蓋問題.集合覆蓋選址在應用中存在一定的局限性，它所產生的設施點數(shù)量一般較多，往往超出了可能的預算約束.所以后來又出現(xiàn)了最大覆蓋模型，最大覆蓋并不要求覆蓋所有的需求點，而是要在給定的資源限制下覆蓋盡可能多的需求量，Church和ReVelle［3］較早地提出了最大覆蓋模型.

在某些情況下，需求點與其周圍最近的設施點之間的距離在給定的服務半徑內，按照覆蓋模型的規(guī)定，該需求點應該被設施點所覆蓋.但是，并沒有考慮這樣一種情形：當需求點向其最近的服務設施點請求服務時，該服務單位恰好處于繁忙狀態(tài)，比如正在為其服務范圍內的另一個客戶提供服務.那么在這種情況下，新產生的需求要么進行排隊等候，要么損失了，或者轉向其他的服務設施點等.在這種情況下，無論需求點進行排隊等候還是損失了，它都不在一般覆蓋模型的考慮范圍之內.

鑒于服務器因處于繁忙狀態(tài)而不能夠對其他需求提供服務，Daskin［4］提出了最大期望覆蓋選址問題（Maximum Expected Covering Location Problem，MEXCLP），最大化能夠得到服務的需求量的期望值.ReVelle和Hogan［5，6］提出了有服務水平保證的最大覆蓋選址模型，要求被覆蓋的需求點能夠得到服務的概率不小于給定的值α.同確定性覆蓋模型假定所有被覆蓋的需求點都可以及時得到服務相比，概率覆蓋模型在假設條件上有很大的進步.但是，以上等人所建立的概率覆蓋模型要求服務器的繁忙率必須事先已知，而且相互獨立，顯然這些假定仍然過于嚴格.

對于服務器經常處于繁忙狀態(tài)的設施選址問題，使用排隊論模型來研究此類問題能夠更準確地反應現(xiàn)實系統(tǒng)的運行情況.在模型假設條件上也不需要假定服務器是否繁忙是相互獨立的.Larson［7，8］提出了超立方排隊模型來直接計算車輛的繁忙比率，但是超立方排隊模型需要設施點的位置已知，并且該模型是非線性的，精確方法計算量也非常大，它常常同其他方法結合起來使用.后來一些文獻直接應用排隊論模型來研究服務設施經常處于繁忙狀態(tài)的覆蓋選址問題［9，10］，本文將從另一個角度建立有服務水平保證、基于排隊論的最大覆蓋選址模型.

1 相關文獻綜述

在設施選址模型中，Church和ReVelle［3］提出的最大覆蓋模型是其中的一個重要類型，它在實踐中已被成功的應用，并被廣泛應用到應急服務設施的選址問題中.在基本的覆蓋模型基礎上，后來產生了各種不同的變化形式.早期Schilling等［11］按照集合覆蓋和最大覆蓋這兩種類型對覆蓋選址問題進行了綜述；Farahani等［12］對Schilling等綜述以后的近20年間與覆蓋選址相關的文獻做了全面而廣泛的綜述.以上兩篇綜述性文章涵蓋了覆蓋選址問題的大部分方面，相關問題可以參考上述文獻.

早期的選址文獻在模型參數(shù)方面都是確定性的.當考慮不確定因素時，Snyder［13］研究了在不確定環(huán)境下的選址問題，包括不確定環(huán)境下的決策制定.Boffey等［14］對服務臺不可移動且有容量約束的排隊情形下的選址問題做了相關綜述，他們以確定性的p－Median問題為基本模型，通過對參數(shù)和約束的擴展逐漸將其演變?yōu)槠渌谴_定類型的選址問題.

在最大覆蓋選址問題中最早引入不確定性因素的是Daskin［4］，同樣他也做了很多有助于簡化問題的一些假設，比如服務器的繁忙率事先可以確定，服務器的繁忙率不依賴于最終的位置和工作量等.后來，ReVelle和Hogan［6］提出了有可靠性水平保證的，最大化車輛可獲得性條件下的覆蓋選址問題，并分別使用系統(tǒng)層次和區(qū)域層次的車輛繁忙率對實例城市進行了研究.

考慮到系統(tǒng)可能存在的擁堵情形，直接運用排隊模型來研究應急車輛選址問題的有Marianov和ReVelle［9，10］，他們都通過運用排隊論模型來進一步放松“各個服務臺是否繁忙是相互獨立的”這一假設條件，最大化有可靠性水平保證的需求數(shù)量.

Berman和Drezner［15］考慮了需求和服務時間都是隨機的網絡選址問題，需求點和設施點只位于網絡的節(jié)點上，目標函數(shù)是最小化服務器到達需求點的運行時間和在服務器的平均等待時間之和，因此屬于有排隊系統(tǒng)的中值選址問題.Aboolian等［16］建立了與Berman和Drezner類似的排隊選址模型，同時他們允許在一個站點設立多個服務臺，并且目標函數(shù)最小化最大運行時間和等待時間之和，因此屬于中心排隊選址問題.Baron等［17］研究了需求隨機、有等待時間約束的更一般條件下的隨機選址問題，在他們的模型中，需求和服務過程都服從一般的分布，設施的潛在位置未知且有容量約束，同時對最大的到達時間和服務水平有一定要求，最后構造了求解問題的分解算法.

求解基于概率模型的覆蓋選址問題所面臨的一個重要難點是服務器繁忙率的確定.為了保證達到事先給定的服務水平約束，必須要求服務器繁忙率已知，而各個服務器繁忙的具體情況又依賴于設施點所處的位置.所以，文獻要么假定所有服務器的繁忙率事先已知［4］，要么基于系統(tǒng)層次或區(qū)域層次對不同位置的繁忙率進行估計［5，6，9，10］，也有的文獻通過迭代或其他改進方法來近似估計服務器的繁忙率［18］等.Larson［7］從理論上描述了如何精確計算服務器繁忙率及服務系統(tǒng)其他重要參數(shù)的方法，由于該方法很難應用于大規(guī)模問題，所以出現(xiàn)了Larson［8］的簡化版，簡化方法所求得的解同精確解的誤差隨著服務器的數(shù)目增加而減少，并不超過2%，但是該方法需要設施點位置已知.

基于上述原因，下面將建立有服務水平β保證、基于排隊模型的應急服務車輛最大覆蓋選址模型.由于引入了排隊論模型，因此不用假定設施點的服務器繁忙與否是相互獨立的.在服務器繁忙率的選擇上，使用基于設施點區(qū)域水平的值.但是與以往文獻不同的是模型建立的角度，本文從覆蓋量的角度給出服務水平約束條件.模型M1的建立十分自然，由于是非線性規(guī)劃模型，它求解起來較為困難.模型M2是整數(shù)線性規(guī)劃問題，同M1相比較容易求解.但是對于求解大規(guī)模的問題，在時間上可能不可行.當需求可以分散服務，并且設施點允許安排的服務器數(shù)量無上限時，根據(jù)排隊論的性質設計了相應的快速求解算法.在以下的章節(jié)中，將不再區(qū)分服務器和應急服務車輛這兩個概念.

2 模型建立

從假定系統(tǒng)內所有服務器具有相等的繁忙率到假設不同的區(qū)域有不同的繁忙率，這在假設條件上有很大的改善，所以以下模型選擇區(qū)域水平的服務器繁忙率.以往研究有服務水平保證的覆蓋模型大多是直接以機會約束的形式給出服務水平約束條件，本文從覆蓋量的角度來規(guī)定這一約束.

變量含義如下：

xij＝需求點i分派到設施點j的需求量；

M是一個充分大的數(shù)，其余符號如上文所述.

（2）式和（3）式表明需求點的需求量只能分派到服務半徑內的設施點；（4）式要求只有在設施點至少安排了k－1臺服務器時，它才有可能至少安排了k臺服務器；（5）式是服務器數(shù)量關系；（6）式是允許安排的總服務器的數(shù)量；（7）式表明只有設施點建立了，它才能對其他需求點提供服務；（8）式保證只有服務站點能夠對周圍的需求提供規(guī)定水平的服務時，此部分需求才被計入目標函數(shù)中；（9）式和（10）式是相應的變量取值范圍約束.

觀察目標函數(shù)（1）式和約束（8）式，可以發(fā)現(xiàn)這是一個非線性規(guī)劃模型，同時（8）式中變量出現(xiàn)在下標和求和符號中，所以該模型不能通過一般的數(shù)學優(yōu)化方法或者規(guī)劃軟件進行求解.雖然M1模型求解起來很困難，但是它提供了直接針對服務器繁忙率建模的描述性模型.在目標函數(shù)（1）式和約束條件（8）式中，如果令β＝0，則所有zj＝1滿足約束條件（8）式，因此該問題等價于不考慮服務器是否繁忙的最大覆蓋問題.當β≠0時，只有滿足約束1－Pyj≥β的設施點j的覆蓋量才被計入目標函數(shù).所以，為了使目標函數(shù)達到最大，既要盡可能多的覆蓋，同時還要使覆蓋這些需求的服務器繁忙水平不超過1－β（使得盡可能多的zj＝1）.基于上述分析，如果可以保證分派到某個設施點的需求不會使得該設施點的服務器繁忙率超過1－β，那么這種分派方法所得到的需求都會被計入目標函數(shù)中.

由于Pyj是所有yj臺服務器全部繁忙的概率，因此也是系統(tǒng)的呼叫損失率，為了使1－Pyj≥β，也即Pyj≤1－β，一方面可以增加服務器的數(shù)量；另一方面也可以減少服務的需求量.由于需求可以部分滿足，所以對于任意正整數(shù)k臺服務器，總可以找到與之對應的惟一最大需求量使得恰好Pk＝1－β，這也是在k臺服務器時能夠保證服務水平的最大可處理需求量.如果記MAXk為使得Pk＝1－β成立的最大需求量，同時要最大化單位時間內能夠得到服務水平保證的需求量，則可以得到第二個模型M2：

符號含義如下：MAXk＝k臺服務器在滿足服務水平約束時能夠處理的最大需求量.

各變量含義如下：其他符號如前文所述，應當注意，此處的Yjk和模型M1中的yjk含義并不相同.

（12）式和（13）規(guī)定了需求分派的方式和范圍；（14）式限制了每個設施點能夠服務的最大需求量；（15）式要求只有設施點j建立了，才可能夠向該設施點分派服務器，并且只能有一種分派方式；（16）式要求各個設施點服務器的總和不應超過可得到的服務器數(shù)量；（17）式和（18）式是相應的變量范圍約束.由于（14）式保證了每個設施點服務的需求都不低于給定的服務水平，所以目標函數(shù)（11）式簡化為最大化這種可行的需求分派量.

模型M2是一個混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，比起M1模型，它求解起來要相對容易，可以通過已知的覆蓋選址算法進行求解，也可以直接利用優(yōu)化軟件進行求解.在下面的部分，本文將根據(jù)排隊論的性質設計出在設施點的服務器數(shù)量無限制時所對應的貪婪算法.

3 算法設計與求解

3.1 算法設計

首先考慮這樣一種情況，對于固定的某一覆蓋量，如果存在兩種（或幾種）不同的覆蓋方法，為了達到特定的服務水平，其中的一種方法所需要的服務器數(shù)目較少，或者使用相同數(shù)量的服務器，它能提供更高的服務水平，那么這種方法所達到的覆蓋量一定要更接近最優(yōu)值.由于Pyj是所有yj臺服務器全部繁忙的概率，因此也是系統(tǒng)的呼叫損失率，合理的想法就是找到這樣一種覆蓋方法：在同等的覆蓋量或者資源條件下，它的呼叫損失較小，從而這部分覆蓋量更可能被計入目標函數(shù).下面給出基于M／M／k／k排隊系統(tǒng)的一個性質.

性質1 如果到達率為λ，單臺服務器的服務率為μ，服務器數(shù)量為k（k≥2），則k臺服務器集中服務的M／M／k／k系統(tǒng)要比k個分散服務的M／M／1／1系統(tǒng)具有較小的呼叫損失率.

證 M／M／s／s損失系統(tǒng)：假定顧客到達率服從參數(shù)為λ的泊松分布，每臺服務器的服務時間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，服務器個數(shù)為s，系統(tǒng)容量為s.記pk為系統(tǒng)有k臺服務器處于繁忙狀態(tài)，則根據(jù)系統(tǒng)平衡狀態(tài)的轉移方程可以得到：

如果令α＝λ／μ，通過迭代求解式可以解得

因此對于M／M／1／1系統(tǒng)有

現(xiàn)在假如將s臺服務器分開單獨服務，則平均每臺服務器所對應的顧客到達率和它處于繁忙狀態(tài)的概率為

令Δs＝p1－ps，現(xiàn)在證明對于任意的α＞0，s≥2有Δs＞0.

故對任意α＞0，s≥2有p1＞ps.

由上述性質可知，對于同樣的需求量，應盡可能將所有的需求集中起來服務，這樣可以保證較小的呼叫損失率（從而1－Pk更大）.根據(jù)上述性質，同等條件下集中服務能夠提高服務水平，下面將根據(jù)性質1設計求解問題的貪婪算法.算法假定單個設施點允許安排的服務器數(shù)量無限制，當單個設施點允許安排的服務器數(shù)量相對較大時，該假設是合理的.

下面為了敘述方便，先提出以下幾個概念.

最大分派覆蓋量：設施點的最大分派覆蓋量是所有在該設施點的覆蓋半徑內，且還未被分派的需求點的需求之和，記為MACQ；

實際覆蓋量：設施點的實際覆蓋量是在其覆蓋半徑內，實際分派給該設施點的所有需求之和，記為ACQ；

冗余覆蓋量：設施點的冗余覆蓋量等于最大分派覆蓋量減去實際覆蓋量，即RCQ＝MACQ－ACQ；

邊際貢獻量：設施點的最后一臺服務器的邊際貢獻量是該設施點的實際覆蓋量與其當前服務器數(shù)量減少1臺時所能覆蓋的最大量之差，如果記設施點的服務器數(shù)量為N，則MCQ＝ACQ－MAXN－1；

增加上限：設施點的增加上限是當前數(shù)量臺服務器所能覆蓋的最大量與實際覆蓋量之差，即AUB＝MAXN－ACQ，N是設施點的服務器數(shù)量.

冗余覆蓋量反映了能夠覆蓋但未被覆蓋的需求量，這部分需求量是當服務器數(shù)量增加時可以進一步覆蓋的量；增加上限是設施點在當前給定數(shù)量服務器條件下，所能夠進一步覆蓋的最大需求量，它反映了設施點剩余的覆蓋能力.

下面給出算法的具體實現(xiàn)步驟：

Init：初始化潛在設施點的相關參數(shù)，包括最大分派覆蓋量、實際覆蓋量、冗余覆蓋量、邊際貢獻量以及增加上限.

Phase1：

Step1：判斷當前可以使用的服務器數(shù)量是否為零，或者潛在設施點能夠覆蓋的需求是否為零，如果是則Stop；

Step2：計算所有未建立的潛在設施點的最大分派覆蓋量，并選擇其中的最大者Fk，其最大分派覆蓋量為MACQk；

Step3：標記設施點Fk已經建立，如果剩余的服務器數(shù)量不足以覆蓋設施點Fk的最大分派覆蓋量，則分派所有的服務器到該設施點；否則，分派n臺服務器到該設施點，其中n滿足｛n｜MAXn－1＜MACQk，MAXn≥MACQk｝.設置Fk覆蓋半徑內的所有需求量為零，更新可以使用的服務器數(shù)量及設施點的相關參數(shù)，返回Step1.

Phase2：

記F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)q為第一階段順序建立的設施點，q是建立的設施點個數(shù).

1.Demand Moving：

Step1：選擇Phase1生成的最后一個設施點Fq，判斷它的冗余覆蓋量是否為零，如果是則Stop；否則從前q－1個設施點中選擇邊際貢獻量最小的設施點Fi，令k＝1；

Step2：選擇Fi后面的第k個設施點Fi＋k，如果兩者的共同覆蓋區(qū)域有公共需求點并且可以轉移的最大需求量不為零，則轉移該部分需求，更新設施點的相關參數(shù)；

Step3：判斷設施點Fi的邊際貢獻量是否非正，或者Fi＋k是否等于Fq，如果是，轉Step4；否則令k＝k＋1，返回Step2；

Step4：如果設施點Fi的邊際貢獻量小于設施點Fq增加一臺服務器所產生的需求增加量，則將設施點Fi最后一臺服務器移動到Fq處，更新設施點的相關參數(shù)，返回Step1；否則Stop.

2.Server Moving：

Step 1：在未建立的潛在設施點中，選擇最大分派覆蓋量最大的設施點fk，其最大分派覆蓋量為MACQfk，如果MACQfk＜MAX1，Stop；否則，轉Step2；

Step2：令K＝argn｛MAXn≤MACQfk，MAXn＋1＞MACQfk｝，K＝min｛K，q｝；對已經建立的設施點按照其最后一臺服務器的邊際貢獻量升序排序，排序后的設施點記為I1，I2，…，In；

Step3：令K＝argmaxn｛MAXn／n≥MCIn｝，如果K＝?，Stop，否則將設施點I1，I2，…，In的最后一臺服務器移動到設施點fk，標記建立設施點fk并更新設施點的相關參數(shù)，Stop.

3.2 計算實例

為了驗證模型和算法的有效性，假定在平面上存在N個需求點，每一個需求點都可以作為潛在的設施點，并且每個需求點單位時間的需求參數(shù)λi由［1，10］之間的整數(shù)均勻分布產生，需求點的縱橫坐標服從［1，100］之間的整數(shù)均勻分布.

假定服務器數(shù)量等于需求點的個數(shù)N，所有服務器具有相同的服務率μ＝θΛ／N，其中Λ為總需求，θ為參數(shù)分別取1.05和1.15（對應的系統(tǒng)利用率大約分別為95%和85%）；服務半徑S分別?。害遥?、σ－10和σ－15，其中σ為所有需求點距離的標準差；給定的服務水平β分別取95%，80%.

以上算法和M2問題分別通過Matlab R2012a和Lingo11.0編程實現(xiàn)，并在個人電腦Lenovo－R400上運行（CPU 2.40Ghz，內存2G）.表1給出了在不同問題規(guī)模時，上述算法和Lingo程序的計算結果.其中最優(yōu)值列加星號的部分為Lingo程序運行1h以上給出的可行解（在給定時間1h未求得最優(yōu)解），同時上界列是Lingo給出的最優(yōu)目標函數(shù)值上界.誤差列是上述算法最優(yōu)解同Lingo程序最優(yōu)解（或可行解）之間的差異.CPU time列的Matlab子列為上述算法求解時間（取Matlab第二次運行時間①），Lingo列為Lingo程序運行時間②.

表1 計算結果Tab.1 Computational results

（續(xù)表）

由表1可以發(fā)現(xiàn)：在選址數(shù)量上，上述算法和Lingo程序給出的解基本一致，當覆蓋半徑較小時，Lingo精確解趨向于建立較多的設施點，在覆蓋半徑較大時，情況則恰好相反，但兩者的選址數(shù)量之差最多不超過1.所以從選址數(shù)量上來看，最終結果表明：通過選擇較少的設施點把服務器集中起來服務，可以得到較好的選址結果，這同性質1的結論是一致的.對同一規(guī)模的問題：當服務器的服務半徑越大時，在同等條件下它所覆蓋的需求也越多，同時所需建立的設施點數(shù)量也較少，這同直觀感覺是一致的.

在解的質量方面，上述算法同精確解（可行解）的誤差大多在3%以內，其中僅有一例除外，誤差最大為3.48%.實際的計算結果表明：算法第二階段的Server Moving部分并不總是可以進一步改進目標函數(shù)值，改進的程度大約在1%左右.但是目標函數(shù)改進卻額外增加了一個新的設施點，當設施點的固定建造成本較大時，結果可能并不理想.

最后，在程序運行的時間方面，上述算法具有較大的優(yōu)勢.即使是在N＝120時，Matlab的求解時間也不到1s，然而通過Lingo程序求解混合整數(shù)線性規(guī)劃模型M2時，在N≥100時，大部分實例運行1h以上仍然得不到最優(yōu)解.所以上述算法可以迅速地對大規(guī)模問題提供合理的下界估計.

為了分析可靠性水平β對總需求量覆蓋情況的影響，選擇需求點數(shù)量N＝80，θ＝1.05，覆蓋半徑R＝組的數(shù)據(jù)，考察β在85%～95%之間變動時（每間隔1%取值），需求覆蓋度（實際覆蓋的需求量／總需求量×100%）的變動情況，如圖1.可以發(fā)現(xiàn)：隨著可靠性水平的不斷提高，總的覆蓋度逐漸減少，但是這種關系并不是嚴格線性的；同時，本文算法求出的最優(yōu)解和Lingo給出的最優(yōu)解之間的差距非常小，這也說明了上述算法的有效性，Lingo仍有3組數(shù)據(jù)在1h之內無法求得最優(yōu)解（β＝88%，93%，94%）.

圖2顯示了服務器數(shù)量和服務可靠性水平對需求覆蓋度的影響，其中實線標記的部分為Lingo給出的最優(yōu)解，虛線部分是Matlab運行本文算法得出的解.可以發(fā)現(xiàn)：在同一可靠性水平時，服務器數(shù)量越多，覆蓋的總需求也越多；在同一服務器數(shù)量時，可靠性水平越小，覆蓋的總需求越多.總體來看，本文算法同Lingo精確解之間的差異相對較小，當服務器數(shù)量較多以及總的覆蓋率較大時，誤差相對增加，但最多不超過2%.

4 結 論

本文建立了有服務水平保證、基于排隊論的應急服務車輛最大覆蓋選址模型.由于運用了排隊論模型來研究應急服務車輛的繁忙狀態(tài)，因此可以不用假定各個服務器繁忙與否是相互獨立的，而基于區(qū)域水平的服務器繁忙率也比系統(tǒng)水平的估計更準確.與以往文獻不同的是，在處理服務水平約束時，它們多從機會約束的角度通過調整服務器的數(shù)量來滿足約束條件，而本文則從調整覆蓋量的角度給出了約束條件.模型M1提供了求解問題的描述性框架，而服務水平和排隊系統(tǒng)中的呼叫損失率之間的相互關系使得可以將M1模型轉化為較易求解的M2模型.排隊論中的一個重要性質也為設計求解M2模型的算法提供了重要的依據(jù)，計算結果表明：在時間和效果上，該算法是有效的.

但是只設計了設施點服務器數(shù)量無限制時的算法，對于設施點服務器數(shù)量受到很大的限制時，性質1的優(yōu)勢可能不再明顯.因此需求的分派方式也更接近于一般的最大覆蓋問題.另外，在本文中需求可以部分滿足，也沒有考慮工作量平衡問題，所以對于更一般的問題還要設計相應的有效算法來求解.

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