趙長勝

（江蘇師范大學(xué)測繪學(xué)院，江蘇徐州 221113）

一、標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是基于一組觀測序列L1，L2，…，Lk及系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型信息來求解狀態(tài)向量估值的一種算法?？柭鼮V波分別采用狀態(tài)方程和觀測方程來描述動(dòng)力學(xué)模型和觀測模型，設(shè)狀態(tài)方程和觀測方程為

式中，xk-1、xk分別表示第k-1時(shí)刻和k時(shí)刻的狀態(tài)向量；Φk，k-1稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Lk為k時(shí)刻的觀測向量；Bk為系數(shù)矩陣；wk、Δk分別為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)噪聲向量和觀測噪聲向量。

假設(shè)wk、Δk是零均值白噪聲序列，且誤差互不相關(guān)，即有

白噪聲條件下的卡爾曼濾波狀態(tài)預(yù)測值和協(xié)方差分別為

觀測向量帶來的新的信息（稱為新息）及其協(xié)方差矩陣為

增益矩陣為

狀態(tài)估計(jì)向量及其協(xié)方差矩陣為

二、噪聲互相關(guān)情況下卡爾曼濾波的最小二乘解

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)噪聲wk和觀測噪聲Δk雖然是高斯白噪聲系列，但動(dòng)態(tài)噪聲與觀測噪聲相關(guān)，即在式（2）中

即

由式（1）中的觀測方程可以列出觀測值的誤差方程

這時(shí)狀態(tài)向量可用最小二乘原理獲得直接解為

三、噪聲互相關(guān)情況下卡爾曼濾波的相關(guān)變換解

所謂相關(guān)變換解，實(shí)際是將動(dòng)力學(xué)模型預(yù)測向量與觀測向量的互協(xié)方差陣轉(zhuǎn)變?yōu)榱恪Ｏ葘顟B(tài)方程變?yōu)?/p>

式中，Jk為待定矩陣。令

因此有

四、噪聲互相關(guān)情況下卡爾曼濾波的改化解

則誤差方程變換為

組成法方程并求逆得

由矩陣恒等變換可得

或由矩陣恒等式得

由式（24）經(jīng)協(xié)方差傳播律可得的協(xié)方差矩陣為

或?yàn)?/p>

［1］ 楊元喜.自適應(yīng)動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位［M］.北京:測繪出版社，2006.

［2］ 趙長勝.有色噪聲濾波理論與算法［M］.北京:測繪出版社，2006.

［3］ 盛梅，鄒云.相關(guān)噪聲系統(tǒng)的卡爾曼濾波［J］.宇航計(jì)測技術(shù)，2003，23（4）:38-42.

［4］ 趙長勝，陶本藻.有色噪聲作用下的卡爾曼濾波［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2008，33（2）:180-182.